湖南省百师联盟2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题 含解析

学年高二年级上学期期末检测卷数学试题答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为分钟，满分分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线一般式方程求出斜率，即可计算得出倾斜角.【详解】易知直线的斜率，设倾斜角为，易知,所以，可得.故选：D.2.椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出、的值，即可得出该椭圆的离心率的值.第1页/共18页【详解】在椭圆中，，，所以，所以，，所以，该椭圆的离心率为.故选：B.3.已知正方体的棱长为2，，，分别为向量，，的单位向量.下列用，，表示的向量中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则与减法法则逐一验证即可.【详解】对于选项A：因为，，，，A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误.故选：C.4.在等差数列中，为其前项和.若，，则（）A.210B.420C.198D.105【答案】A【解析】【分析】列方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的前项和公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以解得，所以.第2页/共18页故选：A.5.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为的离心率为（）A.B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求出离心率.【详解】令双曲线的半焦距为c，双曲线的渐近线方程为，依题意，圆的圆心到直线的距离为，则，所以离心率.故选：B6.在数列中，为其前项和.若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可.【详解】因为，所以当时，.两式相减，得，.因为，且当时，，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.故选：C.7.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，第3页/共18页的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为是两平面与与平面所成角的正弦值为（）A.0B.C.D.【答案】D【解析】的方向向量为公式求解.【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.又直线是平面与平面的交线，设直线的方向向量为，则取，则.设与平面所成的角为，则.故选:D.8.若是函数的极小值点，则的极大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果.第4页/共18页【详解】因为，所以.又是函数的极小值点，所以，解得或.当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去.当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；是的极小值点，所以，.由以上分析知，当时，取得极大值，且.故选：B.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（）A.B.当时，C.当时，是数列中的项D.若是数列的项，则的值不可能为7【答案】ABC【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可判断选项A与选项B项C；利用等差数列概念即可判断D.第5页/共18页【详解】对于A，由题意得，A正确；对于B，当时，数列的首项为2，公差为，故，B正确；对于C，由B选项可知，令，解得，所以是数列的第8项，C正确；对于D，，，中的项在等差数列中对应的项的序号是以1为首项，为公差的等差数列，即，若是数列的项，令，当时，，D错误.故选：ABC.10.已知抛物线：与双曲线：在抛物线上，则下列结论正确的有（）A.双曲线的离心率为3B.双曲线的渐近线方程为C.D.点到抛物线的焦点的距离为8【答案】ABD【解析】ABC的定义即可判断D项.【详解】对于A，在双曲线：中，，，则双曲线的离心率为3，故A正确；对于B，由可得双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，由上分析，可得抛物线中，，即得，故C错误；对于D，由抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线第6页/共18页的距离，即，故D正确.故选：ABD.如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（）A.B.三棱锥的体积最大值为1C.若，则点到直线的距离为D.三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为【答案】ACD【解析】A体积的表达式，利用二次函数即可得到选项B中最大值；利用点到线的距离公式即可求得点到直线的距离为CD正确.【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设，第7页/共18页则，，，，.对于选项A：因为，，所以，所以，所以，A正确.对于选项B：三棱锥的体积，所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误.对于选项C：若，则，，，所以，，所以点到直线的距离，C正确.对于选项D：设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，直线与平面交于点，则点为外接球的球心，显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等.因为，，所以.在平面内，点的轨迹方程为，且，，故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知数列满足：（mm的所有可能取值之和为__________.【答案】【解析】【分析】由结合递推关系式，分情况讨论，分别求出的值即可．第8页/共18页【详解】当时，则，可知或，若，则；若，则；综上所述，或，即m的所有可能取值之和．故答案为：13.直线：与椭圆：交于，上顶点为点的面积为______.【答案】【解析】【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离求高，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】设点，.由消去，整理得，，所以，，所以.椭圆的上顶点，点到直线的距离，所以的面积.故答案为：.14.若曲线的一条切线方程为，则______.【答案】【解析】第9页/共18页【分析】求导，根据斜率可得，即可代入求解.【详解】设，则.设切点为，由题意，得，即，解得，所以，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程；（2）由弦长求出圆心到弦距离，设直线的方程为，由点到直线的距离公式列方程，解之即得.【小问1详解】因为点，，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为1.因线段的中点为，则线段的垂直平分线的方程为.由解得故圆心，半径，故圆的标准方程为.【小问2详解】第10页/共18页（可以一起）如图，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为.因为弦长，所以圆心到直线的距离.设直线的方程为，则点到直线的距离.由，解得或，所以直线的方程为或.16.如图，在长方体中，，是的中点，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1和平面垂直证明面面垂直即可；第11页/共18页（21答案.【小问1详解】如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.因为，所以，所以平面平面.【小问2详解】由（1）知，，，第12页/共18页平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以.设平面与平面的夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.17.已知函数．（1）当时，求的单调性；（2）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】1）在时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性；（2）对函数求导后，对，，，的情况进行讨论，由题意即得参数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，令，解得或．第13页/共18页令，解得，所以在上单调递减；令，解得或，即在，上单调递增．综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由求导得，①当时，恒成立，令，解得，即在上单调递减；令，解得，即在上单调递增，故时，函数在处取得极小值，符合题意；②当时，令，解得，，且，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，所以函数在处取得极小值，符合题意．③当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0，单调递增，故函数无极值，不符合题意．④当时，令，解得，，且，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，不符合题意．综上，实数的取值范围是．18.已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E．（1）求点E的轨迹方程；第14页/共18页（2）若直线m与点E的轨迹交于MN两点，与圆相交于PQ两点，且，求面积的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】1）根据题意分析可知，结合椭圆的定义求轨迹方程；（2到直线m的距离m的方程为，，联立方程结合韦达定理求，进而可求的面积，并利用基本不等式求最大值.【小问1详解】圆的圆心为，半径为4．因为D是圆上的一个动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E，则，可得，因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以点E的轨迹方程为．【小问2详解】圆的圆心为，半径为2，由题意可知：圆心到直线m的距离，第15页/共18页结合点E的轨迹方程可知：直线m的斜率可以不存在，但不为0，设直线m的方程为，，可得，整理得，即，联立方程，消去x得，则，可得，则，所以△OMN面积为，且，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以△OMN面积的最大值为1.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求第16页/共18页19.已知等比数列的各项都是正数，是的前项和，，.（1）求数列的通项公式及其前项和；（2）若，求值.【答案】（1），（2）【解析】1）代入等比数列的基本量，即可求解；（2）分情况讨论，求出，运用等差数列和等比数列求和，结合错位相减计算即可.【小问1详解】设等比数列的公比为，则.由，，得，即，解得或（舍去）.所以，【小问2详解】由（1）知，，所以.因为，所以当时，，当时，，；当时，，；当时，，，当