数学的魅力省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第一章概述第三节数学魅力1第1页你可能喜欢音乐，因为它有优美友好旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反应人和自然美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样友好，像图画一样漂亮，而且它在更深层次上，揭示自然界和人类社会内在规律，用简洁、漂亮定理和公式描述世界本质。数学，有没有穷魅力！

2第2页一、渔网几何规律

用数学方法能够证实，不论你用什么绳索织一片网，不论你织一片多大网，它结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面公式：V+F–E=13第3页多面体欧拉公式

V+F–E=24第4页

数学就有这么本事，能够把看起来复杂事物变得简明，把看起来混乱事物理出规律。5第5页二、天津市南开区

最少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：天津市南开区中一定存在两个头发根数一样多人。对于存在性命题，通常有两类证实方法：一类是结构性证实方法，即把需要证实存在事物结构出来，便完成了证实；一类是纯存在性证实，并不详细给出存在事物，而是完全依靠逻辑力量，证实事物存在。

6第6页比如“任意两个正整数都存在最大条约数”这个存在性命题，我们能够用“辗转相除法”给出结构性证实，在证实最大条约数存在同时，也给出了求最大条约数方法。(例：（210，1950）=30)再比如“连续函数假如在两个端点反号，则中间一定存在零点”这个存在性命题，我们在教材中看到和在课堂上听到，往往是纯存在性证实，证实了零点存在，但并不给出找到零点方法。7第7页天津市南开区

最少有两个人头发根数一样多结构性证实：

一个一个地去数天津市南开区中全部些人头发根数，一定能够找到两个详细人，不妨称之为张三和李四，他们头发根数一样多，便完成了证实。8第8页天津市南开区

最少有两个人头发根数一样多纯存在性证实

：“抽屉原理”

证实“367个人中最少有两个人生日是相同”

证实“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样多人”

9第9页对于这个命题，纯存在性证实方法，比用结构性证实方法更可靠。10第10页三、圆魅力

车轮，是历史上最伟大创造之一圆，是平面图形中对称性最强图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数面积相等图形中圆周长最短规尺作图化圆为方不可做11第11页四、“三角形三内角之和等于180度，

这个命题不好”

这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学一次演讲中说，以后又屡次说过。所以，这不是随便说一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。

12第12页三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度×(n–2)

13第13页n边形n外角之和=360度不变量曲边形（向量组秩；矩阵秩）

14第14页高斯－博内公式当积分区域是整个闭曲面M时，有=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M欧拉示性数。这一高斯－博内公式左面是一个由局部性质（曲率）表示量，不过，公式右面却只和曲面整体拓扑不变量。高斯－博内公式主要意义在于：它用曲面局部不变量刻画了整体性质。15第15页五、四色问题

四色问题也称“四色猜测”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。他在为一张英国地图着色时发觉,为了使任意两个含有公共边界区域颜色不一样，似乎只需要四种颜色就够了。不过他证实不了这一猜测。于是写信告诉他弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他数学老师,出色英国数学家德·摩根，希望帮助给出证实。16第16页

德•摩根很轻易地证实了三种颜色是不够,最少要四种颜色。下列图就表明三种颜色是不够。

17第17页但德·摩根未能处理这个问题,就又把这个问题转给了其它数学家,其中包含著名数学家哈密顿。但这个问题当初没有引发数学家重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思索后，认为这不是一个能够轻易处理问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》文章,才引发了更大注意。18第18页1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣告证实了“四色猜测”。但十一年后，一位叫希伍德年轻人指出，肯泊证实中有严重错误。

19第19页一个看来简单，且似乎轻易说清楚问题，竟然如此困难，这引发了许多数学家兴趣，表达了该问题魅力。实际上，对于地图着色来说,各个地域形状和大小并不主要,主要是它们相互位置。下列图中三个地图对地图着色来说都是等价。从数学上看,问题实质在于地图“拓扑结构”。

20第20页一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究,取得了一系列结果。1920年弗兰克林证实了,对于不超出25个国家地图,四色猜测是正确。1926年雷诺兹将国家数目提升到27个。1936年弗兰克林将国家数目提升到31个。1968年挪威数学家奥雷证实了,不超出40个国家地图能够用四种颜色着色。不过，他们都没有最终证实“四色猜测”。

21第21页四色问题处理直到1972年，美国依利诺大学哈肯和阿佩尔在前人给出算法基础上，开始用计算机进行证实。到1976年6月,他们终于取得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证实了四色猜测。22第22页这是一个惊人之举。当这项结果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOURCOLORSSUFFICE)，加盖在当初信件上。

23第23页拓展了人们对“证实”了解因为这是第一次用计算机证实数学定理，所以哈肯和阿佩尔工作，不但是处理了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证实”了解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证实”思索。24第24页六、素数奥秘自然数是整个数学最主要元素。自然数中有一个尤其基本又尤其主要数，称为“素数”。素数是大于1自然数中，只能被自己和1整除数；大于1自然数中不是素数都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。25第25页因为在大于1自然数中，素数因子最少，所以素数是尤其简单数。又因为一切大于1自然数都能够从素数经过乘法得到，所以素数又是尤其基本数。素数很早就被古希腊数学家所研究。2300多年前欧几里得几何《原本》第9卷定理20，就给出了“素数有没有穷多个”漂亮证实。26第26页不过，素数有些规律，表述出来很轻易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数有些规律表述出来也是相当复杂。）关于素数规律，人类有许多“猜测”。至今还有不少关于素数主要猜测，既没有被证实，也没有被否定。有猜测处理，现在看来可能会十分遥远。有些人甚至预言，“人类探寻素数规律历史，将等同于人类整个文明史”。27第27页三个关于素数规律问题

从加法角度研究素数从乘法角度研究素数找一个公式来表示素数

28第28页从加法角度研究素数两个猜测：每个足够大偶数都是两个素数和；每个足够大奇数都是三个素数和。后一个猜测现在已被证实；前一个猜测至今却既没有些人举出反例，也没有些人给出证实。前者就是著名“哥德巴赫猜测”。29第29页从乘法角度研究素数算术基本定理：任一个大于1自然数，都能够被表示为有限个素数（能够重复）乘积，而且假如不计次序话，表法是唯一。算术基本定理早已被证实，但不是采取“结构性”证实。未解之谜：这个问题是：对任一个大于1自然数，试给出一个普通方法，方便较快地找到有限个素数（能够重复），使它们乘积等于那个预先写出大于1自然数。30第30页下面用“结构性”证实思绪，来试图找到处理方法，同时也体会它困难所在。31第31页处理问题困难不严格地方，或者说“跳步”地方，就在最前面两步。即，怎样较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素数后怎样较快地找到b，得到a=b×c。处理问题本质困难，也在这两个步骤。即使现在有了高速计算机，不过对于很大数a，比如200位数a，这两步计算依然很费时日，以至于实际上是不可能处理问题32第32页这么困难，反倒给密码通讯提供了思绪

a=b×c（b、c是两个很大素数，比如都是100位大素数

）在造密码时，你能够把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。必须知道b、c才能破译密码。“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文意思。要想破译密文，首先需要把a分解为b×c。不过因为a这个数很大，以及上面提到本质困难，把a分解为b×c是很费时日。

33第33页找一个公式来表示素数费马素数(1640年)Fn=2

∧

2n

+1梅森素数(1644年)Mn=2n–1（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森数中是否有没有穷个素数”问题，也是未解之谜。34第34页关于费马素数，n=5时，Fn=4294967297=641×6700417梅森判断中有五个错误：n=67、257时Mn不是素数；而n=61、89、107时Mn是素数。

35第35页科尔：《大数因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科尔一言未发；会场上暴发了热烈掌声。36第36页七、“蒲丰投针”故事

37第37页八、“化归”方法

“化归”，是把未知问题，转化为已知问题；把待处理问题，归结为已处理问题，从而处理问题过程。

波利亚：关于“烧水”例子

38第38页九、体会公式中数学美

能够从公式中，令=推出来。公式，用“等号”连接了数学中五个主要常数，反应了数学“统一美”。39第39页

M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）：

音乐能激发或抚慰人感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能感人心弦，哲学使人聪慧，科学能够改进生活，而数学能做到全部这一切。40第40页【思索题】请你举一个例子，展示数学魅力。41第41页抓三堆：

有三堆谷粒（比如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮番抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？42第42页“抓三堆”二进制解法

用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列加法定义为这就是模2加法。（只要是2倍数，就记为0）关于模2加法，能够推广；比如推广为模7加法：

例1：假如1号是星期一，问27号是星期几？解答：27号与1号相差26天，因为，说明过去3个7天之后，再过5天，这么27号这天就是星期一再加上5天，即星期六。（实际上，这里只要是有7倍数，就都能够记为0。）

例2：假如1号是星期三，问27号是星期几？（答：星期一）

43第43页[思]：假如9月号是星期，问9月号是星期几？44第44页

我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐，各列模2相加，若和全为0，则后抓者有必胜策略；若和中出现1，则先抓者有必胜策略。和中出现1时，先抓者详细策略是：先抓者从最左边1所在列，寻找某堆谷粒数中对应列也有1，就从该堆中抓走适当个数，使得抓完后各列和（模2）为0。45第45页“抓三堆”中数学思想因为谷粒数越来越少，最终，先抓者能够使得后抓者一直面临各列模2之和为（0，0，…，0）状态，这意味着先抓者获胜。后抓者只要抓，谷粒就将降低，所以该行中最少有