2024-2025学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.4最大值与最小值问题优化的数学模型讲义新人教B版选修4-5

PAGE1-2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型学习目标：1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题．教材整理最值问题，优化的数学模型1．最值设D为f(x)的定义域，假如存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点．寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题——极值问题的一个特殊的状况．2．分别常数法分别常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分．这在求含有分式的最值问题时常常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特殊要留意等号成立的条件．1．已知0＜x＜1，则x(1－x)取最大值时x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)[解析]∵0＜x＜1，∴x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up14(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当x＝eq\f(1,2)时取等号．[答案]B2．已知t＞0，则函数y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为________．[解析]∵t＞0，∴y＝eq\f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2－4＝－2.[答案]－2利用柯西不等式求最值【例1】设x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝eq\f(l,x)＋eq\f(m,y)＋eq\f(n,z)的最小值．[精彩点拨]题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．[自主解答]由柯西不等式得ω·δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(l,x))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(m,y))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n,z))))eq\s\up14(2)·[(eq\r(ax))2＋(eq\r(by))2＋(eq\r(cz))2]≥(eq\r(al)＋eq\r(bm)＋eq\r(cn))2，所以ω≥eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).由柯西不等式成立的条件得x＝keq\r(\f(l,a))，y＝keq\r(\f(m,b))，z＝keq\r(\f(n,c)).其中，k＝eq\f(δ,\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)).它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ)，所以ω的最小值为eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).利用柯西不等式求最值时，必需验证等号成立的条件是否满意．1．设x，y，z∈R，且eq\f(x－12,16)＋eq\f(y＋22,5)＋eq\f(z－32,4)＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解]依据柯西不等式，知[42＋(eq\r(5))2＋22]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,4)))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,\r(5))))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)))≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4·\f(x－1,4)＋\r(5)·\f(y＋2,\r(5))＋2·\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)，当且仅当eq\f(x－1,16)＝eq\f(y＋2,5)＝eq\f(z－3,4)，即x＝eq\f(21,5)，y＝－1，z＝eq\f(19,5)或x＝－eq\f(11,5)，y＝－3，z＝eq\f(11,5)时等号成立．∴25×1≥(x＋y＋z－2)2.∴|x＋y＋z－2|≤5，∴－3≤x＋y＋z≤7，即x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.利用二次函数求最值【例2】某地区地理环境偏僻，严峻制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋10万元，为顺应开发大西北的雄伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必需在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条马路，且5年可以修通，马路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q＝－eq\f(159,160)(60－x)2＋eq\f(119,2)(60－x)万元．问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？[精彩点拨]分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可．[自主解答]若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)．若对该产品开发，则前5年中，当x＝30时，Pmax＝eq\f(75,8)，前5年总利润为W1＝eq\f(75,8)×5＝eq\f(375,8)(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60－x万元用于异地销售投资，则总利润W2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,160)x－402＋10))×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(159,160)x2＋\f(119,2)x))×5＝－5(x－30)2＋4500，当x＝30时，(W2)max＝4500.∴10年总利润最大值为eq\f(375,8)＋4500(万元)．因eq\f(375,8)＋4500>100，故该项目具有极大的开发价值．1．本题事实上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解．本题的现实意义也很大．2．解不等式应用题的步骤(1)仔细审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题．2．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，安排可收购a万担，政府为了激励收购公司多收购这种农产品，确定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预料收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原安排税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原安排税收为200a·10%＝20依题意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范围是0<x≤2.利用不等式解决实际问题[探究问题]利用不等式解决实际问题的步骤是什么？[提示]利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景．(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)运用不等式的学问、手段探讨不等式关系．(4)做出结论．然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值．【例3】如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？[精彩点拨]设切去的小正方形的边长为x，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a－2x，高为x，这时盒子的容积为V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不等式，变形为xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))eq\s\up14(3)求解即可．[自主解答]设切去的小正方形的边长为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,2)))，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)·(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2x＋a－2x＋4x,3)))eq\s\up14(3)＝eq\f(2a3,27).当且仅当a－2x＝a－2x＝4x，即当x＝eq\f(a,6)时，不等式取等号，此时V取最大值eq\f(2a3,27)，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的eq\f(1,6)时，折成的盒子容积最大．在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一．3.用一块钢锭浇铸一个厚度匀称且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(求解本题时，不计容器的厚度)[解](1)设h′为正四棱锥的斜高，由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4·\f(1,2)h′a＝2，,h2＋\f(1,4)a2＝h′2，))解得a＝eq\f(1,\r(h2＋1))(h>0)．(2)由V＝eq\f(1,3)ha2＝eq\f(h,3h2＋1)(h>0)，易得V＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,h)))).∵h＋eq\f(1,h)≥2eq\r(h·\f(1,h))＝2，∴V≤eq\f(1,6).等号当且仅当h＝eq\f(1,h)，即h＝1时取得．故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为eq\f(1,6)立方米．1．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．4[解析]∵4＝lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)，∴lgx·lgy≤4.[答案]D2．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6) B．eq\r(6)C．6 D．12[解析](eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立．[答案]D3．数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项是()A．第9项 B．第8项和第9项C．第10项 D．第9项和第10项[解析]an＝eq\f(n,n2＋90)＝eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(n×\f(90,n)))＝eq\f(1,6\r(10))，当且仅当n＝eq\f(90,n)，即n＝3eq\r(10)时等号成立．又n为正整数，检验可知选D.[答案]D4．函数y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值为________．[解析]因为函数的定义域为[1,5]，且y>0，则y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(2)·eq\r(5－x)≤eq\r(52＋\r(2)2)×eq\r(\r(x－1)2＋\r(5－x)2)＝eq\r(27×4)＝6eq\r(3).当且仅当eq\r(2)·eq\r(x－1)＝5·eq\r(5－x)时，等号成立，即x＝eq\f(127,27)时，函数取最大值6eq\r(3).[答案]6eq\r(3)5．(1)求函数y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值；(2)求函数y＝cos2x(1＋sinx)的最大值；(3)设x>1，求函数y＝log2x＋logx4的最小值．[解](1)设l＝eq\r(x2＋4)，则l≥2，于是y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝l＋e