辽宁省沈阳市2024-2025学年九年级下学期零模模拟数学试卷二（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市九年级下学期数学零模模拟试卷二一．选择题（共10小题）1．湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说．如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同2．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（）A．0 B．1 C．2 D．33．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（）A．4 B．23 C．2 D．4．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．5．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（）A．56° B．60° C．62° D．28°6．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（）A．x（x+1）＝306 B．12C．x（x﹣1）＝306 D．17．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．π8 B．π4 C．148．如图，在离地面高度为1.5米的A处放风筝，风筝线AC长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度CD为（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+89．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，2） B．（4，8） C．（8，2）或（﹣8，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）10．函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点的情况是（）A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断二．填空题（共5小题）11．分解因式：x2﹣9＝．12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，点D是BC的中点，△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，线段EF与线段AB相交于点Q，将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合的过程中，线段DQ的长度的取值范围是．13．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−32，−10)．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为(1，54)．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212m，EN=272m，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若CDBC=3415．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝4，点E，F分别在线段CD和BC上运动，并且满足EF＝CD，取EF的中点G，点P是线段AD上一点，连接BP和PG，则BP+PG的最小值为．三．解答题（共8小题）16．计算：−117．某校为了解七年级学生体育测试情况，在七年级各班随机抽取了部分学生的体育测试成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下），并将统计结果绘制成两个不完整的统计图，请你结合统计图中所给信息解答下列问题：（1）学校在七年级各班共随机调查了名学生；（2）在扇形统计图中，D级所在的扇形圆心角的度数是；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校七年级有500名学生，请根据统计结果估计全校七年级体育测试中A级学生约有多少名？18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．19．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．（1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．（2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．20．如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i＝0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）21．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点E，D，连接DE，F是CD上一点，满足∠CEF＝∠CDE．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）过点D作DG⊥AB于点G，AG＝8，BG＝2，求AC的长．22．已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠CBF＝45°，BF=32，求CF（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，求证CE＝DE+2GN；（3）如图3，AB＝8，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．23．已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），且与x轴的另一个交点为点C．（1）当a＝1时，解决下列问题．①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1．平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3，求点C1移动的最短路程；（2）已知直线l：y＝k（x+1）．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”．①判断直线l是否过点A；②当k＝a=12时，直接写出直线l与抛物线③当a=132时，记抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2．光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数

参考答案与试题解析题号12345678910答案ADCBACBADC一．选择题（共10小题）1．湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说．如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同【解答】解：这个组合体的三视图为：由这个组合体的三视图可知，主视图与左视图相同，故选：A．2．小明用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中，第一个与第三个四边形的四条边都相等，∴第一个与第三个图形是菱形，如图，由四个全等的含30°角的直角三角板拼成的四边形，∴AD＝BC＝EF，CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ADF＝∠FEB＝30°，∠AFD＝∠FBE＝90°，∴AF=12AD∴AF+BF=1∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（）A．4 B．23 C．2 D．【解答】解：∵矩形ABCD中，AC＝4，∴OD=OA=1∵∠AOD＝60°，OD＝OA＝2，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝2．故选：C．4．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6＝Fl，即F=600又∵动力臂l＞0，反比例函数F=600故选：B．5．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（）A．56° B．60° C．62° D．28°【解答】解：由圆周角定理可知：∠BAC=1∵∠BAC+∠BOC＝84°，∴12解得∠BOC＝56°，故选：A．6．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（）A．x（x+1）＝306 B．12C．x（x﹣1）＝306 D．1【解答】解：设这个小组有x个人，由题意得，x（x﹣1）＝306．故选：C．7．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．π8 B．π4 C．14【解答】解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S＝a2，其内部扇形的面积S'=π其面积之比为S′S其它以下图形的面积之比同理可得也是π4由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为π4故选：B．8．如图，在离地面高度为1.5米的A处放风筝，风筝线AC长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度CD为（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+8【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于E，则四边形ABDE为矩形，∴DE＝AB＝1.5米，在Rt△AEC中，AC＝8米，∠CAE＝θ，∵sin∠CAE=CE∴CE＝AC•sin∠CAE＝8sinθ（米），∴CD＝CE+DE＝（1.5+8sinθ）米，故选：A．9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，2） B．（4，8） C．（8，2）或（﹣8，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，4），∴点A的对应点A′的坐标（2×2，4×2）或（2×（﹣2），4×（﹣2）），即（4，8）或（﹣4，﹣8），故选：D．10．函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点的情况是（）A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断【解答】解：当y＝0时，x2﹣x+1＝0，则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴无实数根，∴函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴无交点，故选：C．二．填空题（共5小题）11．分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，点D是BC的中点，△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，线段EF与线段AB相交于点Q，将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合的过程中，线段DQ的长度的取值范围是322【解答】解：∵BC＝6，点D是BC的中点，∴CD＝BD＝3，∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，∴DE＝CD＝3，∵线段EF与线段AB相交于点Q，∴点Q在EF上运动，∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∴sinE=DQ∴DQ=22×∴DQ的最小值为32∴32故答案为：3213．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−32，−10)．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为(1，54)．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212m，EN=272m，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括【解答】解：∵EM=212m，EN=∴点E的坐标为（−3∴点M，N的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10）．∵A（1，54∴可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y＝m（x﹣1）2+5又∵此时抛物线过（0，0），∴m+5∴m=−5∴运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y=−54（x﹣1）2令y＝﹣10，∴﹣10=−54（x﹣1）2∴x＝4或﹣2（舍去）．∴B（4，﹣10）．∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，∴当抛物线过点M（9，﹣10）时，顶点为（6.5，﹣15）．∴此时y＝a（x﹣6.5）2﹣15，把M（9，﹣10）代入，得a=4同理，当抛物线过点N（12，﹣10）时，a=5由点D在MN之间得a的取值范围为516≤a14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若CDBC=34，△BCD【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y=kx交于A，∴点A与点B关于原点对称，设A（m，2m），则B（﹣m，﹣2m），k＝2m2，设点C的横坐标为a，则C（a，2m2a），F（﹣m∵tan∠CAE=CEAE=a−m∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵CICF∴CI＝3FI，∴a＝3m，∴C（3m，2m3∵CIMI=tan∠CMD＝tan∠CBF∴DI＝MI=23CI=23×∴DM＝DI+MI＝4m，∵12DM•FI+12DM•CI＝S∴12×4m×m+12×∴m2=9∴k＝2m2＝2×9故答案为：9215．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝4，点E，F分别在线段CD和BC上运动，并且满足EF＝CD，取EF的中点G，点P是线段AD上一点，连接BP和PG，则BP+PG的最小值为43−2【解答】解：如图，作点B关于AD的对称点B'，连接B′P，B'C，连接BB'交AD于点T．∵AB＝BC＝4，∠A＝45°，∴CD=BT=22，BB′=4∵∠C＝90°，点G是EF的中点，∴在Rt△ECF中，CG=1∴点G的运动轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，在Rt△B′BC中，∠B'BC＝90°，由勾股定理得，B'C=BC2∴BP+PG＝B'P+PG≤B'C﹣CG＝43−故答案为：43−三．解答题（共8小题）16．计算：−1【解答】解：原式=−1+1+9+2×=−1+1+9+2＝11．17．某校为了解七年级学生体育测试情况，在七年级各班随机抽取了部分学生的体育测试成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下），并将统计结果绘制成两个不完整的统计图，请你结合统计图中所给信息解答下列问题：（1）学校在七年级各班共随机调查了50名学生；（2）在扇形统计图中，D级所在的扇形圆心角的度数是36°；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校七年级有500名学生，请根据统计结果估计全校七年级体育测试中A级学生约有多少名？【解答】解：（1）由题意可得，七年级各班共随机调查了：10÷20%＝50（人），故答案为：50；（2）D级所在的扇形圆心角的度数是：（1﹣46%﹣24%﹣20%）×360°＝36°；故答案为：36°；（3）补全条形统计图如图所示．（4）因为500×20%＝100（名）．所以估计全校七年级体育测试中A级学生人数约为100名．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．【解答】证明：如图，设AC交BD于点O，∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形AFCE是菱形．19．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．（1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．（2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种，所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为212（2）公平，由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有指南针的有6种结果，没有指南针的有6种结果，所以小强胜的概率为12，小刚胜的概率为1所以此游戏公平．20．如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i＝0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【解答】解：如图，作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N，则MN＝BC＝40m，BM＝CN，在Rt△CDN中，i=CNDN=∴设CN＝3xm（x＞0），则DN＝4xm，∴CD=CN2解得x＝4，∴CN＝12m，DN＝16m，∴BM＝12m，EM＝MN+DN+DE＝40+16+122＝178m，在Rt△AEM中，tan24°=AM∴12+AB178∴AB＝178×0.45﹣12≈68（m），∴摩天轮AB的高度约为68m．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点E，D，连接DE，F是CD上一点，满足∠CEF＝∠CDE．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）过点D作DG⊥AB于点G，AG＝8，BG＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠EDB＝180°，∵∠CDE+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠CDE，∵∠CEF＝∠CDE，∴∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠FEO＝∠AOE，∵AO＝EO，∠BAC＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠OEF＝∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，过点C作CM⊥AB于点M，∵DG⊥AB，∴∠DGO＝90°，∵AB＝AG+BG＝8+2＝10，∴OD＝OB＝5，∴OG＝OB﹣BG＝5﹣2＝3，在Rt△DGO中，DG=O在△BDG和△BCM中∠BGD＝∠BMC＝90°，∴tanB=DG∴CM＝2BM，∵∠AMC＝90°，∠BAC＝45°，∴AM＝CM＝2BM，∵AB＝AM+BM＝10，∴AM＝CM=20在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴AC=A22．已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠CBF＝45°，BF=32，求CF（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，求证CE＝DE+2GN；（3）如图3，AB＝8，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．【解答】（1）解：如图1，过点F作FP⊥BC于点P．∵△ABC为等边三角形．∴AB＝AC＝BC．∠ABC＝∠ACB＝60°．∵FP⊥BC．∴∠FPB＝90°．∵∠CBF＝45°．∴∠BFP＝45°．∴BP＝FP．∵BF=32∴BP＝FP=22×∵tan∠ACB=FP∴PC=3∴CF＝2PC＝23．（2）证明：如图2，延长CG到I，使GI＝DE，连接AI，过点H作HM∥AG，交CG于点M，．∵△ABC为等边三角形．∴AB＝AC＝BC．∠ABC＝∠ACB＝60°．由旋转的性质得，∠BCD＝∠ACI．CE＝CG，BE＝AG，∠CBE＝∠CAG．∴△BCD≌△ACI（SAS）．∴BD＝AI，∠IAC＝∠ABC＝60°．∴AI∥BC．∴∠IAN＝∠CHN．∵CH＝BD．∴CH＝AI．又∵∠INA＝∠CNH．∴△IAN≌△CHN（AAS）．∴AN＝HN．∵HM∥AG．∴∠GAN＝∠MHN．又∵∠ANG＝∠HNM，AN＝HN．∴△AGN≌△HMN（ASA）．∴AG＝HM，GN＝MN．同理，△HCM≌△BDE（ASA）．∴CM＝DE．∴CE＝CG＝CM+MN+NG＝DE+2GN．（3）解：如图3，过点D，H分别作BC的垂线，分别交BC于点F，交AC于点G，作∠KDE＝60°，交BC于点E．．∵△ABC为等边三角形．∴∠GCH＝∠DBF＝60°．∵GH⊥BC．∴∠HGC＝30°．∴CG＝2CH．∵BD＝2CH．∴BD＝CG．又∠DFB＝∠GHC＝90°．∴△GCH≌△DBF（AAS）．∴DF＝GH，BF＝CH．∵CK＝AD．∴BD＝AK．∵∠KDE＝60°．∴∠BDK＝∠BDE+60°＝60°+∠AKD．∴∠BDE＝∠AKD．∴△BDE≌△AKD（ASA）．∴BE＝AD＝CK，DE＝KD．设BF＝CH＝a，则CG＝AK＝BD＝2a．∴HG＝DF=3aBE＝AD＝CK＝8﹣2a．∴EF＝|BF﹣BE|＝|a﹣（8﹣2a）|＝|3a﹣8|．∴DE=(∴△ADK的周长＝AD+AK+DK＝AB+DE＝8+DE．∴△ADK的周长最小值时，DE的值最小．∴当a＝2时，DE的值最小，此时CG＝AK＝BD＝4．即点K，点G重合，如图4，．∴△CKQ的面积＝2S△CGH＝2×12×2×2323．已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），且与x轴的另一个交点为点C．（1）当a＝1时，解决下列问题．①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的