2024年广东省广州市中考数学试卷含答案

2024年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

I.（3分）四个数-10,-1,0,10中，最小的数是（）

A.-10B.-1C.0D.10

2.（3分）下列图案中,点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三

角形关于点。对称的是（）

3.（3分）若a#0,则下列运算正确的是（）

A.且+且=国B..—2.—3=5—D.t/34-（z2=

235aaa

4.（3分）若a<bi贝I」（）

A.〃+3>>3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b

5.（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用

地面积，按照0<xW4,4VxW8,8<x<12,12<A<16,16<X<20的分组绘制了如图所示的

频数分布直方图，下列说法正确的是（）

A.。的值为20

B.用地面积在8VxW12这一组的公园个数最多

C.用地面积在44W8这一组的公园个数最少

D.这50个公园中有一半以上的公园用地面枳超过12公顷

6.（3分）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付

的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车X辆，根据题意，可列方程为

（）

A.1.2.V+1100=35060B.l.Zv-1100=35060

C.1.2(x+ll(X))=3506()D.x-ll(K)=35060X1.2

7.（3分）如图，在△48C中，N4=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边

AB,AC上，AE=CF,则四边形AEO厂的面积为（

A.18B.9^2D.6A/2

8.（3分）函数户=/+加+。与），2=区的图象如图所示，当（）时，尸，）2均随着X的增大而

减小.

A.x<-1B.-l<x<0C.0<x<2D.x>l

9.（3分）如图,O。中，弦A8的长为4禽，点C在。。上,OCLAB,ZABC=30°.。。所

在的平面内有一点P,若。P=5,则点P与O。的位置关系是（）

o

A\~-------

C

A.点P在。。上B.点尸在。。内C.点P在。。外D.无法确定

10.（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径/是5,则该圆锥

的体积是（）

A.旧HuB.①InC.D.当⑥口

883

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）如图，直线I分别与直线b相交，a//b,若NI=7T,则/2的度数

为.

1

b

2

12.（3分）如图，把Ri,R2,R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为/,电压为U,贝ijU=

/R1+/R2+/R3,当Ri=20.3,刈=31.9,4=47.8,/=2.2时，U的值为

%氏2R3

13.（3分）如图，"BCD中，8C=2,点E在。A的延长线上，BE=3,若BA平分NE8C,则

DE=.

14.（3分）若J-〃-5=0,则2a2-4〃+1=.

15.（3分）定义新运算：〃融=.a2一卜a<0,例如：-2领=（-2）

2-4=0,203=-2+3

-a+b,a>0.

=1.若文③1=-3,则A的值为_____________________.

4

16.（3分）如图，平面直角坐标系xQy中，矩形OABC的顶点B在函数广区（x>0）的图象上,

A（1,0）,C（0,2）.将线段4B沿x轴正方向平移得线段AE（点A平移后的对应点为

4'）,48交函数>=主Q>0）的图象于点。，过点。作D£_Ly轴于点E,则下列结论:

①k=2；

②△060的面积等于四边形ABDA'的面积；

③AE的最小值是近；

®ZB'BD=ZBB'O.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（4分）解方程：」一=2.

2x-5x

18.（4分）如图，点E,尸分别在正方形AI3CD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求

证：AABESAECF.

A

EC

19.（6分）如图,RtAABC中,ZB=90°.

(1)尺规作图：作AC边上的中线B。(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)所作的图中，将中线B0绕点0逆时针旋转180。得到DO,连接AD,CD.求

证：四边形人BCD是矩形.

20.(6分)关于x的方程』-2计4-6=0有两个不等的实数根.

(1)求"7的取值范围；

2

(2)化简：•

Im-3I2m+1

21.(8分)善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对4

B两组同学进行问卷调查，并根据结果对•每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位:

分）:

人组75788282848687889395

B组75778083858688889296

（1）求A组同学得分的中位数和众数；

（2）现从A,8两组得分超过9。分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰

好来自同一组的概率.

22.（10分）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着

陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试5佥中，如

图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得

地面。点的俯角为36.87°,4。=17米，8。=10米.

（1）求CQ的长；

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的

时间.

参考数据:sin36.87°=0.60,cos36.87°=0.80,tan36.87°弋().75.

23.（10分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大

量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近收存在一

个函数关系，部分数据如表：

脚长x(cm)•••232425262728…

身高丁（cm）•••156163170177184191…

（1）在图1中描出表中数据对应的点（x,），）；

（2）根据表中数据，从尸曲+b（aWO）和y=K（ZWO）中选择一个函数模型，使它能近似地

x

反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出X的取值范围）；

（3）如图2,某场所发现了一个人的脚印，脚长约为258m，请根据（2）中求出的函数解析

式，估计这个人的身高.

y/cm.

195・

190

185

180

175

170

165

160

155

150;

0|,2223242526272829x/cm

图1图2

24.(12分)如图，在菱形AACO中，NC=120°点E在射线BC上运动(不与点B.点C重

合)，AAEB关于AE的轴对称图形为△AM.(I)当NBA尸=30°时，试判断线段AF和线段

A。的数量和位置关系，并说明理由；

(2)若44=6+6痘，QO为A4"的外接圆，设的半径为广.

①求，•的取值范围；

②连接尸。，直线/力能否与相切？如果能，求班:的长度：如果不能，请说明理由.

BD

E

25.(12分)已知抛物线G：>'=ar-6ar-fl3+2z72+l(«>0)过点A(xi,2)和点B(必2),直

线/：y=nrx+n过点C（3,1）,交线段AB于点D,记△CZM的周长为Ci,4CDB的周长为

C2,且CI=C2+2.

（1）求抛物线G的对称轴；

（2）求m的值;

（3）直线/绕点。以每秒3°的速度顺时针旋转/秒后（0V/V45）得到直线,当/'//AB

时，直线厂交抛物线G于E,F两点.

①求/的值；

②设△AEF的面积为S,若对于任意的。＞（）,均有S》k成立，求k的最大值及此时抛物线G

的解析式.

2024年广东省广州市中考数学试卷

参考答案与试期解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.（3分）四个数-10.-1,0.10中，最小的数是（）

A.-10B.-1C.0D.10

【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数

大.2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3、两个正数比较大小，绝对值大的数

大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.

【解答】解：•・•-10V-1<0<10,

・•・最小的数是：-10.

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，

两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关

键.

2.（3分）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三

角形关于点O对称的是（）

【分析】根据中心对称的性质解答即可.

【解答】解：由题可知，A、8、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形.

故选：C.

【点评】本题考杳的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某

个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心

对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键.

3.（3分）若〃¥（）,则下列运算正确的是（）

A.旦+3=旦B.a^cr=a5C.2•旦=区D.（r,Jrcr=\

235aaa

【分析】利用合并同类项法则，同底数幕乘法及除法法则，分式的乘法法则计算即可.

【解答】解：J.+J.=3a+2a=_5a,则A不符告题意；

2366

。3・“2=标，则8符合题意；

2・2=与，则c不符合题意；

aaa2

则。不符合题意：

故选：B.

【点评】本题考查合并同类项，同底数寻乘法及除法，分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是

解题的关键.

4.（3分）若a<b,则（）

A.。+3>>3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2ti<2b

【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.

【解答】解.：若a〈b,两边同时加上3得"3VH3,则A不符合题意：

若两边同时减去2得。-2<8-2,则B不符合题意;

若a<b,两边同时乘-1得--b,则C不符合题意;

若a<b,两边同时乘2得加<24则。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

5.（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用

地面积，按照0V、至4,8Vx412,12<.r^l6.16VxW20的分组绘制了如图所示的

频数分布直方图，下列说法正确的是（）

A.〃的值为20

B.用地面积在8VxW12这一组的公园个数最多

C.用地面积在4VxW8这一组的公园个数最少

D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷

【分析】用样本容策50分别减去其它四组的频数可得。的值；根据频数分布直方图可知用地面

积在8VxW12这一组的公园个数最多，用地面积在0<xW4这一组的公园个数最少，这50个

公园中有20个公园用地面积超过12公顷.

【解答】解：由题意可得，〃=50-4-16-12-8=10,故选项A不符合题意；

由频数分布直方图可知，用地面积在8VxW12这一组的公园个数最多，故选项8符合题意；

由频数分布直方图可知，用地面积在0Vx<4这一组的公园个数最少.故选项。不符合题意：

由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，没有达到一半，

故选项。不符合题意.

故选:B.

【点评】本题主要考查了频数分布直方图，解决问题的关键是在频数分布直方图中获取数据进

行计算.

6.(3分)某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付

的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车X辆，根据题意，可列方程为

()

A.1.2.V+1100=35060B.l.Zv-1100=35060

C.1.2(x+ll(X))=3506()D.x-ll(K)=35060X1.2

【分析】等量关系：今年5月交付新车的数量=1.2X去年5月交付的新车数量+1100.

【解答】解：根据题意，得L2rH100=35060.

故选：A.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，我到等量

关系，列出方程.

7.（3分）如图，在△ABC中，NA=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边

AB,AC上，AE=CF,则四边形AED/的面积为（、,

A.18B.9A/2C.9D.6^2

【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD,/84O=NC=45°,S"sc=』X6X6

2

=18,由“SAS”可证△AOEg/XCDF,可得S"D£=SMW,即可求解.

【解答】解：如图，连接AO,

VZBAC=90°,AB=AC=f>,。为边8c的中点,

:・AD=BD=CD,NB4D=NC=45°,5M^C=—X6X6=18,

2

在△4OE和△0£>/中，

rAD=CD

<NBAD=/C，

AE=CF

•••△4DE丝△CD/7(SAS),

•・SAADE=SACDF,

・•・四边形AEDF的面积=SMDC=ZMBC=9,

故选：C.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三用形全等

是解题的关键.

8.（3分-）函数），i=o?十加九与”=K的图象如图所示，当（）时，产，”均随着x的增大而

减小.

A.x<-1B.-l<x<0C.0<x<2D.x>\

【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可.

【解答】解•：根据二次函数图象当X>1时，户随着X的增大而减小，同样当%>1时，反比例函

数”随着X的增大而减小.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键.

9.（3分）如图，。。中，弦48的长为小行，点C在。。上，OCLAB,ZABC=30°.。。所

在的平面内有一点P,若。P=5,则点。与的位置关系是（）

A.点P在。。上B.点尸在。。内C.点P在。。外D.无法确定

【分析】先根据垂径定理得出AD=BD=X\B,再由N4BC=30°得出NAOO=2N8=60°,

2

故NA=30°,可知0A=20D,设OD=x,则0A=2x,利用勾股定理求出x的值，进而可得

出的长，根据点与园的位置关系即可得出结论.

【解答】解：设人8与0C交于点。，

•・•弦4B的长为4«,0C1AB,

：.AD=BD=^AB=2^

2

VZABC=30°,

/.ZAOD=2ZB=60a,

・・・N4=90°-60°=30°,

：.OA=2OD,

设。。=x,则O4=2t,

在RtZ\AO。中，OD2+/\D2=OA2,即x2+（2V3）2=（2t）2，

解得x=±2（负值舍去），

，OA=2r=4,

9：OP=5,

：.OP>OA,

・•・点?在圆外.

故选：C.

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的

位置关系有3种.设。。的半径为r,点。到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外点

P在圆上Qd=r；点P在圆内QdV/■是解题的关键.

10.（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径/是5,则该圆锥

的体积是（）

A.唔B.乎C.2倔4手

【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出

圆锥的高，然后根据圆桂的体积公式计算即可.

【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周K为了2兀X5=2n,

180

故圆锥的底面圆的半径为空=1,

2兀

所以圆锥的高为：752-12=入用，

该圆锥的体积是：—xnxl2x2'/^=织直爪

33

故选：。.

【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧

长公式为：也.

180

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）如图，直线/分别与直线小人相交，a//bf若Nl=71°,则N2的度数为109°.

【分析】由邻补角的性质得到N3=18（）。-71。=109°,由平行线的性质推出N2=N3=

109°.

【解答】解：・・・N1=7I°,

/.Z3=180°-71°=109°,

AZ2=Z3=109°.

故答案为：109°.

【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出N2=N3=109°.

12.(3分)如图，把Ri,Ri,/?3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为/,电压为U,则U=

/R1+/R2+/R3,当Ri=20.3,R2=31.9,R3=47.8,/=2.2时，U的值为220.

%R2R3

【分析】根据题干条件代值即可.

【解答】解：由题意可得U=2.2X(20.3+31.9+47.8)=220.

故答案为:220.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键.

13.（3分）如图，uABCD中，6c=2,点E在OA的延长线上，6£=3,若BA平分/E8C,则

DE=5.

【分析】由平行四边形的性质得AO〃8C,AD=BC=2,则NE48=NC84,而NE8A=N

CBA,所以NE4B=NEB4,则AE=BE=3,求得。E=A£）+A£；=5,于是得到问题的答案.

【解答】解：•・•四边形ABCO是平行四边形，

:.AD//BC,AD=BC=L

；・NEAB=NCBA,

,：BA平分NEBC,

NEBA=NCBA,

：,ZEAB=ZEBA,

：.AE=BE=3,

：,DE=AD+AE=2+3=5,

故答案为：5.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、“等角对等边”等知识，推导出N

EAB=ZEBA是解题的关键.

14.13分)若J-2a-5=0,贝U2浸-4a+l

【分析】由已知条件可得/-2〃=5,将原式变形后代入数值计算即可.

【解答】解：•・・。2-2〃-5=0,

.*.tr-2a=5,

工原式=2(A2-2a)+1

=2X5+1

=11,

故答案为：11.

【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键.

15.(3分)定义新运算：〃融a<0,例如：-2领=(-2)2-4=0,203=-2+3

-a+b,a>0.

=1.若.®=-*则支的值为二/或工•

【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可.

【解答】解：；吨）1=一旦,

4

工当xWO时，1=-2,

4

解得I=或x=_L（不合题意，舍去）;

22

当£>0时，-x+l=-2,

4

解得“=工；

4

由上可得，%的值为-a或工

24

故答案为：或工.

24

【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出用应的方

程.

16.（3分）如图，平面直角坐标系xQy中，矩形OABC的顶点B在函数y=K（x>0）的图象上,

4（1,0）,C（0,2）.将线段AA沿x轴正方向平移得线段AE（点4平移后的对应点为

4'),48交函数>=主Q>0)的图象于点。，过点。作D£_Ly轴于点E,则下列结论:

①k=2；

②△060的面积等于四边形ABDA'的面积；

③AE的最小值是近；

®ZB'BD=ZBB'O.

其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②,

根据矩形性质判断③④即可.

【解答】解：①(1,0),C(0,2),

：,B(1,2),

;矩形0ABe的顶点3在函数），=莅G>0）的图象上,

・,/=2,故①正确;

②;点6、点/）在函数（A>0）的图象上，

X

*,•S/^AOB—S^AOD——IkI»

2

SAOBM=S梯形AMDA，

.,.SZkO4D=S梯形加"M’，故②正确：

③随着线段AB向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点。也逐渐下移，此时过点

。作y轴的垂线交点E也下移，所以AE的最小值逐渐迨向于QA的长度，故③错误；

④向右平移的过程中角夕BD与角BB'。变化相同，这两个角刚好是矩形BB'N。的对角线

与边的夹角，所以是相等，④正确.

故正确的结论有①©④.

故答案为：①@④.

【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图

形变化,熟练掌握平移性质是关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（4分）解方程：

2x-5x

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得大的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：x=6x-15,

解得:x=3,

检验：当x=3时，x（2v-5）#0,

故原方程的解为x=3.

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

18.（4分）如图，点E,尸分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求

证：dABEsAECF.

【分析】先根据BE=3,EC=6得出BC的长，进而可得出AB的长，由相似三角形的性质即可

得出结论.

【解答】证明：•••BE=3,EC=6,CF=2,

・・・8C=3+6=9,

•・•四边形A4C。是正方形，

：.AB=BC=9,N8=NC=90°,

..AB=^=_3BE=2

*CE"6-2*CF~2?

・AB=BE

^CECFJ

:.XABESXECF.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

角形相似是解题的关键.

19.（6分）如图，RtAABC）,NB=90°.

（1）尺规作图：作AC边上的中线B。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180'得到DO,连接AD,CD.求

证：四边形人8c。是矩形.

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于O,连接30,于是得到结论;

（2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论.

【解答】（1）解：如图所示，线段8。为AC边上的中线；

（2）证明：•・•点。是AC的中点，

：.AO=CO,

•・•将中线B0绕点0逆时针旋转180°得到DO,

:・BO=DO,

・•・四边形/WC。是平行四边形,

VZABC=90°,

・•・四边形A3c。是矩形.

【点评】本题考查了作图-基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理

是解题的关键.

20.（6分）关于x的方程』-2r+4-川=0有两个不等的实数根.

（1）求用的取值范围；

2

（2）化简：,尸―

Im-3I2m+1

【分析】（1）根据判别式的意义得到4=（-2）2-4（4-/n）X）,然后解不等式即可.

（2）根据〃?的取值范围化简即可.

【解答】解：（1）根据题意得△=（-2）2-4（4-加）＞0,

解得m>3;

(2)Vw>3,

：.m-3>0,

2

•一m-nrl.in-S

Im-3|2m+1

(1+m)(『m).2.nr3

m-3m-lm+1

=-2.

【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化

简，根据题意得到关于加的不等式是解题的关键.

21.(8分)善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对4

B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位:

分)：

4组75788282848687889395

B组75778083858688889296

(1)求A组同学得分的中位数和众数;

（2）现从A,4两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰

好来自同一组的概率.

【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这2名同学恰好来自同一组的结果数，再利用概率公

式可得出答案.

【解答】解：（1）将10名4组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩

为84,86,

••洛组同学得分的中位数为（84+86）4-2=85（分）.

由表格可知，A组同学得分的众数为82分.

（2）将4组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，

画树状图如卜.：

开始

共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁

丙，共4种,

・••这2名同学恰好来自同一组的概率为

123

【点评】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、

众数的定义是解答本题的关键.

22.（10分）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着

陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如

图，该模拟装置在缓速下降阶段从4点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从B点测得

地面。点的俯角为36.87°,4。=17米，80=10米.

（1）求CO的长；

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的

时间.

参考数据：sin36.870弋0.60,cos36.87°-0.80,tan36.570-0.75.

.4

【分析】（1）根据题意可得：AC±CD,BE//CD,从而可得/七8。=/8。。=36.87°,然后在

为△8CO中，利用锐角三角函数的定义求出CO的长，即可解答；

（2）在RtABCD中，利用锐角三角函数的定义求出8c的长，然后在RtAACD中，利用勾股

定理求出AC的长，从而利用线段的和差关系求出44的长，最后进行计算即可解答.

【解答】解：（1）如图：

由题意得：ACLCD.BE//CD,

:.NEBD=NBDC=36.87°,

在RtZ\6CO中，8。=10米，

.\CD=BD-cos36.87°210X0.80=8（米）,

・・・C。的长约为8米；

（2）在Rt2\Ad）中，AQ=10米，NKDC=36.87°,

••・BC=BD・sin36.870410X0.6=6（米），

在RtAACO中，AO=17米，CQ=8米，

=22=22=

AACA/AD-CDV17-815（米1

：.AB=AC-BC=\5-6=9（米），

•・•模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速卜降到B点，

•••模拟装置从A点下降到B点的时间=9+2=4.5（秒），

・•・模拟装置从4点下降到B点的时间约为4.5秒.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解

题的关键.

23.（10分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大

量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长4之间近，以存在一

个函数关系，部分数据如表：

脚长x(cm)•••232425262728…

身高y(cm)•••156163170177184191…

（1）在图1中描出表中数据对应的点（x,丁）；

（2）根据表中数据，从y=ax+b（aWO）和y=K（kWO）中选择一个函数模型，使它能近似地

x

反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出X的取值范围）；

（3）如图2,某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.gc”，请根据（2）中求出的函数解析

式，估计这个人的身高.

y/cm,

195

190

185

180

175

170

165

160

155

150

OT2223242526272829x/cm

图1图2

【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可;

（2）先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可;

（3）将x=25.8代入7次函数解析式求出y值即可.

【解答】解：（1）描点如图示：

V5

-95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

m

012223242526272829

图1

（2）;），=区（kWO）转化为k=g，=23X156W24X163W25X170W；

x

・•・），与X的函数不可能是），=区，

X

故选一次函数y=a叶〃将点（23,156）、（24,163）代入解析式得:

（23a+b=156>解得产7,

I24a+b=163b=-5

・•・一次函数解析式为y=7x・5.

（3）当x=25.8时，y=7X25.8-5=175.6（cm）.

答：脚长约为25.8CM,估计这个人的身高为175.6（7〃.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是

关键.

24.(12分)如图，在菱形ABCD中，NC=12(T.点E在射线BC上运动(不与点B,点、C重

合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AM.(1)当/加尸=30°时，试判断线段AF和线段

A。的数量和位置关系，并说明理由；

(2)若A8=6+6«,为从£尸的外接圆，设0。的半径为八

①求r的取值范围；

②连接FQ,直线以)能否与。。相切？如果能，求8E的长度；如果不能，请说明理由.

【分析】(1)根据折叠的性质和菱形的性质易得AB=AF=AD再根据角度求出/RAf=900即

可得证；

(2)画出示意图，找到半径，•和AE的关系，在求出AE的范围即可求解;

（3）画出示意图，利用眩切角定理和圆周角定理以及等腰三角形的性质可求得NA石r=N4EB

=75°,再在解三角形ABE即可求解.

【解答】解：（1）AF=AD,AF±AD,理山如下，

•・•四边形八BC。是菱形，

：.AB=AD,N8AO=NC=120°,

,//\.ABE和关于AE轴对称，

：,AB=AF,

.\AF=AD,

VZBAF=30Q,

JZDAF=/BAD-NBA/=90°,

：.AF±AD,

综上，AF=ADtAF1AD.

（2）①如图，设△?!£尸的外接圆圆心为。，连接。A、。&作OG_LAE于点G,作A/LL8C于

点H.

ZAFE=ZABE=60°,

AZA0E=\2()°，

,：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30'",

:.OA=—^^-=^3-AG,

cos303

•・"=。4=2^6=2^・14七=近人£

3