复习下6(无穷级数)市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

复习–6无穷级数主要考点:数项级数判敛幂级数求收敛域、和函数及函数幂级数展开傅氏级数展开及收敛问题第1页1.数项级数审敛法(1)利用部分和数列极限判别级数敛散性(2)正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限第2页(3)任意项级数审敛法Leibniz判别法:且则交织级数收敛,—绝对收敛与条件收敛且余项绝对收敛判别—利用正项级数判别法2.求幂级数收敛域方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数经过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处敛散性.若第3页3.函数展开成幂级数•直接展开法•间接展开法—利用已知展式函数及幂级数性质—利用泰勒公式惯用公式:求导展式第4页•求部分和式极限4.幂级数和函数求法求和•映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和第5页5.傅里叶级数(1)周期为2

函数傅里叶展开其中注意:若为间断点,则级数收敛于(2)在[0,

]上函数傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数第6页(3)周期为2l函数傅里叶级数展开公式注意:(x

间断点)其中为正弦级数.2)当f(x)为奇函数时,为间断点,级数收敛于1)若为余弦级数.当f(x)为偶函数时,第7页实例分析

级数收敛,当

时级数发散.当

时提醒:故

a<1时原级数收敛;a>1时原级数发散;a=1时,故原级数也发散1.给定级数填空题

(题1-5)第8页2.

幂级数收敛域为提醒:令当时,级数为,发散则化为标准幂级数其收敛半径为故原级数级数收敛域为即故原级数收敛域为第9页4.设,又设S(x)是f(x)以2

为周期余弦级数展开式和函数,则提醒:3.级数收敛半径R=

.提醒:(03届考题)第10页5.设傅立叶级数为则系数,级数在处收敛于提醒:第11页选择题

(题6-10)(常数a>0)(

)6.级数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与a

相关.

(L.P504题29)提醒:故原级数绝对收敛.C～第12页必定收敛是（)7.设则以下级数中提醒:D收敛绝对收敛第13页收敛半径为R1,则必有()8.设级数提醒:参看P196性质1及P198注.C收敛半径为R,级数比如,时,收敛半径R=1,(02届考题)第14页9.已知在收敛,则此级数在处()(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定提醒:令由阿贝尔定理知B所以时绝对收敛,即处绝对收敛.原级数在第15页10.设函数而其傅立叶级数为其中则提醒:S(x)是对f(x)在(–1,0)上作奇延拓后展开B

傅立叶级数第16页11.

证实:若12.

判别级数敛散性.则级数发散.证:因为解:该级数为交织级数,且,故级数收敛.(03届考题)(03届考题)第17页13.讨论

a

为何值时级数收敛,取何值时发散.解:当a>e时,原级数发散;当0<

a<e时,原级数收敛.第18页14.设是收敛正项级数,证实收敛证:因为强级数收敛,故原级数收敛.思索.设常数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与

相关.收敛,则级数且级数C(LP504题30)第19页15.若级数及都收敛,且证实级数收敛.证实:因为而收敛,收敛.又由及收敛,知收敛.所以第20页16.

试求幂级数收敛域及和函数.提醒:级数收敛半径R=1,收敛域为(1,3).(03届考题)练习题:试求幂级数收敛域及和函数.(04届考题)第21页17.将函数展成x

幂级数.解:第22页18.

将函数展为x幂级数,并指出其收敛域.

解:收敛区间为(03届考题)第23页19.将展成x幂级数.解:第24页20.将函数展成余弦级数.解:将f(x)进行偶延拓和周期延拓,则第25页练习.将展开成正弦级数.(02届考题)答案.第26页备用题:1.判别级数绝对收敛还是条件收敛,并求其和.解:因为所以级数不绝对收敛,又显然级数满足莱布尼兹条件,故原级数条件收敛,其和为第27页第28页2.求级数收敛域与和函数.解:令则当时,发散;故级数收敛域为在其上和函数为第29页3.求幂级数收敛域与和函数,并由此导出解:当x=2时,发散;当