1.1.2集合的基本关系课件 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系课程标准1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.2.能使用维恩图表示集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.知识点1维恩图如果用平面上一条

来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.

对维恩图的理解(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显封闭曲线的内部

基础落实·必备知识全过关过关自诊集合能用直观图形来表示吗?提示

能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.知识点2子集、真子集、集合相等的概念A⊆B(或B⊇A)任意一个元素

集合B不属于A⫋B(或B⫌A)

A=B名师点睛1.对子集的理解(1)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集.过关自诊1.用适当的符号填空(⫋,=,⊈).(1){0,1}

N;

(2){2}

{x|x2=x};

(3){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

⫋⊈=2.下列写法哪些是正确的?①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}.提示

只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等表示.知识点3子集、真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任意一个集合A的子集,即

;

(2)任意集合A是它自身的子集,即

;

(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得

;

(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得

.

⌀⊆AA⊆AA⊆CA⫋C名师点睛1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有

等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有a∈{a},不能写成a={a}.(3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}.2.有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何集合至少有两个子集.(

)(2){0,1,2}⊆{2,0,1}.(

)(3)若A⊆B,且A≠B,则A⫋B.(

)(4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}.(

)×√√×2.以下五种写法:①{0}∈{0,1,2};②⌀⊆{1,2};③⌀∈{0};④{0,1,2}={2,0,1};⑤0∈⌀其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B解析

对于①,是集合与集合的关系,应该是{0}⊆{0,1,2},∴①错误;对于②,空集是任何集合的子集,⌀⊆{1,2},∴②正确;对于③,⌀是一个集合,是集合与集合的关系,⌀⊆{0},∴③错误;对于④,根据集合中元素的无序性可知{0,1,2}={2,0,1},∴④正确;对于⑤,⌀是空集,表示不含任何元素,应该是0∉⌀,∴⑤错误.∴正确的是②④.故选B.探究点一集合关系的判断【例1】

已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(

)A.A⫋B

B.A=B

C.B⫋A

D.A⊈BA解析

由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中的元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.重难探究·能力素养全提升变式探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?解

A⊈B,且B⊈A.规律方法

判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.规律方法

将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.A⫋B∵2k+1可以表示任何奇数,k可以表示任何整数.∴A⫋B.变式训练1[北师大版教材习题]判断下列各组中两个集合之间的关系:(1){1,2,3}与{x|x是6的正因数};(2){x|x=3n,n∈Z}与{x|x=6k,k∈Z}.解

(1)因为{x|x是6的正因数}={1,2,3,6},所以{1,2,3}⫋{x|x是6的正因数}.(2)因为{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶数},所以{x|x=3n,n∈Z}⫌{x|x=6k,k∈Z}.探究点二确定集合的子集、真子集【例3】

(1)已知集合A={x∈R|x2+x=0},则集合A=

.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=

.

{-1,0}{-1,0}解析

因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出集合A的所有子集.解

因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.规律方法

1.求集合子集、真子集的步骤

2.求元素个数有限的集合的子集的两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.变式训练2(1)集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是(

)A.16 B.8 C.7 D.4(2)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有

个.

C解析

∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3},∴A={x∈N|1≤x<4}的真子集为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C.7解析

根据子集、真子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7},共7个.探究点三两个集合相等及其应用【例4】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.分析A=B→列方程组→解方程组求x,y解

∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同.变式探究已知集合

={0,a2,a+b},求a2023+b2022的值.所以b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}.所以a2=1,a=±1.当a=1时,不满足集合元素的互异性,所以a=-1.所以a2

023+b2

022=(-1)2

023+0=-1.规律方法

1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找准两个集合中对应相等的元素是解决集合相等问题的关键.探究点四由集合间的关系求参数的取值范围【例5】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间的关系;分析令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其关系.解

若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图,在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.分析根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两个集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解

由已知A⊇B得:①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.如图,在数轴上表示出两个集合,又因为a<1,所以-1≤a<1.综上,a的取值范围为[-1,+∞).变式探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.解

因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.规律方法

由集合间的关系求参数的取值范围问题中的两点注意事项(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“A⊆B,且B≠⌀”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.变式训练3[2023江苏高一专题练习]设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围是

.

[2,+∞)解析

因为A={x|1<x<2},B={x|x<a},A⫋B,所以a≥2.12341.已知集合A={x∈N|x2<3},则A的真子集共有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.7个C解析

因为集合A={x∈N|x2<3}={0,1},所以集合A的真子集有{0},{1},⌀,共3