2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性应用案巩固提升新人教B版必修第二册

PAGE1-5.3.5随机事务的独立性[A基础达标]1.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：选B.可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，其次道工序的次品率为b，则产品的正品率为()A．1－a－b B．1－abC．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)解析：选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“其次道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．3．(2024·陕西省西安中学段考)从某地区的儿童中选择体操学员，已知儿童体型合格的概率为eq\f(1,5)，身体关节构造合格的概率为eq\f(1,4).从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：选D.法一：所求概率P＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(3＋4＋1,20)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).法二：所求概率P＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).4．(2024·河南省郑州市中原区月考)一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为()A.eq\f(1,24) B.eq\f(11,24)C.eq\f(17,24) D.1解析：选B.所求概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24).5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,18)解析：选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事务A，B，C，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)，停车一次即为事务eq\o(A,\s\up10(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up10(－))C＋ABeq\o(C,\s\up10(－))的发生，故概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,18).6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事务M，从乙盒内取一个A型螺母记为事务N，因事务M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)·P(N)＝eq\f(160,200)×eq\f(180,240)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知A，B，C相互独立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\o(B,\s\up10(－))C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\o(C,\s\up10(－)))＝eq\f(1,8)，则P(eq\o(A,\s\up10(－))B)＝________．解析：依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（AB）＝\f(1,6)，,P（eq\o(B,\s\up10(－))C）＝\f(1,8)，,P（ABeq\o(C,\s\up10(－))）＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,4).所以P(eq\o(A,\s\up10(－))B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq\f(5,12)×eq\f(7,12)`×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为eq\f(1,2)，求灯亮的概率．解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(eq\o(A,\s\up10(－))eq\o(B,\s\up10(－)))[1－P(CD)]＝P(eq\o(A,\s\up10(－)))P(eq\o(B,\s\up10(－)))·[1－P(CD)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).所以灯亮的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).10．有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．解：设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事务为A、B、C.(1)因为P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95，所以P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.10，P(eq\o(B,\s\up10(－)))＝P(eq\o(C,\s\up10(－)))＝0.05.因为事务A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为：P(A·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(A·eq\o(B,\s\up10(－))·C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·C)＝P(A)·P(B)·P(eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up10(－)))·P(C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－)))·P(B)·P(C)＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)法一：至少有两件不合格的概率为P(A·eq\o(B,\s\up10(－))·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·eq\o(B,\s\up10(－))·C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·eq\o(B,\s\up10(－))·eq\o(C,\s\up10(－)))＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012.法二：三件产品都合格的概率为P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.90×0.952≈0.812.由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A·B·C)＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.[B实力提升]11．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq\f(2,3)等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．2个球至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事务A、B，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互独立，所以1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))P(eq\o(B,\s\up10(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依据互斥事务可知C正确．12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)、eq\f(1,69)、eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：设加工出来的零件为次品为事务A，则eq\o(A,\s\up10(－))为加工出来的零件为正品．P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)13．在社会主义新农村建设中，某市确定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预料，三个项目胜利的概率分别为eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，eq\f(2,3)，且三个项目是否胜利相互独立．(1)求恰有两个项目胜利的概率；(2)求至少有一个项目胜利的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目胜利的概率为eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，只有农产品加工和水果种植两个项目胜利的概率为eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目胜利的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有两个项目胜利的概率为eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三个项目全部失败的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,90)，所以至少有一个项目胜利的概率为1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).[C拓展探究]14．某公司聘请员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事务分别为A、B、C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.(1)应聘者用方案一考试通过的概率P1＝P(A·B·eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))·B·C)＋P(A·e