2024-2025学年高中数学课时分层作业19空间向量的基本定理含解析新人教B版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(十九)空间向量的基本定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．③假如三个向量a，b，c不共面，那么对于空间随意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．3B[①中当b＝0时，a与c不肯定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不肯定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．]2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，肯定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定C[∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a与p，q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]3．如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up15(→))＝2eq\o(MA,\s\up15(→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up15(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))－eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.所以应选B.]4．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OB,\s\up15(→))＋zeq\o(OC,\s\up15(→))，则(x，y，z)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))A[连接AG1交BC于E，则E为BC中点，eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))，eq\o(AG1,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))．∵eq\o(OG,\s\up15(→))＝3eq\o(GG1,\s\up15(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up15(→))－eq\o(OG,\s\up15(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AG1,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up15(→))，故选A.]5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(eq\o(A1D1,\s\up15(→))－eq\o(A1A,\s\up15(→)))－eq\o(AB,\s\up15(→))；②(eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BB1,\s\up15(→)))－eq\o(D1C1,\s\up15(→))；③(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))－2eq\o(DD1,\s\up15(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A,\s\up15(→)))＋eq\o(DD1,\s\up15(→)).其中能够化简为向量eq\o(BD1,\s\up15(→))的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A二、填空题6．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A，B，C，D在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是共线向量；②若A，B，C，D不在始终线上，则eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))不是共线向量；③若向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(AC,\s\up15(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．①④[①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))的方向不确定，不能推断eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是否为共线向量；③为假命题，因为eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不肯定在一条直线上；④为真命题，因为eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))两个向量所在的直线有公共点A，且eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(AC,\s\up15(→))是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.]7．已知空间的一个基阿底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]8．如图，点M为OA的中点，{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OD,\s\up15(→))}为空间的一个基底，eq\o(DM,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))＋zeq\o(OD,\s\up15(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))[eq\o(DM,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).]三、解答题9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up15(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up15(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up15(→))＝e1＋e2－e3，试推断{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))}能否作为空间的一个基底．[解]假设eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up15(→))＝xeq\o(OB,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up15(→))＝xeq\o(OB,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))}能作为空间的一个基底．10．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up15(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up15(→))；(2)eq\o(AM,\s\up15(→))；(3)eq\o(AN,\s\up15(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up15(→)).[解]连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＋(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AD,\s\up15(→))＋2eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.[实力提升练]1.如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))的化简结果为()A.eq\o(AF,\s\up15(→)) B.eq\o(AH,\s\up15(→))C.eq\o(AE,\s\up15(→)) D.eq\o(CF,\s\up15(→))A[∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up15(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up15(→))|，∴eq\o(GE,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→)).又eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))，∴eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\o(GE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，从而eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o