第四章不定积分第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法课件

第四章不定积分第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法第一节不定积分的概念及性质

一.原函数与不定积分二.不定积分的基本公式本节主要内容:三.不定积分的性质一.原函数与不定积分引例:

已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s'(t);反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t)如何求其运动规律s=s(t)?从数学角度看:找一函数s=s(t),使s´(t)=v(t).定义

设函数y=f(x)在某区间I上有定义,如果存在函数F(x),对于该区间上任一点x,使F

(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称函数F(x)为函数f(x)在该区间I上的一个原函数..（一）原函数的概念例如:又因为:所以显然x5，x5+1，x5-3，x5+c都是5x4的原函数.∴sinx是cosx在I=(-,+)上的一个原函数.对原函数的研究须讨论解决以下两个问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？关于原函数的说明:

(2)原函数是否唯一？若不唯一,它们之间有什么联系？

:若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.原函数存在定理

设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任意常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证明

因为所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.

另一方面,设

G(x)是

f(x)在

I

内的任意一个原函数,即

G

(x)=f(x)

则

由拉格朗日定理的推论,在

I

内,G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C(为任意常数)．因此,任意两个原函数之间相差一个常数.（二）不定积分的概念定义

设F(x)是函数f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记作,即任意常数积分号被积表达式积分变量结论

求不定积分,只需求出被积函数的原函数再加上积分常数即可.例（P131）

由导数的基本公式，求下列不定积分:所以(2)因为所以(3)因为x>0时又x<0时,所以(1)因为1.求函数f(x)的不定积分就是求f(x)的全体原函数,实际上只需求出它的一个原函数,再加上一个常数C即可;三个结论2.检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数;

3.积分和求导互为逆运算:(先积后微形式不变)(先微后积差一常数)导数/微分碰见积分相互抵消，最外层是什么运算，答案就要写成什么形式例

写出下列各式的结果:不定积分的几何意义

若y=F(x)是函数y=ƒ(x)的一个原函数,称y=F(x)的图形是ƒ(x)的一条积分曲线;图形是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是:

(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到.当c>0时,曲线向上移动;

当c<0时,曲线向下移动.oxyxy=F(x){|c|是f(x)的原函数一般表达式,所以它对应的而(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.oxyxy=F(x)当需要从积分曲线族中求出过点(x0,y0)的一条积分曲线时,则只须把(x0,y0)代入y=F(x)+C中解出C即可.例（P131）

求过点(1,3),且其切线斜率为2x的曲线方程.即f(x)是2x

的一个原函数.因为因为所求曲线通过点(1,3)，故3

1

C，C

2。于是所求曲线方程为y

x2

2。所以y=f(x)

x2

C.-2

-1

O

1

2

x-2

-1

1

2

yy

x2+2

y

x2(1,3)

．设所求的曲线方程为y

f(x)，则

y

f

(x)

2x，二.不定积分的基本公式三.不定积分的性质性质1性质2此性质可推广到有限多个函数之和的情况注意：2.(1)+(2)即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合.这说明不定积分具有线性运算性质.——分项积分法直接积分法利用不定积分的性质和基本积分公式,可求出一些简单函数的不定积分.通常把这种积分方法称为直接积分法.直接积分法例求幂函数积分公式（恒等变形法）常将根式化为幂函数后积分

说明例求对于被积函数是分式有理函数时,常常将它拆成分母较简单、易于积分的分式之和.说明原式2tanxdx

ò例(P134)原式对于被积函数含有三角函数的情况,