第四章一元函数微分学的应用第一节微分中值定理第三节函数的性质第二节洛必达法则95课件

第四章一元函数微分学的应用第一节微分中值定理第三节函数的性质第二节洛必达法则

第二节函数的性质

一.函数的单调性二.函数的极值本节主要内容:三.函数的最值四.曲线的凹凸性五.曲线的渐近线六.函数的分析作图法一、函数的单调性

定理（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则（1)如果在(a,b)内f

(x)>0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2)如果在(a,b)内f

(x)<0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少．（1）求函数单调区间（2）证明不等式，通常是两项不等式利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典型的问题：单调性的应用例讨论函数y=x3的单调性.y=x3的定义域为(-

,+

)；y

=3x2，当x∈

(-,0)和

(0

,+)时，y

>0由函数图像可知函数在(-

,+

)上是单调递增的当x=0时，y

=0当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。解（1）确定f(x)的定义域；（2）求导f

(x)（3）令f

(x)=0，求全部驻点和不可导点，划分区域；（4）列表：确定f

(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性求函数单调区间的步骤：例求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.（2）f

(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)

，无不可导点令f

(x)=0，得x1=-1,x2=3．（3）它们将定义域划分为三个子区间：(-

,-1)

,(-1,3),(3,+

)；（1）函数的定义域为(-

,+

)；(-

,-1)-1(-1,3)3(3,+

)+0-0+驻点驻点所以(-

,-1]和[3,+

)是单调增区间，[-1,3]是单调减区间．解例（P102）

证明：当

x>0时，ex>1+x．

f

(x)=ex-1所以

x∈[0,+

),有f(x)>f(0)=0，即ex-1-x>0

令f(x)=ex-1-x

，则f(x)在[0,+

)上连续、可导,且当x>0时，y

>0,函数在[0,+

)上单调增加所以当x>0时，ex>1+x

利用单调性证明不等式证明oxyy=ƒ(x)Mmab设函数y=ƒ(x)在(a‚b)内图形如下图:

在

1处的函数值f(

1)

比它附近各点的函数值都要小;而在

2处的函数值f(

2)比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.二、函数的极值

定义

设函数f(x)在x0的某领域U(x0,

)内有定义，，都有（1）f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；（2）f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．注：

1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。f(x)的极小值点:f(x)的极大值点:

定理（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么函数f(x)在点x0处的导数为零，即f

(x0)=0．极值的必要条件1、可导函数的极值点必是它的驻点.从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的(罗尔定理).2、对可导函数来说,驻点不一定是极值点.即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值.如oxy则x=0

为

f(x)=x3

的驻点.如图：x=0

不是f(x)=x3

的极值点.说明：3、对于函数y=|x|,

我们已知x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.oxy=|x|实际上,连续不可导点也可能是极值点.因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.定理（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个去心邻域内可导（f

(x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点，（1）当x<x0时f

(x)>0

，当x>x0时f

(x)<0

，则f(x0)为函数f(x)的极大值；(由正变负)（2）当x<x0时f

(x)<0

，当x>x0时f

(x)>0

，则f(x0)为函数f(x)的极小值；(由负变正)（3）当x<x0与x>x0时f

(x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值．极值的充分条件(是极值点情形)(不是极值点情形)（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函数f(x)的导数f

(x)；求出函数f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f

(x)=0的根和f

(x)不存在的点；

（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值．P108，例1

求函数y=1-x2的极值求极值的方法：定理（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f

(x0)=0，f

(x0)

0，则（1）当f

(x0)

<0时，函数f(x)在点x0

处取得极大值；（2）当f

(x0)

>0时，函数f(x)在点x0

处取得极小值．注：1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；2、当f

(x0)

=0时，无法判定f(x)在点x0处是否有极值例求函数的极值令f

(x)=0，得（1）函数的定义域为(-

,+

)；所以f(x)在x=-1处取得极大值为17，在x=3处取得极小值为-47．（2）,无不可导点（3）因为解

定义

设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2

I

，（1）若

x

I

，都有f(x)

f(x1)成立，则称f(x1)为函数f(x)的最大值，x1为函数f(x)的最大值点；（2）若

x

I

，都有f(x)

f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点．函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点．三、函数的最值1.最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；2.最值点可以是I内部的点，也可以是端点；3.如果最值点不是I的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点4.当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值.说明：（2）求出函数f(x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出f

(x)=0的根和f

(x)不存在的点；

（3）计算函数f(x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值．（1）确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；求最值的方法（一）：例(P109)求函数在区间[0,4]上的最值.（3）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57（1）考察区间为[0,4]

；所以f(x)在区间[0,4]上的最大值是f(4)=57,最小值是f(2)=5．（2）,无不可导点令f

(x)=0，得解（1）当f(x0)是极大值时，f(x0)就是区间I上的最大值；

（2）当f(x0)是极小值时，f(x0)就是区间I上的最小值.设函数f(x)在区间I内可导，且只有唯一驻点x0，又x0是f(x)的极值点，则（）（）求最值的方法（二）：在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)必存在最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果f(x)在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定f(x0)就是最大值(或最小值).(不必讨论f(x0)是否为极值).求最值的方法（三）：例(P110)

有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起,做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x，问高x取何值时水槽的流量最大?(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求.

如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.实际问题求最值曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：yxo四、曲线的凹凸性（一）凹凸性(1)观察切线与曲线的位置关系.(1)

凹——曲线位于其任一点切线的上方；凸——曲线位于其任一点切线的下方．(2)观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.(2)凹——切线斜率单调递增；凸——切线斜率单调递减．观察与思考

定理

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上的图形是凹的

若在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上的图形是凸的

曲线凹凸性判定定理

定义

曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点．如果(x0,

f(x0))是拐点且f

(x0)存在,问f

(x0)=？如何找可能的拐点？如何确定曲线y

f(x)的拐点？yoxy=ƒ(x)aABbcC•讨论（二）拐点(1)在拐点(x0,

f(x0))处f

(x0)=0或f

(x0)不存在.(2)只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.(3)如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.(2)拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.(1)拐点一定是f

(x)=0或不存在的点，但是f

(x)=0或不存在的点不一定都是拐点.结论注意若曲线y=f(x)在点x0连续，f

(x0)=0或不存在，f

(x)在x0两侧异号，则点(x0,

f(x0))是曲线的一个拐点(1)确定函数的定义域；(2)在定义域内求f

(x)=0的点和f

(x)不存在的点；(3)用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性．拐点的判定：求曲线凹向区间和拐点的步骤：令

y’’=0，得x=0例讨论曲线y=x3

的凹凸区间与拐点．xf

(x)f(x)(-

,0)0(0,+

)-+0

拐点(0,0)（1）函数的定义域为(-

,+

)；解y’=3x2

y’’=6x定义

若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与一条定直线C的距离趋于零,则称直线C为曲线L的渐近线．当C垂直于x轴时,称C为曲线L的垂直渐近线;当C垂直于y轴时,称C为曲线L的水平渐近线．五、曲线的渐近线例如，对于曲线来说，所以直线y=0

是曲线的水平渐近线若或则称直线y=b

为曲线y=f(x)的水平渐近线.yxOy=0（1）水平渐近线所以