北师大版八年级下册数学期末考试试卷及答案 (一)

北师大版八年级下册数学期末考试试题

一、单选题

1.下面所列图形中是中心对称图形的为（）

A.3a(a+b)=3a2+3abB.a2-2a+3b+b2=a(a-2)4-Z>(3+b)

C.a2-2(i+\=a(ci-2)+1D.a2-b2=(a+b)(a-b)

3.若分式会的值是零，则，的值是（）

A.x=0B.x=±3C.x=—3D.x=3

4.已知等腰三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为（）

A.2B.3C.2或3D.不能确定

5.七边形A8coMG的内角和的度数为（）

A.900°B.720°C.360。D.180°

6.如图，在QABCO中，OE平分/APC,交BC于点E,At>=8,BE=3,则的

周长是（）

A.11B.13C.22D.26

7.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC,AE±CD,垂足为点E,F是BC的中

点，若BD=16,则EF的长为（

A.32B.16C.8D.4

8.如图，在《AA/C'中，Z^=9U°,NAC8=3（T,AC=10,将&绕点A逆时针旋

转得到出△ABV,使点*落在AC边上，连接CC,则CC的长度是（）

A.10B.20C.10x/3D.20G

9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形.则四边形ABCD一定是（）

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形

10.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形

是平行四边形的是（）

A.ZABC=ZADC,ZBAD=ZDCBB.AB〃DC,AB=DC

C.AB〃DC,AD/7BCD.AC=BDC

二、填空题

II.分解因式：X2-16X=.

2

12.若式子一有意义，则x的取值范围是____.

x-4

13.若“若3,y）与N（x,y-1）关于原点对称，则/的值为____.

14.如图，在RsABC中，NC=90。，NB=30。，AD平分NBAC,BD=6,则CD的长

为.

15.若一次函数y=的图象经过点（-1,2）,则不等式T+"后2的解集为

16.如图，在心“IBC中,ZC=90°,AC=BC,A3=8,点。为A8的中点，若直角EDF

绕点。旋转，分别交AC于点E,交5c于点/，则下列说法:

2

®AE=CF；

@EC+CF=>/2AD;

③DE=DF；

④若△£：▼的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值.

其中正确的有.

三、解答题

17.分解因式

(1)/一4

（2）-2/+12/-18。

18.解分式方程:

⑴展+2二x

x-2

/C、8410

x+4x3x+12

5x-1<3(x+1)

19.解不等式组2x-l5v+l,并把它们的解集表示在数轴上.

32

八八人/IZrA-月—8x+16(c1211,

20.先化简，再求值：—;-+x-2---------------------,其中x=l.

x+2x\x+2Jx+4

21.如图，在平行四边形A8C。中，点石是边的中点，连接CE并延长C石交0A的延长

线于点尸，连接AC,BF.

(1)求证：四边形AF8C是平行四边形

(2)当乙4七C'的度数为度时，四边形A&yC'是菱形;

3

(3)若NO=52。，则当乙4EC的度数为度时，四边形AF8c是矩形.

22.某商家预测•种应季儿童运动鞋能畅销市场，就用7920元购进了•批这种儿童运动鞋，

面世后果然供不应求，商家又用17040元购进了第二批这种儿童运动鞋，所购数量是第一批

购进数品的2倍，但单价贵了20元，求该商家第一批购进儿童运动鞋多少双？

4

23.某企业选购甲、乙两种物品，已知乙种物品单价是甲种物品单价的,，购买4500元甲

种物品的数量比购买240€'元乙种物品的数量多5件.

(1)直接写出甲、乙两种物品的单价

(2)如果该企业购买甲、乙两种物品共150件，总费用不超过3.9万元，则购买甲种物品

最多为多少件？

24.已知：如图，△A8C是等边三角形，点。是平面内一点，连接BD,将线段绕点8顺

时针旋转60。得到线段AE,连接CE,A。，并延长A。交CE于点尸，连接8尸，DE.

图1

(1)当点。在图1所在的位置时.

①求证：MDB^ACEB；

②求乙4“C的度数;

③求证：DF+EF=BF；

(2)如图2,当“18。的边长为6,AO=3时，直接写出线段BE的最大值.

25.某市从今年1月起调整居民用水价格，每立方米消光上涨20%,小明家去年12月的水

费是40元，而今年4月的水费是60元，已知小明家今年4月的用水量比去年12月用水最

4

多4立方米，求该市今年居民用水的价格.

26.如图，在菱形A8CO中，NZMB=60。，E是对角线8。上一点，尸是线段人A延长线上

一点且BF=DE,连接AE.

（1）如图，若E是线段8。的中点，连接后户，其他条件不变，直接写出线段AE与七"的

数量关系；

（2）如图，若石是线段8。上任意一点，连接防，其他条件不变，猜想线段4E与斯的

数量关系是什么？并讦明你的猜想：

（3）如图，若E是线段。B延长线上一点，其他条件不变，且/E48=30。，菱形A8CO的

周长为4方，直接写出OF的长度.

5

参考答案

1.C

【详解】

解：A、是轴对称图形；

B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；

C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；

D、是轴对称图形.

故选C.

2.D

【详解】

解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意：

B、该变形没把•个多项式化成儿个整式的枳的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意;

C、该变形没把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意;

。、符合因式分解的概念，故本选项符合题意.

故选：D.

3.C

【详解】

｛尤2-9=0

解得：x=-3.

故选：C.

4.B

【详解】

已知三角形一边长为2,

(1)当这•边是等腰三角形的腰时,它的腰长就为2,则底边是4

根据三角形三边关系，这种情况不符合条件；

(2)当这一边是等腰三角形的底边时

•・•周长为8,底边为2

二腰长为:三=3(等腰三角形两腰相等)

6

根据三角形三边关系，这种情况符合条件；

综上所述,这个等腰三角形的腰长为3.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系与等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边

关系与等腰三角形的性质.

5.A

【解析】

【分析】

利用多边形的内角和公式计算得结论.

【详解】

解：(7-2)x180°

=900°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式.

6.D

【解析】

【分析】

先由口ABCD中，AD=8,BE=3,求得CE的长，然后由DE平分NADC,证得△CED是

等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案.

【详解】

二•在oABCD中，AD=8,

••・BC=AD=8,AD〃BC,

/.CE=BC-BE=8-3=5,ZADE=ZCED,

VDE平分NADC,

AZADE=ZCDE,

.,.ZCDE=ZCED,

ACD=CE=5,

,□ABCD的周长是：2(AD+CD)=2(8十5)=26.

7

故选：D.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质.注意证得^CED是等腰三角

形是解此题的关键.

7.C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可.

【详解】

VAD=AC,

・•・八46是等腰三角形，

VAE1CD.

：・CE=DE,

・・・E是CD的中点，

•••F是BC的中点，

・•・EF是△BCD的中位线，

EF=-^D=-xl6=8,

22

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键.

8.A

【解析】

【分析】

根据旋转的性质得出AC=4C,NBAC=N£AC,得出AACC是等边三角形，由等边三角

形的性质可得出答案.

【详解】

解：•.•将RSABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C,

:.AC=AC,ZBAC=ZB,AC,

・"=90。，ZACT=30°,AC=10,

8

.­.Za4C=ZB,AC=60°.

.•.&4CC'是等边三角形，

:.CC=AC=\O,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质.由旋转

的性质得出AACC是等边三角形是解题的关键.

9.D

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理得到EH〃FG,EF=FG,EF=；BD,要是四边形为菱形，得出EF=EH,

即可得到答案.

【详解】

解：・・・E,F,G,H分别是边AD,AB,CB,DC的中点，

AEH=-AC,EH〃AC,FG=-AC,FG〃AC,EF=-BD,

222

AEH/7FG,EF=FG,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

假设AC=BD,

VEH=-AC,EF=-BD,

22

则EF=EH,

・•・平行四边形EFGH是菱形，

即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，

故选：D.

【点睛】

9

题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的

性质是解题关键.

10.D

【解析】

【详解】

分析：本题根据平行四边形的判定定理即可得出答案.

详解：A根据两组对角相等可以得出平行四边形；B根据一组对边平行且相等可以得出平行

四边形；C根据两组对边分别平行可以得出平行四边形；D无法判定，故选D.

点睛：本题主要考查的是平行四边形的判定定理，属于基础题型.明确判定定理是解决这个

问题的关键.

11.工(工一16)

【解析】

【分析】

直接提取公因式x，进而分解因式得出答案.

【详解】

解:原式=16).

故答案为：Mx-16).

【点睛】

本题主要考查了提取公因式法分解因式，解题的关键是王确找出公因式.

12.xw±2

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件可得12—4。0,再解即可.

【详解】

解：由题意得：V—4工0,

解得：XH±2,

故答案为：x=±2

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等

于零.

10

【解析】

【分析】

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此可得3的值.

【详解】

解：；M（-3,>>，）与N（x、y-\）关于原点对称，

：.x=3,y-l=-y,

解得汇=3,）'=g，

・•.）产的值1

O

故答案为：;.

O

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握点P（x,y）关于原点。的

对称点是尸（一乂-丁）.

14.3

【解析】

【分析】

根据直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、直角三角形中3（『角所对的

直角边等于斜边的一半进行推导即可得解.

【详解】

解：•・•在心△A8C中，ZC=90°,ZB=30°

・•・"AC=90。-4=60。

A。平分NBAC

ABAD=ACAD=-ABAC=30°

2

/.NBAD=NB

80=6

:.AD=BD=6

，在R/zMC。中，CO=1AD=3.

故答案是：3

11

【点睛】

本题考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、直角三角形中3伊角

所对的直角边等于斜边的•半等，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

15.x<-\

【解析】

【分析】

先把(-1,2)代入)』-X+，〃中求出机,然后解不等式即可.

【详解】

解：把(一1⑵代入y=-x-〃?得1+，〃=2,解得〃7=1,

所以一次函数解析式为)，=-X+l，

解不等式-X+L.2,

解得：工、-1.

故答案是：X,-1.

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握从函数的角度看，就是寻求使一

次函数)，=心+。的值大于(或小于)。的自变量上的取值范围.

16.①©③④

【解析】

【分析】

①如果连接8,可证&4DE二ACOFGASA),得出AE=b；

②由①知，EC+CF=EC-^AE=AC,而AC为等腰直角AABC的直角边，由于斜边46=8,

由勾股定理可求出AC=BC=4近；

③由①知OE=QF：

④AEB的面积=恭3(?。如果这是一个定值，则是一个定值，又EC+B=4应，

根据EF2=EC2+CF2=(EC+CF)2-2CECF,从而可唯一确定EF的长也是一个定值.

【详解】

解：①连接CD.

12

在中，ZACB=90°,AC=3C,点。为A4的中点，

J.CDLAB,CD=AD=DB,

在AADE与△(=)尸中，NA=NDC户=45。，AD=CD,ZADE=/CDF,

AADE三△COF(ASA),

-AE=CF.说法正确；

②在mAABC中，ZACT=90°,AC=BC,AB=St

:.AC=BC=4y/2.

由①知=

/.EC+CF=EC+AE=AC=4>/2.说法正确：

③由①知AA。七*AC。/，

:,DE=DF.说法正确；

④〈AEC尸的面积=^工。6b,如果这是一个定值，则CEC"是一个定值，

又•••EC+CF=4五,

EF2=EC2+CF2=(EC+CT7)?—2CECF,

・•.△Eb的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，故说法正确.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解

题的关键是证明MDE=ACDF.

17.(1)(X+2XA2)；(2)-24(4-3)2

【解析】

【分析】

(1)直接用平方差公式分解；

(2)先提公因式，再用完全平方公式.

13

【详解】

解：(1)X2-4,

=(x+2)(x-2)；

(2)-2?+]2/-184,

=-2a(a2-6«+9),

=-2a(a-3)2.

【点睛】

本题考杳了多项式的因式分解，解题的关键是掌握整式的平方差公式和完全平方公式.

18.(1)x=-2；(2)x=24

【解析】

【分析】

(1)先去分母，然后去后号，再移项合并，系数化为1，即可得到答案；

(2)先去分母，然后去括号，再移项合并，系数化为1,即可得到答案.

【详解】

6+2(x-2)=%,

6+2.x—4=x,

x=—2；

经检验，工=-2是原分式方程的解;

…8410

(2)-------=-+-----------,

x+4x3x+12

/.24x=12(x+4)+10x,

24x-12x-10x=48,

.・.2x=48,

Ax=24；

经检验，x=24是原分式方程的解.

【点睛】

本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方程和步骤.

19.-l<x<2,数轴见解析

14

【解析】

【分析】

分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解.

【详解】

5x-l<3(x+l)①

解：’23-15A+1G，

--।②

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，

在数轴上表示如下：

~~6123^

所以不等式组的解集为：-Lx<2.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求

解.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无

解).

“44

20.——-------,—

x+4x5

【解析】

【分析】

直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答窠.

【详解】

(X-4尸/-4-121

M解：原式—

=(x-4)2X+2______1_

-x(x+2)(A+4)(A-4)-x+4'

=--x---4------1-

x(x+4)x+4'

x-4-x

"x(x+4)'

4

-x(x+4)'

当X=1时，

15

44

原式=-]x("4)="，

【点睛】

本题主要考杳了分式的化简求值，解题的关键是掌握正确化简分式的能力.

21.(1)见解析：(2)90；(3)104

【解析】

【分析】

(1)根据题意，可以先证明AAEb和全等，然后即可得到=然后对角线互

相平分的四边形是平行四边形可以证明结论成立；

(2)根据菱形的性质，可以得到4EC的度数；

(3)根据矩形的性质，可以得到乙4EC的度数.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCZ＞是平行四边形，

..DA//CB,

/EAF=/EBC,

•••点E是边A8的中点，

AE=BE，

在和中，

ZEAF=/ECB

AE=BE,

ZAEF=ZBEC

MEF^ABEC(ASA),

:.EF=EC,

又AE=BE,

二.四边形AFBC是平行四边形；

(2)当NAEC的度数为90。时，四边形AF8C是菱形，

理由：•••四边形A尸8c是菱形，

/.AB±CF,

/.ZA£C=90°,

故答案为：90；

(3)当4EC的度数为104度时，四边形是矩形,

16

理由：•••四边形A£8C是矩形，

/.AB=CF,

EC=EB,

:"ECB=/EBC,

•••四边形A8CD是平行四边形，ZD=52°,

:./D=/EBC=52。,

AECB=52°t

ZAEC=^ECB+4EBC=520+52°=104。，

故答案为：104.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的性质，

解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思根解答.

22.30双

【解析】

【分析】

设该商家第一批购进儿童运动鞋x双，则第二批购进儿童运动鞋2K双，根据单价=总价+数

量结合第二批购进的单价比第一批购进的单价贵了10元，即可得出关于x的分式方程，解

之经检验后即可得出结论.

【详解】

解：设该商家第一批购进儿童.运动鞋x双，则第二批购进儿童运动鞋2x双，

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意.

答：该商家第一批购进儿童运动鞋30双.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等审关系，正确列出分式方程.

23.(1)甲种物品单价为300元，乙种物品单价为240元；(2)50件

【解析】

【分析】

17

4

（1）设甲种物品的单价为x元，则乙种物品的单价为三万元，根据购买9000元甲种物品的

数量比购买4800元，乙种物品的数量多5件，列分式方程求解即可；

（2）设购买甲种物品，"件，则购买乙种物品（150-〃?）件，根据总费用不超过3.9万元列不

等式，求出〃［的范围，从而确定加的最大值.

【详解】

4

解：（1）设甲种物品的单价为X元，则乙种物品的单价为元，

45002400

根据题意，得丁一匚，

-X

5

解得，x=300,

经检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意，

乙种物品的单价为：2400x300=240（元），

答：甲种物品的单价为300元，乙种物品的单价为240元；

（2）设购买甲种物品加件，则购买乙种物品（150-〃?）件，

根据题意得，300，〃+240（1507叽39000,

解得，山50,

为非负整数，

:・m的最大值为50,

答：购买甲种物品最多为50件.

【点睛】

本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，列出方程

式解题的关键.

24.（1）①见解析；②60。；③见解析；（2）9

【解析】

【分析】

（1）①由“SAS”可证AAOB三△（7"；

②由全等三角形的性质可得/BAD=ZBCE,由外角的性质可求解：

③在尸C上截取心连接由“SAS”可"证三川⑦〃，可得BF=EH,即可求

解；

（2）由三角形的三边关系可得A8+AO>8O,则当点D在班的延长线上时，有最大

18

值为四+4)=9,即可求解.

【详解】

证明：(I)①•••将线段47)绕点3顺时针旋转60。得到线段BE,

;.BD=BE,ZDBE=6O°,

•••AA8C是等边三角形，

:.AB=BC,ZABC=NDBE=OT,

ZABD=/CBE,

在AAD3和△CEB中，

AB=BC

ZABD=/CBE,

BD=BE

故DBMACEB(SAS)；

②YMDB"CER,

NBAD=NBCE,

-ZAFE=ZCAF+ZACF=ZCAF+ZACB+^BCF=ZCAF+ZBAF+60P,

NA在：=NfiAC+60°=120°,

ZAFC=60°；

③如图I,在尸C上截取尸”=。/，连接。”，

图1

vZAFC=6（r,DF=FH,

「.AD/H是等边三角形，

:.DH=DF=FH,NFDH=60。,

•••将线段省）绕点8顺时车•旋转60。得到线段BE,

;.BD=BE,NDBE=6O0,

.•・A5Z把是等边三角形，

19

:.BD=DE，&DE=B=/FDH,

:"DF=/EDH,

又；BD=DE,DH=DF,

:.\BDF^^EDH(SAS),

;.BF=EH,

:.BF=EF+DF.

(2)将线段BD绕点、B顺时针旋转60。得到线段BE,

BD—EB,

在AABQ中，AB+AD>BD,

当点。在朋的延长线上时，BD有最大值为AB+AD=9,

」.BE的最大值为9.

【点睛】

本题是了几何变换的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的

判定与性质等知识，解题的关键是添加恰当辅助线.

25.该市今年居民用水价格为3元/立方米.

【解析】

【详解】

分析：首先设该市去年居民用水价格为义元/立方米，则今年居民用水价格为。十20%)支元/

立方米，根据用水量列出分式方程，从而得出答案.

详解：解：设该市去年居民用水价格为4元/立方米，则今年居民用水价格为(1+20%)工元/

60404

--

立方米，依题意得：(I+20%)A-T'

解这个方程得：x=2.5,经检验：x=2.5是原方程的解，

•・・(l+20%)x=12x2.5=3,・•・该市今年居民用水价格为3元/立方米.

点睛：本题主要考查的是分式方程的应用，属于中等难度题型.根据题意列出等量关系是解

决这个问题的关键.

26.(1)AE=EF；(2)AE=EF,证明见解析；(3)7

【解析】

【分析】

20

(1)由菱形的性质和已知条件得出S3是等边三角形，得出乙钻。=60。，由等边三角形

的性质和已知条件得出4£=A/，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出

ZBAE=/F,即可得出结论.

(2)过点E作EG//A8交4。于点G,先证明A7%8是等边三角形，得出4)=阴)，

2408=60。，再证明ADGE是等边三角形，得出DG=OF=G£,ZZX7E=6O°,然后由SAS证

得即可得出结论.

(3)过点E作EG//AB交D4延长线于点G,证明同(2),得出A£=EF,证明

ZDAE=ADAB+AEAB=9()°,ZAED=30°,则OE=24Z)=25，AE=^-AD=y/2\=EF,得出

ZEAB=ZEM=30°,=120。，则ZDE”=乙正2-ZA£D=90。，由勾股定理即可得出结果.

【详解】

解：(I)AE=EF；理由如下：

•••四边形A8C。是菱形，

：.AD=AB,

•.•N/^4A=60°,

.•.AZM8是等边三角形，

:.ZABD=(^,

•••£是线段8。的中点，

:.^BAE=ZDAE=30°,BE=DE,

•：BF=DE,

；.BE=BF,

ZF=Z.BEF=-ZABD=30°,

2

.-.Za4E=ZF=3(F,

：