专题9. 8 乘法公式（专项练习）

专题9.8乘法公式（专项练习）

一、单选题

1.已知代数式/-4x+7,则（）

A.有最小值7B.有最大值3

C.有最小值3D.无最大值和最小值

2.已知a+h=3，ab=2.则/+〃的值是（）

A.9B.7C.5D.13

3.设(a+3b)2=(a—3力A,则4=()

A.3B.6abC.0D.12ab

4.若a+b=l,a=b+9,则代数式/一〃的值等于()

A.3B.9C.12D.81

5.若4/一（加-l）x+9是完全平方式，则加的值为（）

A.13B.±12C.11或一13D.一11或13.

6.(-a-b)2等于()

A.a2-2ab+b2B.-a2+2ab-b2C.a2+2ab+b2D.-a2-2ab-b2

7.如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼

成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2,则它另一边的长是（）

A.2a—2B.2aC.2a+1D.2a+2

8.等式（一a—l＞（）="_］中，括号内应填入（）

A.。+1B.\—ciC.-1—dD.a-\

9.若/一2（加一1封+9是完全平方式，则机的值为（)

A.4B.2或TC.±6D.—2或4

10.下列运算中，不能用平方差公式运算的是（)

A.（一〃-c）（-Z?+c）B._（x+y）（一%_y）

c.（x+y）（x-y）D.（x+y）（2x-2y）

11.若4=（2+1乂22+1乂24+1）（2&+1）+1,则A的末位数字是（）

A.4B.2C.5D.6

1.1

12.已知：机+—=3,则：帆+「■的值为（）

mm'

A.15B.18C.21D.9

13.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代

2

数恒等式.例如左图可以用来解释（a+b）2—（a-b）=4ab.那么通过右图面积的计算，

验证了一个恒等式，此等式是（）

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a—b)(a+2b)-crab-b1

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.(a+b)2=/+2ab+b?

二、填空题

14.已知代数式/+2%+5可以利用完全平方公式变形为（x+l『+4,进而可知f+2%+5

的最小值是4.依此方法，代数式产一），+5的最小值是.

16.如图，正方形ABCD,根据图形写出一个正确的等式：

17.下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程.根据下图，写出一

个正确的等式：.

18.若k2+丁2_]乂尤2+,2+])=8,则％2+》2=

19.计算：(x+2#(x2+4y2)(x_2y)=.

20.已知。＜2,如果一个正方形的面积是(。2一4。+4)。加2,则这个正方形的周长是

___________________cm.

21.若a-b=7,ab=-12,则(。+勿2=

22.已知病+〃2=15,(m-n)2=1,则。"+〃)2=

23.若/—"优+9是一个完全平方式，则，"的值是.

24.如图，两个正方形的边长分别为a,b,如果。+h=出;=9,则阴影部分的面积为一.

25.若V+6x+加为完全平方式，则机=.

26.计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=.

三、解答题

27.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后

按图2的形状拼成一个正方形.

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于；

(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

;

②•

(3)观察图2你能写出(机+〃>,(m-n)2,相〃三个代数式之间的等量_________

(4)运用你所得到的公式，计算若知人=8,ab=7,求。一方和/―/的值.

(5)用完全平方公式和非负数的性质求代数式21+4x+3y2-18y+32的最小值.

28.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图(1)可以

用来解释Y+2出?+〃=(a+b)2,实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次

三项式进行因式分解.

如图(2),将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为用的大正方

形，两块是边长都为〃的小正方形，五块是长为加，宽为〃的全等小长方形，且〃?>〃.(以

上长度单位：cm)

(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5加〃+2”2可以分解因式为

图⑴

（2）若每块小长方形的面积为10c〃/,四个正方形的面积和为58c加2,试求图中所有裁剪

线（虚线部分）长之和.

图(2)

29.计算：(1)(x+l)2-(x—l)(x+2)(2)(3x—y+4)(3x+y—4)

30.计算:

(1)2a(4a2-2a+l)

(2)(2x-l)(2x+2)-(-2x)2

(3)(-x-2yXx-2y)-(2y-xY

(4)99-xlOO-(用简便方法计算)

22

参考答案

I.c

【分析】

利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可.

【详解】

解：x2-4x+7

=x2-4x+4+3

=(x-2)2+3,

,/(x-2)2>0,

(x-2)2+323,

•••代数式x2-4x+7有最小值3,

故选：C.

【点拨】

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.

2.C

【分析】

根据完全平方公式即可求出答案.

【详解】

解：+=片+2。人+/?2,

.-.31=a2+b2+2x2,

：.a2+h2=9-4=5

故选：C.

【点拨】

本题考查完全平方公式，属于基础题型，熟记公式是解题的关键.

3.D

【分析】

利用完全平方公式进行变形求解即可.

【详解】

根据(x+y)~_(x-y)2=4移，

得4=（。+3刀2一（。-3切2=4438=12曲，

故选：D.

【点拨】

本题考查了完全平方公式的变形运用，熟记完全平方公式及其变形形式是解决问题的关键.

4.B

【分析】

逆用平方差公式计算.

【详解】

由题：a+b-\-a-b=9

则=^a+b^a-b^=\x9=9

故选:B.

【点拨】

本题考查了平方差公式的逆运用，能够熟练运用基本公式是解决问题的关键.

5.D

【分析】

根据完全平方公式的概念进行配凑即可.

【详解】

由题意，4/一（加一1»+9是完全平方式，则4/—（加―1）X+9=（2X±3）2,

m-1=±2X2X3=±12,加=—11或13；

故选：D.

【点拨】

本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解决问题的关键.

6.C

【分析】

直接利用完全平方公式计算即可.

【详解】

解：（一a-/?）?=（a+b）2=/+2。。+/,

故选：C.

【点拨】

本题考查完全平方公式.熟记公式是解题关键.

7.D

【分析】

根据图形的拼接，用大正方形的面积减去小正方形的面积可得新长方形的面积可得出答案.

【详解】

解：设长方形边长为X,

则有(a+2)2-a2=2x,

a2+4a+4-a2=2x,

x=2a+2,

故选D.

【点拨】

本题考查平方差公式的几何背景，正确表示两个图形的面积是得出关系式的关键.

8.B

【分析】

根据平方差公式的结构特征进行解答即可.

【详解】

解：结合题意，可知相同项是-a,相反项是1和-1,

，空格中应填：1-a.

故选:B.

【点拨】

本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的结构特征，是解决此类问题的关键.

9.D

【分析】

先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的

值.

【详解】

解：x2-2(m-l)x+9=x2-2(m-l)x+32,

-2(m-l)x=±2x3,

解得m=-2或m=4,

故选：D.

【点拨】

本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到-2(机-l)x=±2x3是解决问题的关

键.

10.B

【分析】

根据平方差公式逐项分析即可.

【详解】

A.(-b-c)(-b+c)=(-b)2-c2,故能用平方差公式计算.此选项不符合题意.

B.-(x+y)(-%-y)=x2+2xy+y2,故不能用平方差公式计算.此选项符合题意.

C.(x+y)(x-y)=x2-y2,故能用平方差公式计算.此选项不符合题意.

D.(x+y)(2x-2y)=2(x+y)(x-y)=2(x2-y2)=2x2-2y2,故能用平方差公式计

算.此选项不符合题意.

故选：B.

【点拨】

本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表

示为：(a+b)(a-b)=a2-b2.

11.D

【分析】

在原式前面加(2-1),利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得

到答案.

【详解】

A=(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=（24-1）（24+1）（28+1）+1

=（28-1）（28+1）+1

=2'6>

；2的末位数字是2,

2z的末位数字是4,

23的末位数字是8,

2’的末位数字是6,

25的末位数字是2,

每4次为一个循环，

•.•16+4=4,

•••2咐的末位数字与2,的末位数字相同，即末位数字是6,

故选：D.

【点拨】

此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数

字的规律得到答案是解题的关键.

12.B

【分析】

把m+工=3两边平方得出加+上的值，再把机3+4变形代入即可得出答案

mnrm'

【详解】

解：=3,

tn

1Y

m-\——=9,

m)

/.m2+，-=7

m"

••・U)”T++卜%-1)=18

故选：B

【点拨】

本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键

13.C

【分析】

利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式(a-加2直接计算，另一种是割补

法得"―2"+〃，根据面积相等即可建立等式，得出结论.

【详解】

■空白部分的面积：(a-b)2,

还可以表示为：a2-2ab+lr-

/.此等式是（a-0I=a2-lab+b2.

故选：C.

【点拨】

本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空白

部分的面积是解题的关键.

,3

14.4-

4

【分析】

把代数式V—y+5配方成a(x+b)2+c的形式，即可求解.

【详解】

解：*.•y2_y+5=(y_J_]+43,

I2；4

3

「・y?—y+5的最小值是4—.

3

故答案为：4—.

4

【点拨】

本题考查完全平方公式，解题的关键是读懂题意，在式子的变形中要注意变化前后式子的

值不变.

【分析】

原式整理后，直接利用平方差公式计算即可.

【详解】

故答案为：U-p2.

16

【点拨】

本题考查平方差公式.熟记平方差公式（（。+份（。-6）=。2一〃）是解决此题的关键.

16.答案不唯一：（a+/?）2==a2+2a/?+》2

【分析】

根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案.

【详解】

解：（a+b）2=a2+2ab+b2

故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2

【点拨】

本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题.

17.（a+4）~—（6/+1）=3（a+4+a+l）

【分析】

裁剪前，第二图的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，裁剪拼凑后面积等于长x宽,

它们面积相等，据此可列出等式.

【详解】

解：如下图的面积在裁剪前=（。+4）2-（〃+1）2,

裁剪拼凑后=（。+4+。+1）［。+4—（。+1）］—3（。+4+。+1）,

裁剪前后面积相等，故：3+4）2-3+1）2=3（a+4+a+l）

故答案为：（a+4）2-（。+1）2=3（a+4+a+l）.

【点拨】

本题考查了平方差公式的几何背景.掌握等面积法是解题关键.

18.3

【分析】

运用平方差公式进行计算.

【详解】

V(x2+y2-+/+1)=8,

[x2+y2]2-l2=8,

.,.[x2+y2]2=9,

又•；x2+y2加

/.x2+y2=3.

故答案为:3.

【点拨】

考查了运用平方差公式进行计算，解题关键是熟记平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

19.x4-16/

【分析】

可利用平方差公式进行计算.

【详解】

解：原式=(x+2y)(x_2y)(x2+4y2)

=(x2-4j2)(x2+4y2)

=x4-\6y4

故答案为：X4-16/

【点拨】

本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题得关键.

20.8-4a

【分析】

先利用完全平方公式对("-4a+4)进行分解因式，再根据正方形面积公式即可求出正方

形的边长，然后利用边长即可求出周长.

【详解】

解：：a2-4a+4=(a-2)2,

又,：a<2,

正方形的边长为(2-a)cm,

...正方形的周长为：4(2-a)=(8-4a)cm,

故答案为：8-4a.

【点拨】

本题主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面积和周长的计算问题，掌握公

式法分解因式是解题的关键.

21.1.

【分析】

利用整式的乘法公式进行计算即可.

【详解】

(«+Z?)2—(«—/?)"=4ab,

.•.(a+Zj)2=(a-Z?)2+4aZ?=72+4x(-12)=l,

故答案为：1.

【点拨】

本题考查了整式的乘法公式，理解完全平方和与完全平方差之间的联系，是解决本题的关键.

22.29.

【分析】

利用完全平方公式计算即可求H；.

【详解】

V(m1,nr+2mn+n2=1'

Vm2+n2=15>15-l=2/m,

mn=7,

(m+n)'=〃/+n2+2/wn=15+2x7=29.

【点拨】

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

23.±6

【分析】

根据完全平方公式的结构特征求解即可.

【详解】

解：,.,/―3+9=/—"田+32是完全平方式，

m=±6,

故答案为±6.

【点拨】

本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题属于基础题型.

24.27

【分析】

阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可.

【详解】

Va+h=ab=9

/.S=/+/—g/—gb（Q+Z?）

+b2-ab^

；［（4+0）--3ab

gx（81—27）

=27.

故答案为：27.

【点拨】

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

25.9

【分析】

完全平方式可以写为首末两个数的平方卜+而丁，则中间项为x和标积的2倍，即可解

得m的值.

【详解】

解：根据题意，V+Gx+m是完全平方式，且6>0,

可写成+,

则中间项为x和右枳的2倍，

故6x=2x\[m>

m=9,

故答案填：9.

【点拨】

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完

全平方式.注意中间项的符号，避免漏解.

26.216

【分析】

在原来的算式前面乘上(2-1),根据平方差公式，进行计算，即可求解.

【详解】

原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)+1

=(28—1)(28+1)+1

=(2|6-1)+1

=216.

故答案是：29

【点拨】

本题主要考查有理数的运算，掌握平方差公式，是解题的关键.

27.(1)m-n；(2)①(m-n)2；②(m+n)2-4mn；(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn；(4)

a-b=±6,a2—b2=±48；（5）3

【分析】

（l）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；

（2）从整体与局部两个思路考虑解答；

（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面枳等于四个长方形的面积解答：

（4）根据（0-32=（“+92-4时,可得a-b的值，再根据。2_力2=（4+8）（。一匕）求出〃

的值；

（5）利用完全平方公式将原式变形为2（x+iy+3（y-3丫+3,再根据非负数的性质可求

出最小值为3.

【详解】

解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；

（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2,

还可以表示为（m+n）2-4mn；

（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn：

（4）方=8,a〃=7,

/.（a-bY=+-4ab=8?_4xy=36,

a—h=±6,

若a-b=6,则〃2一/=（4+6）（々-6）=8><6=48,

若。一〃=-6,则a2—/?2=（6r+Z?）（6f—Z?）=8x（—6）=-48；

（5）+4%+3y2-18y+32

=2x2+4x4-24-3/-18y+27+3

=2（x+l）2+3（y-3）2+3

V2（X+1）2>0,3（^-3）2>0,

・•・2（x+l）2+3（y—3『+3>3,即最小值为3.

【点拨】

本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法

得到的代数式的值相等列式是解题的关键.

28.（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.

【分析】

（1）根据图形的面积直接可以得到；

（2）根据2川+2/=58，/m=10.可得加+*=29,可求得加+〃=7,根据图形

可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是6,〃+6〃，据此求解即可.

【详解】

（1）根据图形，依题意可得:2m2+5mn+In2-（m+2n）（2m+n）

（2）依题意得2疗+2〃2=58，7加=10

m2+n2=29

Q（m+n）'=m2+2mn+n2

\（m+"I=29+20=49

m+n>Q

.,.m+n-l,

根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：