一轮复习三角函数的图象和性质

xyo1-1-2

-

234正弦曲线-2

-

o

23x-11y余弦曲线0-11xy正切函数的图像1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个____的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的________________．f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质x∈R

x∈R

[－1，1]

[－1，1]

R

[2kπ，2kπ＋π]

－1

x＝kπ，k∈Z

1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】

不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】

y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．【答案】

D【答案】

A【答案】

CDAB初相是___.π121ππ41．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．【思路点拨】

(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略定义域．1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．【思路点拨】

本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．【答案】

B求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．创新探究之四三角函数单调性的创新应用【答案】

A创新点拨：(1)题目背景创新，已知三角函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，考查了学生的逆向思维．(2)解法创新，本题有多种解法，但每种解法都是建立在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的．应对措施：(1)此类题目不管背景如何新颖，都是考查对基础知识的理解与掌握，求解时可从基础知识、基本方法入手．【答案】

D课后作业（二十）2.三角函数图象的变化规律(其中A＞0，ω>0)(1)先平移后伸缩y=sinx的图象y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)+k的图象．向左(φ>0)或向右(φ<0)平移____个单位长度|φ|横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的___(纵坐标不变)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的____倍(横坐标不变)A向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度(2)先伸缩后平移y=sinx的图象y=Asinx的图象y=Asinωx的图象y=Asin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)+k的图象．纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的____倍(横坐标不变)A横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的___(纵坐标不变)向左(φ>0)或向右(φ<0)平移____个单位向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度【即时应用】(1)y＝sin(x＋)的图象是由y＝sinx的图象向_____平移_____个单位得到的.(2)y＝sin(x－)的图象是由y＝sinx的图象向_____平移_____个单位得到的.(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向_____平移_____个单位得到的.(4)y=sin(2x+)的图象是由y=sin2x的图象向_____平移_____个单位得到的.【例2】(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0,ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()(A)A＝3，(B)A＝1，(C)A＝1，(D)A＝1，【例1】画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.【解题指南】作函数y＝3sin(2x＋)的图象可用五点作图或图象变换法.【规范解答】方法一：五点法由T＝得T＝π，列表：x2x+3sin(2x+)0π2π30-300描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+)在R上的图象.(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象的一段，它的解析式为()(A)(B)(C)(D)(3)如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0,｜φ｜＜的一段图象，则函数f(x)的解析式为___________.【解题指南】由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求ω；最后根据所给的数据求φ.【规范解答】(1)选C.由图象知，所以由得k∈Z，当k=-1时，【变式训练】(2012·三明模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为()(A)y=2sin(2x+)(B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(D)y=2sin(2x-)课前热身答案：AD答案：A[自测牛刀小试]答案：C[典题导入]

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

[互动探究]若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)．2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)