复数指数幂及其运算课件

复数指数幂及其运算欢迎来到关于复数指数幂及其运算的课程！本次课程旨在深入探讨复数领域中指数幂的概念、性质及其运算规则。我们将从回顾实数指数幂入手，逐步扩展到复数，详细讲解欧拉公式及其应用，并通过丰富的例题和练习，帮助大家掌握复数指数幂的计算方法和应用技巧。希望通过本次课程，大家能够对复数指数幂有更深刻的理解，并能在实际问题中灵活应用。课程导入：回顾实数指数幂的定义和运算性质在深入复数指数幂之前，让我们首先回顾一下实数指数幂的定义和运算性质。对于实数a和正整数n，a的n次幂表示n个a相乘。当指数扩展到实数范围时，我们有分数指数幂和无理数指数幂。实数指数幂的运算性质包括同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方等。这些基本概念和性质是理解复数指数幂的基础，务必牢固掌握。定义a^n=a*a*...*a(n个a)性质a^m*a^n=a^(m+n)(a^m)^n=a^(mn)(ab)^n=a^n*b^n为什么需要扩展到复数？将指数幂从实数扩展到复数，并非仅仅是数学上的好奇，而是有着深刻的理论意义和广泛的应用价值。在实数范围内，许多方程无法求解，而引入复数后，这些问题迎刃而解。例如，解方程x^2+1=0。此外，在物理学、工程学等领域，复数指数幂在描述周期性现象、波动现象等方面有着不可替代的作用。因此，扩展到复数是数学发展的必然趋势，也是解决实际问题的需要。1完善数学理论解决实数范围内无法求解的问题。2实际应用需求在物理、工程等领域描述周期性现象。3数学发展的必然扩展数学概念，深化数学理论。复数的概念回顾：实部、虚部、模长、辐角在深入复数指数幂之前，我们需要对复数的概念进行回顾。一个复数通常表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位（i^2=-1）。复数的模长是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，记为|z|=√(a^2+b^2)。复数的辐角是指从正实轴到复数向量的夹角，记为arg(z)。这些基本概念是理解复数指数幂的基础。实部(a)复数的实数部分。虚部(b)复数中虚数单位i的系数。模长(|z|)复平面上点到原点的距离。复数的表示形式：代数形式、三角形式、指数形式复数有多种表示形式，常见的有代数形式、三角形式和指数形式。代数形式为z=a+bi，其中a和b为实数。三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。指数形式为z=re^(iθ)，它是根据欧拉公式推导而来，将复数与指数函数联系起来。不同的表示形式在不同的场景下有不同的优势，灵活运用可以简化计算。1代数形式z=a+bi2三角形式z=r(cosθ+isinθ)3指数形式z=re^(iθ)欧拉公式：连接指数函数与三角函数欧拉公式是复数理论中最重要的公式之一，它将指数函数与三角函数联系起来，形式简洁而优美：e^(iθ)=cosθ+isinθ。这个公式表明，以虚数单位i为指数的指数函数，其值等于一个复数，该复数的实部是θ的余弦，虚部是θ的正弦。欧拉公式在复数指数幂的定义和计算中起着核心作用，是理解复数指数幂的关键。公式e^(iθ)=cosθ+isinθ含义连接指数函数与三角函数。作用复数指数幂定义和计算的核心。欧拉公式的几何意义欧拉公式不仅在数学上有着重要的意义，其几何意义也十分直观。在复平面上，e^(iθ)表示一个模长为1的复数，其辐角为θ。换句话说，e^(iθ)对应于复平面上以原点为圆心，半径为1的单位圆上的一个点。随着θ的变化，e^(iθ)在单位圆上运动，体现了指数函数与圆周运动的内在联系。这种几何解释有助于我们更深入地理解欧拉公式。单位圆1模长为12辐角为θ3复指数函数的定义：ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)基于欧拉公式，我们可以定义复指数函数。对于复数z=x+iy，其复指数函数定义为e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x(cosy+isiny)。这个定义将实指数函数扩展到复数域，其中e^x是实指数函数，cosy+isiny是利用欧拉公式得到的复数。复指数函数的定义是理解复数指数幂的基础。1e^z2e^(x+iy)3e^x*e^(iy)4e^x(cosy+isiny)复指数函数的性质：周期性复指数函数具有周期性，这是与实指数函数的一个重要区别。由于sin和cos函数是周期函数，其周期为2π，因此e^(i(y+2π))=e^(iy)。这意味着e^(z+2πi)=e^z，即复指数函数的周期为2πi。理解复指数函数的周期性对于计算复数指数幂至关重要，特别是涉及到多值性问题时。1sin和cos的周期性2e^(i(y+2π))=e^(iy)3e^(z+2πi)=e^z复指数函数的性质：导数复指数函数具有良好的导数性质。对于复指数函数e^z，其导数仍然是e^z，即d(e^z)/dz=e^z。这个性质与实指数函数类似，但在复数域中仍然成立。导数性质在复分析中有着重要的应用，例如在求解微分方程、计算积分等方面。导数公式简洁明了。复指数函数的性质：加法定理复指数函数满足加法定理，即e^(z1+z2)=e^z1*e^z2。这个性质与实指数函数类似，但在复数域中同样成立。加法定理在简化复指数函数的计算中非常有用，例如可以将复杂的指数函数分解为简单的指数函数相乘。理解和掌握加法定理对于计算复数指数幂至关重要。公式e^(z1+z2)=e^z1*e^z2复指数函数的图像：模长和辐角的变化复指数函数的图像可以帮助我们更直观地理解其性质。对于e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)，其模长为e^x，辐角为y。这意味着当x增加时，模长呈指数增长；当y增加时，辐角线性增加，对应于在复平面上绕原点旋转。通过观察复指数函数的图像，我们可以更好地理解其模长和辐角的变化规律。图像直观展示模长和辐角的变化。复数指数幂的定义：za=ealnz有了复指数函数的基础，我们可以定义复数指数幂。对于复数z和复数a，z的a次幂定义为z^a=e^(alnz)。这个定义利用了复指数函数和复对数函数，将复数指数幂与我们已经熟悉的函数联系起来。需要注意的是，由于lnz是多值函数，因此z^a也是多值函数。定义z^a=e^(alnz)关键lnz是多值函数注意：lnz是多值函数复对数函数lnz是多值函数，这是理解复数指数幂的关键。对于复数z=re^(iθ)，其对数可以表示为lnz=lnr+i(θ+2kπ)，其中k为整数。这意味着对于同一个复数z，存在无穷多个对数值，它们之间相差2kπi。lnz的多值性导致z^a也是多值函数，在计算复数指数幂时必须加以注意。1定义lnz=lnr+i(θ+2kπ),k∈Z2原因e^(iθ)的周期性3结果z^a也是多值函数复数指数幂的计算示例：计算ii让我们通过一个例子来演示如何计算复数指数幂。计算i^i。首先，将i表示为指数形式i=e^(iπ/2)。然后，利用复数指数幂的定义，i^i=e^(ilni)=e^(i*iπ/2)=e^(-π/2)。因此，i^i是一个实数，其值为e^(-π/2)。这个例子展示了复数指数幂计算的基本步骤。步骤1i=e^(iπ/2)步骤2i^i=e^(ilni)步骤3i^i=e^(i*iπ/2)=e^(-π/2)复数指数幂的计算示例：计算(1+i)i计算(1+i)^i。首先，将1+i表示为指数形式1+i=√2*e^(iπ/4)。然后，利用复数指数幂的定义，(1+i)^i=e^(iln(1+i))=e^(i(ln√2+iπ/4))=e^(-π/4+iln√2)=e^(-π/4)*(cos(ln√2)+isin(ln√2))。这个例子展示了更复杂的复数指数幂的计算过程。1+i√2*e^(iπ/4)(1+i)^ie^(iln(1+i))结果e^(-π/4)*(cos(ln√2)+isin(ln√2))复数指数幂的计算示例：涉及三角函数的例子计算(cosθ+isinθ)^a。根据欧拉公式，cosθ+isinθ=e^(iθ)。因此，(cosθ+isinθ)^a=(e^(iθ))^a=e^(iaθ)=cos(aθ)+isin(aθ)。这个例子展示了如何利用欧拉公式简化涉及三角函数的复数指数幂的计算。1步骤1cosθ+isinθ=e^(iθ)2步骤2(cosθ+isinθ)^a=(e^(iθ))^a3步骤3e^(iaθ)=cos(aθ)+isin(aθ)复数指数幂的运算性质：一般情况下，(za)b≠zab在实数范围内，我们有(a^m)^n=a^(mn)这个运算性质。但在复数范围内，由于lnz的多值性，这个性质一般情况下不成立。例如，考虑z=-1，a=1/2，b=2。则(z^a)^b=(√(-1))^2=(i)^2=-1，而z^(ab)=z^1=-1。虽然在这个例子中相等，但在一般情况下，由于多值性的影响，两者是不相等的。因此，在计算复数指数幂时，不能随意使用实数范围内的运算性质。实数范围(a^m)^n=a^(mn)复数范围(za)^b≠zab(一般情况下)复数指数幂的运算性质：一般情况下，zazb≠za+b类似于幂的乘方，在实数范围内，我们有a^m*a^n=a^(m+n)这个运算性质。但在复数范围内，由于lnz的多值性，这个性质一般情况下也不成立。例如，考虑z=-1，a=1/2，b=1/2。则z^a*z^b=√(-1)*√(-1)=i*i=-1，而z^(a+b)=z^1=-1。虽然在这个例子中相等，但在一般情况下，由于多值性的影响，两者是不相等的。因此，在计算复数指数幂时，不能随意使用实数范围内的运算性质。实数范围a^m*a^n=a^(m+n)1复数范围zazb≠za+b(一般情况下)2复数指数幂的运算性质：举例说明性质不成立的情况为了更清楚地说明复数指数幂的运算性质不成立的情况，我们可以举更多的例子。例如，考虑z=e^(iπ)，a=1/2，b=1/2。则z^a=e^(iπ/2)=i，z^b=e^(iπ/2)=i，因此z^a*z^b=i*i=-1。但是，z^(a+b)=z^1=e^(iπ)=-1。在这个例子中，z^a*z^b=z^(a+b)。然而，如果我们选择不同的lnz的值，结果可能不同。因此，在计算复数指数幂时，必须谨慎处理多值性问题。1假设z=e^(iπ),a=1/2,b=1/22计算z^a*z^b=-13计算z^(a+b)=-1多值性问题：lnz的多值性导致za的多值性由于复对数函数lnz的多值性，导致复数指数幂z^a也是多值函数。对于给定的复数z和a，存在无穷多个z^a的值，它们之间相差一个复数因子。这个复数因子与lnz的多值性有关，具体来说，不同的lnz的值会导致不同的z^a的值。因此，在计算复数指数幂时，必须考虑多值性问题，并选择合适的lnz的值。1原因lnz的多值性2结果za的多值性3解决选择合适的lnz的值如何选择合适的lnz的值？由于lnz是多值函数，因此在计算复数指数幂时，需要选择合适的lnz的值。一种常用的方法是选择lnz的主值，即Lnz。主值是指lnz的辐角位于(-π,π]区间内的值。选择主值可以保证计算结果的唯一性，但也可能忽略其他可能的值。在某些情况下，需要考虑所有可能的lnz的值，才能得到完整的解。主值Lnz所有值lnz选择合适的lnz的值取决于具体问题。主值：lnz的主值Lnz复对数函数lnz的主值Lnz是指lnz的辐角位于(-π,π]区间内的值。对于复数z=re^(iθ)，其中-π<θ≤π，其主值为Lnz=lnr+iθ。主值是lnz的一个特殊值，也是最常用的值。选择主值可以保证计算结果的唯一性，并且在许多情况下可以简化计算。定义Lnz=lnr+iθ,-π<θ≤π主值：复数指数幂的主值Za=eaLnz类似于复对数函数，我们可以定义复数指数幂的主值。复数指数幂z^a的主值Za定义为Za=e^(aLnz)，其中Lnz是lnz的主值。主值是z^a的一个特殊值，也是最常用的值。在计算复数指数幂时，通常先计算主值，然后再考虑其他可能的值。定义Za=e^(aLnz)Lnzlnz的主值主值：计算主值的示例让我们通过一个例子来演示如何计算复数指数幂的主值。计算i^i的主值。首先，计算lni的主值，Lni=iπ/2。然后，利用复数指数幂主值的定义，Ii=e^(iLni)=e^(i*iπ/2)=e^(-π/2)。因此，i^i的主值为e^(-π/2)。这个例子展示了复数指数幂主值计算的基本步骤。1步骤1计算Lni=iπ/22步骤2计算Ii=e^(iLni)3步骤3计算Ii=e^(-π/2)主值：主值与所有值的关系复数指数幂的主值只是所有值中的一个。对于给定的复数z和a，z^a有无穷多个值，它们之间相差一个复数因子。这个复数因子与lnz的多值性有关，具体来说，z^a的所有值可以表示为Za*e^(2kπia)，其中k为整数，Za为主值。因此，通过主值，我们可以得到z^a的所有值。主值只是所有值中的一个所有值Za*e^(2kπia),k∈Z应用：解方程za=b复数指数幂可以应用于解方程。例如，对于方程z^a=b，其中a和b为已知复数，我们可以利用复数指数幂的定义来求解z。首先，将方程两边取对数，得到alnz=lnb。然后，解出lnz，得到lnz=lnb/a。最后，利用复指数函数，得到z=e^(lnb/a)。需要注意的是，由于lnb是多值函数，因此z也有多个解。方程z^a=b取对数alnz=lnb解z=e^(lnb/a)应用：计算复杂积分复数指数幂可以应用于计算复杂积分。在复分析中，许多复杂的积分可以通过将积分函数表示为复数指数函数的形式来简化计算。例如，利用欧拉公式，可以将三角函数积分转化为复指数函数积分，然后利用留数定理等方法进行计算。这种方法在求解许多实际问题中非常有用。1步骤1将积分函数表示为复数指数函数2步骤2利用留数定理等方法计算积分应用：在物理学中的应用，如量子力学复数指数幂在物理学中有着广泛的应用，特别是在量子力学中。在量子力学中，波函数通常表示为复数形式，而波函数的演化则可以通过复数指数函数来描述。例如，自由粒子的波函数可以表示为e^(i(kx-ωt))，其中k为波数，ω为角频率。复数指数函数在描述粒子的波动性方面起着核心作用。量子力学波函数通常表示为复数形式波函数演化可以通过复数指数函数来描述应用：在工程学中的应用，如信号处理复数指数幂在工程学中也有着重要的应用，特别是在信号处理中。信号通常表示为复数形式，而信号的分析和处理则可以通过复数指数函数来实现。例如，傅里叶变换就是将信号分解为不同频率的复数指数函数的叠加。复数指数函数在信号处理中起着核心作用。信号处理信号通常表示为复数形式1傅里叶变换将信号分解为不同频率的复数指数函数2例题1：计算(1-i)^(1+i)的所有可能值计算(1-i)^(1+i)的所有可能值。首先，将1-i表示为指数形式1-i=√2*e^(-iπ/4+2kπi)。然后，利用复数指数幂的定义，(1-i)^(1+i)=e^((1+i)ln(1-i))=e^((1+i)(ln√2-iπ/4+2kπi))=e^(ln√2+π/4-2kπ+i(ln√2-π/4+2kπ))。因此，(1-i)^(1+i)的所有可能值为e^(ln√2+π/4-2kπ)*(cos(ln√2-π/4+2kπ)+isin(ln√2-π/4+2kπ))，其中k为整数。1步骤11-i=√2*e^(-iπ/4+2kπi)2步骤2(1-i)^(1+i)=e^((1+i)ln(1-i))3步骤3所有可能值表达式例题1：计算(1-i)^(1+i)的主值计算(1-i)^(1+i)的主值。首先，计算ln(1-i)的主值，Ln(1-i)=ln√2-iπ/4。然后，利用复数指数幂主值的定义，(1-i)^(1+i)的主值为e^((1+i)Ln(1-i))=e^((1+i)(ln√2-iπ/4))=e^(ln√2+π/4+i(ln√2-π/4))=e^(ln√2+π/4)*(cos(ln√2-π/4)+isin(ln√2-π/4))。这个例子展示了复数指数幂主值计算的基本步骤。1步骤1计算Ln(1-i)=ln√2-iπ/42步骤2计算(1-i)^(1+i)的主值3步骤3主值表达式例题2：解方程zi=1解方程z^i=1。首先，将方程两边取对数，得到ilnz=ln1=2kπi，其中k为整数。然后，解出lnz，得到lnz=2kπ。最后，利用复指数函数，得到z=e^(2kπ)，其中k为整数。因此，方程z^i=1的解为z=e^(2kπ)，其中k为整数。解方程的步骤。例题2：验证解的正确性为了验证方程z^i=1的解的正确性，我们可以将解z=e^(2kπ)代入原方程。则(e^(2kπ))^i=e^(2kπi)=cos(2kπ)+isin(2kπ)=1，其中k为整数。因此，解z=e^(2kπ)满足原方程，验证了解的正确性。验证(e^(2kπ))^i=e^(2kπi)=1例题3：利用复数指数幂计算积分计算积分∫e^(ax)cos(bx)dx。首先，将cos(bx)表示为复数形式cos(bx)=Re(e^(ibx))，其中Re表示取实部。然后，积分变为∫e^(ax)Re(e^(ibx))dx=Re(∫e^(ax)e^(ibx)dx)=Re(∫e^((a+ib)x)dx)=Re(e^((a+ib)x)/(a+ib))=Re((a-ib)e^((a+ib)x)/(a^2+b^2))=e^(ax)(acos(bx)+bsin(bx))/(a^2+b^2)。这个例子展示了如何利用复数指数幂计算积分。步骤1cos(bx)=Re(e^(ibx))步骤2计算复指数积分步骤3取实部得到结果例题3：积分路径的选择在利用复数指数幂计算积分时，积分路径的选择非常重要。不同的积分路径可能会导致不同的结果。通常情况下，我们会选择沿着实轴的积分路径，或者选择沿着某个特定的闭合曲线的积分路径。积分路径的选择取决于具体的问题，需要根据积分函数的性质和积分区域的特点进行选择。1实轴积分沿着实轴的积分路径2闭合曲线积分沿着某个特定的闭合曲线的积分路径常见错误：忽略lnz的多值性在计算复数指数幂时，一个常见的错误是忽略lnz的多值性。由于lnz是多值函数，因此z^a也是多值函数。如果忽略了lnz的多值性，可能会导致计算结果不完整，甚至错误。因此，在计算复数指数幂时，必须时刻注意lnz的多值性，并选择合适的lnz的值。错误忽略lnz的多值性结果计算结果不完整或错误注意时刻注意lnz的多值性常见错误：错误使用指数运算性质在计算复数指数幂时，另一个常见的错误是错误使用指数运算性质。在实数范围内成立的指数运算性质，在复数范围内不一定成立。例如，(a^m)^n=a^(mn)和a^m*a^n=a^(m+n)在复数范围内一般不成立。因此，在计算复数指数幂时，不能随意使用实数范围内的指数运算性质。错误错误使用指数运算性质原因复数范围内性质不一定成立常见错误：对主值概念理解不清在计算复数指数幂时，还有一个常见的错误是对主值概念理解不清。主值是复数指数幂的一个特殊值，也是最常用的值。如果对主值概念理解不清，可能会导致计算结果错误，或者无法正确选择合适的lnz的值。因此，在计算复数指数幂时，必须对主值概念有清晰的理解。1错误对主值概念理解不清2结果计算结果错误或无法正确选择lnz技巧：熟练掌握欧拉公式要熟练掌握复数指数幂的计算，首先要熟练掌握欧拉公式。欧拉公式是连接指数函数与三角函数的重要桥梁，是理解复数指数幂的基础。只有熟练掌握欧拉公式，才能灵活运用复数的各种表示形式，简化复数指数幂的计算。因此，要花时间练习欧拉公式的应用，使其成为你的本能。欧拉公式核心公式灵活运用简化计算熟能生巧成为本能技巧：灵活运用复数的各种表示形式复数有多种表示形式，包括代数形式、三角形式和指数形式。不同的表示形式在不同的场景下有不同的优势。要熟练掌握复数指数幂的计算，需要灵活运用复数的各种表示形式，选择最合适的表示形式进行计算。例如，在计算乘除法时，指数形式通常更方便；在计算加减法时，代数形式通常更方便。代数形式1三角形式2指数形式3技巧：注意区分主值和所有值在计算复数指数幂时，需要注意区分主值和所有值。主值只是所有值中的一个，也是最常用的值。如果只需要计算一个值，可以选择主值；如果需要计算所有值，则需要考虑lnz的多值性，并利用主值得到所有值。因此，要根据具体的问题，选择合适的值。1主值常用值2所有值考虑lnz的多值性难点：lnz的多值性处理lnz的多值性是复数指数幂计算中的一个难点。由于lnz是多值函数，因此z^a也是多值函数。要正确处理lnz的多值性，需要对复对数函数的定义有深刻的理解，并能够灵活运用。此外，还需要根据具体的问题，选择合适的lnz的值，才能得到正确的计算结果。1难点lnz的多值性2需要深刻理解复对数函数3需要灵活运用和选择难点：指数运算性质的适用条件指数运算性质的适用条件是复数指数幂计算中的另一个难点。在实数范围内成立的指数运算性质，在复数范围内不一定成立。因此，在计算复数指数幂时，不能随意使用实数范围内的指数运算性质。需要对指数运算性质的适用条件有清晰的理解，才能避免错误。指数运算性质的适用范围。难点：实际应用中问题的建模将实际问题转化为复数指数幂的计算问题，是复数指数幂应用中的一个难点。在实际问题中，往往需要根据问题的特点，选择合适的数学模型，才能将问题转化为复数指数幂的计算问题。因此，需要对实际问题有深刻的理解，并具备良好的数学建模能力。难点实际问题转化为复数指数幂计算拓展：广义指数函数除了我们前面介绍的复指数函数e^z，还有广义指数函数。广义指数函数是指形如a^z的函数，其中a为任意复数。广义指数函数的定义和性质与e^z类似，但更加一般化。对广义指数函数的深入研究，可以帮助我们更全面地理解复指数函数。定义a^z,a∈C特点更加一般化拓展：黎曼曲面黎曼曲面是复分析中的一个重要概念，可以用来解决多值函数的问题。对于复对数函数lnz，由于其多值性，我们无法将其看作是一个普通的函数。但是，如果我们将lnz定义在黎曼曲面上，就可以将其看作是一个单值函数。黎曼曲面为我们提供了一种研究多值函数的有效工具。1解决多值函数问题2lnz定义在黎曼曲面上3单值函数拓展：复分析的其他分支复数指数幂只是复分析中的一个分支。复分析还包括许多其他重要的分支，例如复变函数、柯西积分公式、留数定理等。这些分支相互联系，共同构成了复分析的完整体系。对复分析的其他分支的深入研究，可以帮助我们更全面地理解复数指数幂。复变函数柯西积分公式留数定理总结：复数指数幂的定义和性质本次课程我们学习了复数指数幂的定义和性质。复数指数幂定义为z^a=e^(alnz)，其中lnz是多值函数。复数指数幂具有周期性，但不满足实数范围内的指数运算性质。理解复数指数幂的定义和性质，是掌握复数指数幂计算的基础。定义z^a=e^(alnz)性质周期性，不满足实数性质总结：复数指数幂的计算方法本次课程我们学习了复数指数幂的计算方法。计算复数指数幂的关键是正确处理lnz的多值性，并灵活运用复数的各种表示形式。常用的计算方法包括选择主值、利用欧拉公式等。通过本次课程的学习，你应该能够熟练计算各种类型的复数指数幂。1处理lnz的多值性2灵活运用复数表示3选择主值，利用欧拉公式总结：复数指数幂的应用本次课程我们学习了复数指数幂的应用。复数指数幂在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在量子力学中，复数指数函数可以描述波函数的演化；在信号处理中，复数指数函数可以用于信号的分析和处理。通过本次课程的学习，你应该能够将复数指数幂应用于解决实际问题。物理学量子力学工程学信号处理练习1：计算(-1)i的所有值作为练习，请计算(-1)^i的所有值。提示：首先将-1表示为指数形式，然后利用复数指数幂的定义进行计算。注意ln(-1)的多值性，并利用主值得到所有值。步骤1-1=e^(iπ+2kπi)1步骤2(-1)^i=e^(iln(-1))2步骤3计算所有值3练习2：解方程zz=i作为练习，请解方程z^z=i。提示：首先将方程两边取对数，然后解出z。注意lni的多值性，并利用主值得到所有解。这个问题可能比较复杂，需要