固体物理 第一章 第四节专业课教材

固体物理学周健2011.02.202011-2012学年第二学期第一章晶体的结构及其对称性§1.4晶体的宏观对称性一、宏观对称性的描述对称性–对晶体进行某种操作后晶体自身重合的性质。不同的晶体具有不同的对称性几种简单二维图形的对称性：考察刚体的对称操作，包括绕某轴的转动操作和对某点的反演操作以及它们的组合操作，称为宏观对称操作。它是一种非平移操作，又称为点对称操作。(操作过程中至少有一点保持不动)。从数学上看，点对称操作实际上是一种几何变化，把晶体中的一点变换到另一点。D为变换矩阵：变换的性质这种变换是正交变换DTD=I所以D为正交矩阵，|D|=1或者-1如果一个晶体在某正交变换下不变，就称为晶体的一个对称操作。要描述一个晶体的对称性，就要列举它的所有对称操作。如果对称操作越多，则对称性越高。三维晶体的正交变换总可以表示为绕某一个轴的转动，对某中心点的反演以及两者的组合。定义逆时针转动角度θ为正，对x轴的转动，D可以表示为：绕z轴转动：绕y轴转动：中心反演操作（Inversion）：晶面对称(reflection)，m,σz=0平面，z->-z恒等操作，不动操作E对称素为了简单起见，我们用一些对称素来表示具体的对称操作，它就是一个物体借以进行对称操作的几何要素：一根轴（对称轴），一个平面（对称面）和一个点（对称中心）。对称素是对对称操作的简化。1.如果一个物体绕轴转动2π/n及其倍数保持不变，称该轴为n次旋转轴，记为：n1.如果一个物体对某点反演不变，称该点为对称心，记为：i3.如果一个物体绕轴转动2π/n，然后再反演不变，称该轴为n次旋转反演轴，记作：第一类操作为纯旋转操作，第二和三类操作称非纯旋转操作二、宏观对称性破缺晶体可能具有的对称素--转动对称性限制A点位原点，AB矢量为基矢a1绕A转θ角，是的B到B’，B’也是正点阵的结点旋转同样可以绕B进行，转-θ度，由A到A’A’必然也在某一个结点上。a1所以ABA’B’构成等腰梯形，由此：a1考虑到cosθ取值范围只是-1到1，那么n的取值只能是-1,0,1,2,3。对应的θ只能是：因此晶体只可能有1,2,3,4,6次旋转轴。不能具有5次或者6次以上的旋转轴。同理也只能有次旋转反演轴，但这些并不是都独立的。1次旋转反演操作就是反演操作i。2次旋转反演就是垂直于该轴的对称面，记作m。即除了旋转操作有限制，旋转反演操作也有限制：3次旋转反演轴即3次轴加上一个对称心。1-55-22-66-33-11-44-22-55-33-66-44-1以下重复。。。所以3次旋转反演操作得到六个点。每一步的操作都可以分解为先做一次3次旋转，再做一次反演。即3次旋转反演轴等于3次轴加对称心。6次旋转反演轴即3次轴加上一个垂直于该轴的对称面。类似前面的3次旋转反演轴，6次旋转反演轴不断操作之后，得到了1,2,3,4,5,6这六个点。这六个点构成了一个三棱柱。从另一个角度来看，这六个点显然具有3次轴加一个垂直于该轴的对称面这样的对称性面。4次旋转反演轴必然有和它重合的2次轴无4次旋转轴，也无对称心。但有一个与其重合的2次轴。所以晶体宏观对称性只有8中独立的对称素，即对称性的组合规则如果晶体具有两条2次轴，它们之间的夹角只能是：假设2个2次轴交与O点，N为与这两个轴所在平面垂直，且通过O点的轴上的一点。先绕2转动180°，再绕2’转动180°，则N点从N’回复到N点，所以NN’所在直线上的点不动，而其它点只能是绕NN’的转动。同时两次转动后，2轴变为2’’轴，之间夹角为2θ。考虑到NN’轴只能是1,2,3,4,6次轴，所以：晶体不可能具有多于1条6次轴，也不可能有一条6次轴和一条4次轴相交。假设n次轴和m次轴交与O点，取m次轴上的B点，绕n次轴转n次得到n变形。取B为顶点的正n变形两条边，绕m次轴转动，得到正m面顶椎体。这m个内角之和为：显然当m=n=6以及m=6,n=4时候不满足上式。三实例立方对称性（sc,bcc,fcc）三条4次轴<100>（9）四条3次轴<111>(8)六条2次轴<110>(6)一个不动操作E(1)以上操作与反演操作的组合操作(24)立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2)体对角线C3：(3)面对角线C2：6个2度轴；四面体对称性三条4次旋转反演轴<100>（9）四条3次轴<111>（8）六条2次旋转反演轴<110>，即对称晶面（6）不动操作E(1)三、晶体的宏观对称性和宏观物理量介电函数张量晶体的物理性质与对称性密切相关，比如介电函数：介电函数张量是厄密的：电位移矢量介电函数张量晶体的物理性质与对称性密切相关，比如介电函数：介电函数张量是厄密的：电位移矢量D与电位移强度E满足：A为一个对称操作，对晶体实施操作A，其中的电位移矢量和电场强度为：其中：A是晶体的一个对称操作，介电函数张量在操作前后保持不变。对于立方对称的晶体，有3条4次轴，设其中一条沿着z轴，其变换矩阵：由此得到：绕着x轴旋转180度：由此得到：所以所有非对角元都是0再次考虑沿着（111）方向转动2π/3：也就是说这个张量退化为一个标量：同样可以证明，具有四面体对称性的晶体，介电函数也