内蒙古自治区通辽市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（含答案）

2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1．未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（）.A．B．C． D．2．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）.A.一定在⊙O的内部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O的上D.不能确定3.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的长B.小明的影子比小强的短C.小明的影子和小强的一样长D.无法判断谁的影子长4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）.A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶15．函数与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能().A． B． C． D．6.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）.D.C.B.A.D.C.B.A.7.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点。若S△AOB＝5，则k的值为（）.A.10 B.-10 C.-5 D.(第6题图）(第7题图）8.已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）.A．k≥2 B．k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k≤2且9.已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是().A.弦CD一定是⊙O的直径B.点O到AC、BC的距离相等C.∠A与∠ABD互余D.∠A与∠CBD互补（第9题图）（第10题图）10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）和B（4，0），点C为抛物线的顶点，则下列结论：①abc＞0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣2＜x＜4；③3a+c＜0；④若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（1，﹣3）；⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b．其中结论正确的个数是（）.A．2 B．3 C．4 D．5填空题（每题3分，共15分）11.等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为．12.如图所示，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF︰FC等于．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．14.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于．15.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，AB为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．解答题（共7道题，共55分）写出必要的解题过程；16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x17.（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题：（1）请按要求对△ABC作如下变换：①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1．②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标：，．（2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝．（用含a，b的代数式表示）18.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立的身高为1.75m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1m）19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．20.（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．22.（12分）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1．D2.B3.D4．C5.A6.B7.B8.C9.D10.C二．填空题（每题3分，共15分）11.1012.1：213.30°和150°14.15.三、解答题（共55分）写出必要的解题过程16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x．解：2（x﹣5）2＝5﹣x，2（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，--------------------------------1分（x﹣5）[2（x﹣5）+1]＝0，----------------------------2分x﹣5＝0或2（x﹣5）+1＝0，---------------------------4分x1＝5，------------------------------------------------5分（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题：（1）请按要求对△ABC作如下变换：①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1．②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标：，．（2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝．（用含a，b的代数式表示）解：（1）如图，请按要求对△ABC作如下变换：①则△A1B1C1为所求②则△A2B2C2为所求--------------------------------------------2分点A1的坐标为（﹣2，3），点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．---------------------------------4分故答案为（﹣2，3），（﹣6，﹣4）；（2）易得Q（﹣b，a），R（﹣2a，﹣2b），PR＝3，OQOQ⊥OP，-------------------------------5分∴S△PQRPR×QO3=（a2+b2）．---------------7分18.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立的身高为1.75m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1m）解：设CD的长为xm.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴MA∥CD,BN∥CD.------2分又EA＝MA，∴EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN∽△ACD---------------4分∴即，------------------6分解得=6.125≈6.1.∴路灯高CD约为6.1m.---------------------------7分19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．化简得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．---------------------4分（2）能，理由如下：------------------------------------------------5分∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：384（1+50%）3＝3841296＜1350．-----------------7分答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------------------------------------------8分20.(8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于A（3，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围．解：（1）将B（﹣1，﹣3）代入中，得解得m＝3，∴反比例函数解析式为：---------------------------------------2分∵点A（3，n）在反比例函数上，∴n＝1，将A（3，1）、B（﹣1，﹣3）代入y1＝kx+b，得1=3k+b−3=−k+b解得k=1b=−2∴一次函数的解析式为：y1＝x﹣2．----------------------------------------4分（2）由（1）得，直线AB的解析式为：y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝2，∴此函数图象与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣2），--------------5分∴S△AOB=（3）∵一次函数和反比例函数交于A（3，1），B（﹣1，﹣3）两点，∴A、B横坐标分别为3、﹣1，-------------------------------------------------------------7分∵y1＞y2∴一次函数图象要位于反比例函数图象上方，即在点A的右侧，点B的左侧，∴﹣1＜x＜0或x＞3．---------------------------------------------------8分21.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．（1）证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠OAD，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，----------------------------------------------4分∵OD是半径，------------------------------------------------------5分∴BC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，--------------------------6分解得，r＝3，------------------------------------------------------------------------7分∴AB＝2+2×3＝8，∴AB的长为8．------------------------------------------------------------------------8分22．（12分）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），∴a−b+4=016a+4b+4=0解得a=−1b=3∴y＝﹣x2+3x+4；----------------------------------------------------3分（2）如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+3x+4中，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），---------------------------------------------------------------------------4分设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，----------------------------------------------------5分设P（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2