2020-2021学年重庆某中学九年级（上）第一次月考数学试卷

2020・2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷

一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为

A.B.C.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方

框涂黑.

I.（4分）-1相反数是（）

2

A.-AB.2C.-2D.1

22

2.（4分）下列图形是轴对称图形的是（）

9D.

c.aD.a

4.（4分）抛物线y=-/+2的对称轴是（)

A.直线_r=-2B.直线x=-1c.轴D.直线x=2

5.（4分）在中，ZC=90°,AC=\,AB=港,贝1JtanB的值是（）

A.AB.2C.逅D.V5

25

6.（4分）已知力—2是一元二次方程f+ax+b-。的解，则4.+2A+1的值是（）

A.-6B.-8C.-5D.-7

7.（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地

六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分.问

每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6

亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实用5.5亩,

问每亩山田和每亩场地产粮各相当丁实田多少亩？设每亩山田产粮相当丁实田大亩，每

亩场地产粮相当于实BEy亩，则根据题意（)

,3x+6y=4.7口3x+6y=4.7

A.

3x+5y=5.55x+3y=5.5

「6x+3y=4.7f6x+3y=4.7

D•4

3x+5y=5.55x+3y=5.5

8.（4分）如图，△4BC和△4‘B'C'是位似图形，点。是位似中心，AC=2A'U,

若点B的坐标为（-4,-2）,则"的坐标为（)

C.(2,1)D.(-4,2)

9.（4分）如图，小妮在大楼的观测点尸处,测得建筑物AB的顶端B的仰角为34°,测得

另一建筑物CD的顶端D的俯角为61.8°已知A8=120米，。。=50米，AC=60米,

建筑物A8,CD,E/7与地面AC垂直，点A,B,C,D,E,r在同一平面内，且点4,

C,E在同一直线上，则CE的距离约为()

(精确到0.1米,参考数据:sin34020.56,cos34°^0.83,tan34°弋0.67,sin61.80%

0.88,cos61.8°^0.47,tan61.8°-1.87)

A.24.8米B.26.2米C.28.2米D.30.3米

10.（4分）若关于x的分式方程二一：-^_的解为正数,且关于），的不等

x-1（x-l）（x-3）x-3

式组14无解，则符合条件的所有整数机的和为（）

3（y+4）-6

A.9B.11C.12D.14

11.（4分）如图，在△ABC中，A8=17,AC=10,8c=21,将边AC沿着A。进行折叠，

使得点。落在8c上的点C'处，再将边沿着AE进行折叠，点3恰好落在4。延长

线上的点夕处，则线段石C'的长度为（）

B'

5555

12.（4分）如图，抛物线丁=/+公+。（aWO）的对称粕为直线x=-1,与x轴相交于点A

（xi，0）,其中-3VRV-2,则下列说法正确的是（)

A.abc<0B.a+b+c>0C.3a+e>0D.3/?+2c<0

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答

题卷中对应的横线上.

13.（3分）计算：（-1）->=______.

3

14.（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式.若输

入的二次函数表达式为y=-3（x+2）2+1,则瑜出的二次函数图象的顶点坐标

为•

开口

向下

15.（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相

同.小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，

任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频

率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为

16.（3分）如图，在Rt4ABC中，ZACB=90a,A8=3,BC=2,乙48c的平分线8。交

AC于点E,若BC=CD,则的面积为

17.（3分）当0WxW3时，则二次函数y=，-2x+4的最大值为.

18.（3分）如图，在正方形ABCO中点E是8C上一点，点尸是CO延长线上一点，连接

AE,AF,EF.点尸是M的中点，连接CP,DP,若AE=AF,ZCPD=104°,则

的度数为度.

19.（3分）4,“两地相距240（）米，甲、乙两人同时从4地出发，匀速向/e地同向而行，

到达8地后停止.出发10分钟后，甲沿原路以原速的3倍返回A地取重要物品，取到物

3

品后甲立即保持此速度匀速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达8地.在

整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程），（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系

如图所示，下列结论中正确的是（请填写正确的序号）.

①乙的速度为40米/分钟；

②点C的横坐标为10：

⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；

④甲到达4地时，乙与4地的距离为50（）米.

x（分钟）

20.（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口

罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶.临行前.，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量

要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍.已知本次采购的口罩价格为36元

/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元.其中口罩的盒数恰好是洗

手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液瓶.

三、解答题（本大题7个小题,每小题10分.共70分）解答时每小题必须给出必要的演

算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的

位置上.

21.（10分）计算：

（1）（2x+y）2-x（x+4y）；

（2）4-a~3—.

a-2a2-4a+4

22.（10分）如图，在平行四边形ABC。中，点£,尸是对角线8。上的两点，ZEAD=Z

FCB=90°.

（1）求证：AF//CE；

（2）若4E=近，AD=2AE,EF=2,求线段8。的长度.

23.（10分）珍爱生命，妈强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年.新学期开始，重庆

一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞

赛成绩进行统计.整理如下：

高一年级抽取的学生竞赛成绩：80,60,80,90,80,90,90,50,100,90.

初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数众数中位数

初一817080

高一81ab

初一年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图

（1）直接写出上述表中的力的值；

（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个

年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生

成绩谁更优秀.

24.（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完

美数”.

定义：对于•个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个

数为“完美数”.

例如:4+6=10,1+4+8+7=20,因为10,20是10的整数倍，所以46,1487都是“完

美数”;

4+5=9,1+4+3+6=14,因为9,14不是10的整数倍，所以45,1436都不是“完美数”.

（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由；

（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由.

25.（1（）分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函

u2

数的图象研究函数的性质.结合已有的学习经验，请画出函数），=电一的图象并探究该

X2+2

函数的性质.

•••-6-5-4-3-2-1.10_1123456

2~2

•••10850a54422022b541650108...

IT~3~311~3T19-

（1）直接写出表中的。，〃的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；

u2

①该函数的图象关于），轴对称；

X2+2

②该函数在自变显的取值范围内有最大值和最小值；

③当x>0时，y随工的增大而增大；当xVO时y随工的增大而减小.

（3）请画出函数），=2叶旦的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式与一>

33X2+2

的解集.

26.（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前\

重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间.某工

厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造.改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中

甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个.

（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？

（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加〃，％和2〃?％,

甲生产线每天工作时间比改造前增加〃?％,乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生

产线每天生产总个数比改造前增加&川%，求m的值.

16

27.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线），=。『+加+3尹0）与x轴交于点

A（一返，0）,5（373，0）（点A在点8左侧），与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点E为直线8c上方抛物线上的任意一点，连接BE,CE,求四边形8OCE面积的

最大值及此时点E的坐标；

（3）如图2,点。为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点。的对应点为点

D1,在平面直角坐标系中，是否存在另一个点"，使以点B,C,D,,，为顶点的四边

形是菱形，若存在，请直接写出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

四、解答题：（本大题1个小题8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题

必须给出必要的演算过程或推理步骤.

28.（8分）如图所示，正方形力和正方形八EFG共顶点A,正方形A4C。绕点A顺时

针方向旋转，连接。G,BE,8E与AC相交于点，.

（1）如图1，在旋转过程中，当G,A,H,C恰好在同一直线上时，若A£=亚，AB

=2,求线段。G的长；

（2）如图2,连接”G,在旋转过程中，若/DGH=2NABE,求证：HG=HB；

（3）如图3,8£与。6相交于点O,点K为线段AG上一点，连接OK,若A£=3,AK

-1,在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值.

20202021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为

A.B.C.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方

框涂黑.

1.（4分）2相反数是（）

2

A.-1B.2C.-2D,i

2

【解答】解：工的相反数是

22

故选：A.

2.（4分）卜列图形是轴对称图形的是（)

A.B.C.9.I

【解答】解:A、不是轴对称图形:

B、不是轴对称图形;

C、是轴对称图形;

。、不是轴对称图形;

故选：C.

3.（4分）计算：〃4.〃2=)

A.crB.a6C.D.a

【解答】解：原式=J+2=a,

故选：B.

4.（4分）抛物线y=・./+2的对称轴是（)

A.直线x=-2B.直线x=-1C.y釉D.直线x=2

【解答】解：抛物线＞'=-/+2的对称轴是y轴.

故选：C.

5.(4分)在RtZXABC中，ZC=90°,AC=\,A8=代，贝hanB的值是()

A.AB.2C.渔D.V5

25

【解答】解：由勾股定理得，BC=yjAB2-AC2={）2_]2=2,

则tanB=£=2，

BC2

故选：A.

6.（4分）已知x=2是一元二次方程』+水+5=0的解，则4“+2b+l的值是（）

A.-6B.-8C.-5D.-7

【解答】解：.・"=2是一元二次方程/+or+〃=0的解，

*,•4+2a+Z?—0,

：,2a+h=-4,

：.4a+2h+\=2（2。+力）+I=2X（-4）+1=-7,

故选：D.

7.（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地

六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分.问

每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6

亩，产粮总量相当于实田4.7亩：又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩,

间每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每

亩场地产粮相当于实压y亩，则根据题意（）

43x+6y=4.763x+6y=4.7

A.B..

3x+5y=5.55x+3y=5.5

Cf6x+3y=4.7D6x+3y=4.7

3x+5y=5.55x+3y=5.5

【解答】解：依题意得：俨+6%47.

5x+3y=5.5

故选：B.

8.（4分）如图，△A3C和aA'4'C是位似图形，点。是位似中心，AC=2ArC,

若点B的坐标为（-4，-2）,则夕的坐标为（）

D.(-4,2)

【解答】解：:△ABC和AA'B'C是位似图形,

•••△ABCs/vTB'C1,

*：AC=2A'C,

.,.△ABC与夕C'的相似比为2：1,

「△AB。和△人'B'C是位似图形,点O是位似中心，相似比为2：1,点区的坐标为

(-4,-2),

工B'的坐标为(4X1,2XA),即(2,1),

22

故选：C.

9.(4分)如图，小妮在大楼的观测点尸处，测得建筑物A3的顶端B的仰角为34°,测得

另一建筑物C。的顶端。的俯先为61.8°.已知AB=120米，CD=50米，AC=60米，

建筑物AB,CD,£尸与地面AC垂直，点A,B,C,D,E,尸在同一平面内，且点A,

C,E在同一直线上，则CE的距离约为()

(精确到0.1米，参考数据：sin34。-0.56,cos34°-0.83,tan34°-0.67,sin6L80%

0.88,cos6l.8°^0.47,tan61.8°-1.87)

A.24.8米B.26.2米C.28.2米D.30.3米

【解答】解：过点。作。M_LE/于点M,过点尸作EVJ_AB于点M

由题意可得：EC=DM,

设EC=x,

则ian61.8°=里=里斗.87,

DMx

故户M=1.87、•米，

则FN=(60-x)米,8N=120・50・1.87x=(70-1.87%)米,

故tan34“=典=父±^区七0.67,

FN60-x

解得：x%24.8,

故选:A.

10.(4分)若关于x的分式方程二一二-7~三”、-2的解为正数,且关于)，的不等

x-1(x-1)(x-3)x-3

心〉y+m

式组14无解，则符合条件的所有整数，〃的和为()

2y^i3(y+4)-6

A.9B.IIC.12D.14

【解答】解：分式方程两边都乘以(x-1)(x-3)得：x-3=x-m-3(x-1),

x-3=x-m-3x+3,

3x=6-m,

x=6-m

3

•・•方程的解为正数，且X-1W0,X-3WO,

6-m且国也声］,字甘，

3六

解得：〃?V6,且加W±3；

卑〉y+n©

<4,

2y<3。+4)-6②

解不等式①得：yV2-4/〃,

解不等式②得：），2-6,

•・•不等式组无解，

.,.2-4〃忘-6,

解得：〃?22.

.,.2W/〃V6且±3,

・••符合条件的整数名有:2,4,5,和为II.

故选：B.

11.（4分）如图，在△4BC中，AB=17,AC=10,8c=21,将边AC沿着4。进行折叠，

使得点。落在8C上的点C'处，再将边A8沿着AE进行折叠，点8恰好落在A。延长

线上的点8,处，则线段EC的长度为（）

【解答】解：・・・AC=AC',CD=CD',

/.AD±CD,

设CD=x,80=21-x,

：,AD2=AC2-CD2=AB2-BD2,

A102-?=172-(21-x)2,

解得x=6,

:・CD=C0=6,80=21-6=15,

4D=VAC2-CD2=8,

•・•将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在A。延长线.上的点夕处,

・・・AE平分AB,EF±AB,

B'

：,DE=EF,

在RlAABO和RlAA七/中，

「DE=EF,

AE=AE

ARtAABD^RtAAEF(HL),

：.AD=AF=S,

：,BF=\7-8=9,BC=21-12=9,

设EC'=y,DE=6-y=EF,

在RlZXEFB中，由勾股定理得：

(9+y)2=(6->,)2+92,

解得)，=旦，

5

:.EC=旦

5

故选：D.

12.（4分）如图，抛物线>，=加+饭+c（aNO）的对称粕为直线x=-l,与x轴相交于点A

（xi，0）,其中-3Vxi<-2,则下列说法正确的是（）

A.abc<0B.a+b+c>0C.3tz+c>0D.3b+2c<0

【解答】解：A.抛物线的对称轴在），轴右侧，则a沅>0,而c>0,故abc>0,故A错

误，不符合题意；

B.函数的对称轴为直线x=-1=-也，即〃=2小-3<qV-2,设抛物线与x轴的

2a

另外一个交点X2，则0VX2<1，

故x=I时，），<0,即叶加cVO,故B错误，不符合题意；

C.由8知，a+b+c<0,b=2a,则3a+cVO,故C错误，不符合题意；

D.由C知，3a+cVO,而Z?=2a,即3〃+2cV0,正确，符合题意.

故选：D.

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答

题卷中对应的横线上.

13.（3分）计算：（1-&）°-（-1）r=-2.

3

【解答】解：（1・加；（1）",=1-3=-2.

3

故答案为：-2.

14.（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式.若输

入的二次函数表达式为y=-3（X+2）2+1,则输出的二次函数图象的顶点坐标为（-2,

-1）.

开口

向下

【解答】解：•・•抛物线y=-3（x+2）2+1的开口方向向下，

・•・将抛物线），=-3a+2）2+］向下平移2个单位，则平移后抛物线解析式是：），=-3（/2）

2+1-2,即产-3（x+2）2-1.

・••该抛物线的顶点坐标是（・2,-1）.

故答案是：（-2,-1）.

15.（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相

同.小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀,

任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频

率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为8个.

【解答】解：设盒子中白球的个数为〃?个.

根据题意得」一=0.4,

m+12

解得〃?=8,

经检验，机=8是分式方程的解，

所以这个不透明的盒子中白球的个数为8个，

故答案为：8.

16.(3分)如图，在Riz\43c中，ZACB=90°,AB=3,IiC=2,NA3c的平分线8。交

AC于点、E,若BC=CD,则△ABE的面积为_盟5_.

【解答】解：在RtZ\A8C中，ZACB=90Q,AB=3,BC=2,

：.AC=yJAB2-BC2=732-22=^

.••△ABC的面积为：14CXAC=」X2义加=乖.

22

•・・BD平分NABC,

・•・ZABE=ZCBE.

，：BC=CD,

:・CD=2,/CBE=NCDE,

，NABE=NCDE,

C.AB//CD,

・•・XABEsACDE,

AAE：CE=AB：CD=3：2,

1•△ABE的面积为：2XM=&Z5.

2+35

故答案为：国5.

5

17.（3分）当0<x<3时，则二次函数v=7-2x+4的最大值为7

【解答】解：将标准式化为两点式为丁=(x-1)2+3,(0Cx^3)

•・•对称轴是x=l,开口向上，离对称轴越远越大，

・••当工=3时，有最大值：y=4+3=7,

故答案为：7.

18.（3分）如图，在正方形A8CO中点E是BC上一点，点厂是CO延长线上一点，连接

AE,AF,£足点P是跖的中点，连接CP,DP,AE=AF,ZCPD=\04°,则NAE8

的度数为76度.

【解答】解：连接4P，

•・•四功形人8。。为正方形，

AZB=ZADC=ZADF=90Q,AB=AD,

在RlZSABE和RlAADF中，

[AB=AD,

1AE=AF，

ARtA/lBE^RtAADF(HL),

：,ZBAE=ZDAF；

*：ZBAE+ZEAD=90Q,

：,ZDAF+ZEAD=90a,

即NE4尸=90°,

・・,尸为所中点,

."。=皂尸，

2

VZECF=90°,P为EF中点,

:.CP=PF=2EF,

2

・・・4尸=。尸，

在△APO和△CPO中，

'AP=CP

<AD=CD，

PD=PD

:.△APg"PD(555),

/.ZDAP=ZDCP,/ADP=4CDP,

VZADC=90°,

/.ZCDP=45°,

：,ZDAP=ZPCD=\^°-ZCPD-ZCDP=3\0,

VZ£AF=90°,AE=AF,P为EF中点,

：.ZPAE=45°,

/.ZDAE=ZPAE+ZPAD=76Q,

：・/AEB=/DAE=76°,

19.（3分）A,B两地相距2400米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速向B地同向而行，

到达B地后停止.出发10分钟后，甲沿原路以原速的&倍返回A地取重要物品，取到物

3

品后甲立即保持此速度匀速前往8地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达B地.在

整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程y（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系

如图所示，下列结论中正确的是①②④（请填写正确的序号）.

①乙的速度为40米/分钟；

②点。的横坐标为10；

⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；

【解答】解：乙用60分钟到B地，则乙的速度为：2400・60=40（米/分钟），故①结论

正确；

C点，甲准备返回A地的点，则C横坐标为10,故②结论正确；

甲的速度为：200+10=20（米/分钟）,

则甲原来的速度为：20+40=60（米/分钟），

由图可知，。点开始，甲乙距离开始缩小，说明甲开始从A地出发去追乙了，

此时。点，乙离A地有17.5X40=700（米），

则甲追上乙用了：700。（60义3-40）=175（分钟，故③结论错误：

4•

甲从A地再次出।发到达8地用时：2400-r（60X-）=30（分钟），

3

此时乙走了:30+17.5=47.5（分钟），距离3地还有:2400-404-47.5=500（米比故④

结论正确；

故答案为①②④.

20.（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口

罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶.临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量

要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍.已知本次采购的口罩价格为36元

/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元.其中口罩的盒数恰好是洗

手液和消毒液瓶数之称的四分之一，则本次采购了洗手液瓶.

【解答】解：设本次采购了洗手液x瓶，消毒液），瓶，则采购了口罩丝盒，

4

依题意得：36X2X.+I8.V+I8V=I224,

4

.r136-2y

y+2

•・•购进洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍，

??<136£2y^2

,y+2

•••尹2）0,

ry2+4y-136<0

••Sf

y2+3y-68^0

解得：-2-2叱<），<2痴-2或二3或,

22

Vx,y为非负整数，

・•・），可取8,9这两个数，

代入4=136-2y得,

y+2

当y=8时.,x=12»

当)，=9时，xglO.7(不合题意，舍去)，

工本次采购了洗手液12瓶.

故答案为：12.

三、解答题(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演

算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卷中对应的

位置上.

21.(10分)计算：

(1)(2x+y)2-x(,r+4y)；

(2)(^A-a-2)4-a~3—.

a-2a2-4a+4

【解答】解：(I)(2r+y)2-x(x+4)，)

=4x2+4xy+y2-x2-4xy

=37+)2；

(2).——

a-2a2-4a+4

=3a-4-(a+2)(a-2).(a-2)?

a-2a-3

2

3a-4-a+4ra-2

1a-3

_-a(a-3)ra-2

1a-3

=・a(q-2)

=-cr+2a.

22.(10分)如图，在平行四边形48co中，点E,尸是对角线8。上的两点，ZEAD=Z

/C6=90°.

(1)求证：AF//CEi

(2)若AE=/^,AD=2AE,EF=2,求线段BO的长度.

A

D

【解答】解：(1)•・•匹边形A4c。是平行四边形,

:.AD〃BC,AD=BC,

工/ADE=NCBD,

在△AOE和△CB/中，

rZEAD=ZFCB=90°

<AD=BC，

ZADE=ZCBD

:.△ADE@XCBF(ASA),

：,AE=CF,NAEF=NCFE,

：.AE//CF,

・•・四边形AECF是平行四边形，

：,AF//CE；

(2)V4E=V5»AD=2AE,

・"Q=2%,

•**vAE2+AD2-V5+20-5,

*.，△A。％△CM,

:・DE=BF=5,

:・BD=DE+BF-EF=8.

23.（10分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年.新学期开始，重庆

一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞

赛成绩进行统计.整理如下：

高一年级抽取的学生竞赛成绩：80,60,80,90,80,90,90,50,100,90.

初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数众数中位数

初一817080

高一81ab

初一年级抽取的学生竟赛成绩条形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中的。，力的值；

（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个

年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛佗学生

成绩谁更优秀.

【解答】解：（1）按照从小到大的顺序排列为50,60,80,80,80,90,90,90,90,

100,一共10个数据，

则。=90,〃=%也=85.

2

故答案为：90,85；

（2）2000X4+1000X至=1300（名）.

1010

答：估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有1300名；

（3）•・•平均数相等，高一的中位数高于初一的中位数，

...高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀.

24.（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完

美数”.

定义：对于一个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个

数为“完美数”.

例如：4+6=10,1+4+8+7=20,因为10,20是10的整数倍,所以46,1487都是“完

美数”；

4+5=9,1+4+3+6=14,因为9,14不是10的整数倍，所以45,1436都不是“完美数”.

（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由;

（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由.

【解答】解：（1）73+7=10,2+2+5+8=17.

10是1。的倍数，17不是10的倍数.

，37是完美数，2258不是完美数.

（2）大于100且小于300的“完美数，其所有数字之和为10.

V1+2+7=10,1+3+6=10,1+4+5=10,1+5+4=10,1+6+3=10,1+7+2=10,1+8+1=

10,1+9+0=10,

2+1+7=10,2+2+6=10,2+3+5=10,2+4+4=10,2+5+3=10,2+6+2=10,2+7+1=10,

2+8=0=10.2+0+8=10.

1+1+8=10,1+0+9=10,2+0+8=10.

・•・大于100且小于300的“完美数有：127,136,145,154,163,172,181,190,217,

226,235,244,

253,262,271,280,109,118.,208,共19个.

・•・大于100且小于300的“完美数“共19个.

25.（10分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函

u2

数的图象研究函数的性质.结合己有的学习经验，请画出函数^的图象并探究该

X2+2

（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；

u2

①该函数），=」下的图象关于），轴对称；

X2+2

②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值；

③当x＞。时，y随工的增大而增大；当xVO时y随二的增大而减小.

（3）请画出函数），=2.什&的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式

33X2+2

2计心的解集.

33

得拿节

b=6X4=4

x%24+2

画出函数的图象如图:

3

（2）根据函数图象:

c2

①该函数旷=」＞的图象关于）'轴对称，说法正确：

X2+2

②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值，说法错误：

③当x＞。时，），随x的增大而增大；当xVO时），随二的增大而减小，说法正确.

（3）由图象可知：不等式与上＞当+旦的解集为xV-1或2＜rV4.

＞2+233

26.（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，

重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间.某工

厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造.改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中

甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个.

（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？

（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加〃?％和2〃?%,

甲生产线每天工作时间比改造前增加〃?%,乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生

产线每天生产总个数比改造前增加至四％,求用的俏.

16

【解答】解：（I）设甲生产线改造前每小时生产工个半导体元器件、乙生产线改造前每

小时生产），个半导体元器件，

依题意得：（X-y=2°,

8x+8y=640

解得：（x=50.

Iy=30

答：甲牛产线改造前每小时牛产5（）个半导体亓器件,乙牛产线改造前每小时牛产30个

半导体元器件.

（2）依题意得：50（1+6％）X8（1+机％）+30（1+2/n%）X8=640（1+至川％）,

16

整理得：0.04w2-2/n=0

解得：〃21=50,〃22=。（不合题意，舍去）.

答：〃?的值为50.

27.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线产苏+云+3（qWO）与x轴交于点

A（-J&,0）,B（3«,0）（点A在点B左侧），与），釉交于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE,CE,求四边形BOCE面积的

最大值及此时点石的坐标；

（3）如图2,点。为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点。的对应点为点

D,,在平面直角坐标系中，是否存在另一个点“，使以点8,C,D',H为顶点的四边

形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】⑴将点A，8代入抛物线表达式得：监7^3=0,

27a+3V3b+3=0

'_1

a-

解得：2折

a3

・•・抛物线表达式为：），=-4+冬氏+3；

33

（2）过点E作x轴垂线交直线8C于点片

如图1,四边形BOCE的面积由两部分构成即：S/边形BOCE=SABOC+SABCE，

当x=0时，），=3,

・••点C坐标为（0,3）,$幼℃=280・。。=多反：

22

V：,B（3加，0）,C：0,3）,

；・直线BC表达式：y=-运x+3,

3

设点E(/,-A/2+-?2ZI/+3),F(/,-返/+3),

333

则EF=-l?+_?2Z^/+3-(-返+3)=-+_?^什3+返L3=--/2+V5»

333