北京市高考数学模拟考试卷附带答案解析

北京市高考数学模拟考试卷附带答案解析

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.已知集合人=次|0<工<3},集合3={小22}.则集合ACIB=()

A.{x\x<2}B.{x|0<x<2}

C.{x|2<x<3}D.{x|x>2}

2.双曲线Y-21=i的一个焦点坐标为()

3

A.(>/2,0)B.(0,x/2)C.(2,0)D.(0.2)

3.设.=盯，b=0.9°8与c=logog0.8,则()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cI).c>b>a

4

4.由。以Qx为始边，它的终边与单位圆。相交于第四象限点只且点P的横坐标为二，则tana的值为（）

A--B—CD—

.4—.3.3

5.若数列{叫满足％=-1,则“V"z,与4+”=44”是“{q}为等比数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.设集合A={0,1,2,3},8={%|睢3）<1}则4金8=（）.

A.{0,1,2,3}B.{0,3}C.{0}D.{1,2}

7.已知圆C：（x-3）2+（y-2）2=1,直线/过点（1,3）且倾斜角为则“直线/与圆。相切”是“a=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.向量“〃，〃不共线”是“|。+〃|<|d|+|bI”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知等差数列{4}的前〃项和为S”,=；，生+%=4,则§9等于（）

A.27B.24C.21D.18

10.下表是某生活超巾2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表:

第1页共18页

生鲜区熟食区乳制品区口用品区其它区

营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%

净利润占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%

该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给H下列四个结

论：

①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；

②本季度此生活超市的营业净利涧超过•半来自生鲜区：

③本季度此生活超市营业利润率最高的是口用品区；

④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.

其中正确结论的序号是（）

A.①@B.②④C.②③D.@®@

二、填空题

11.已知抛物线G丁=8），，则抛物线C的准线方程为.

12.己知复数z=—（i是虚数单位），则|z|=—

13.已知函数=若函数〃力在R上不是增函数，则a的一个取值为.

14.已知函数/（x）=Y-业I,给出下列四个结论：

X

①函数/（X）是奇函数；②函数/（尤）在（F，0）和。+8）上都单调；

③当x>0时函数/（幻>。恒成立；④当XV。时函数/（X）有一个零点.

其中所有正确结论的序号是.

三、双空题

15.在平面直角坐标系xOy中，直线4：x+〃少=。与直线/2：尔-'-3〃?+1=。相交于点尺直线过定点儿

点4的坐标为一，归。|俨4|的最大值为一

四、解答题

16.如图，在锐角以"？中，"=4。=6.点。在BC边的延长线上，且C/）=10.

第2页共18页

A

⑴求NAC8；

⑵求ACD的周长.

17.如图，在直三棱柱ABC-入8£中，AB=AC=2,44］=4,AB1AC8E_L4鸟交Z也于点少，〃为CG

的中点.

(1)求证：3E_L平面”C；

⑵求直线80与平面ABC所成角的正弦值.

18.北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活

方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，•起向

未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们

参加体育实践活动时间(单位：分钟)，得到下表：

[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100)

男51213898

伫别

女69101064

初中10

学段

高中m1312754

(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在［50,60)的概率;

(2)从参加体育实践活动时间在网),90)和［90/00)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为％求

第3页共18页

随机变量/的分布列和数学期望；

(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为

Ao1初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为从，出，当勿满足什么条件时为之凡爱.(结

论不要求证明)

19.已知函数/(x)=erasinx-【(awR)

(1)求曲线y=f(力在点(OJ(O))处的切线方程;

(2)若函数/(A-)在X=0时取得极小值，求”的值；

⑶若存在实数〃?，使对任意的xe(0,,〃)，都有求"的取值范围.

20.已知椭圆G.+亲■=l(a>">0)的离心率为乎，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A,过原点0

的有线1与椭圆G交干P,Q两点(点Q在第一象限)，日与线段AB交干点M.

(I)求椭圆G的标准方程；

(II)是否存在直线1,使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线1的方程；若不存在，

请说明理由.

21.已知数集4=卜4，%M，fqJOnq〈生vva”,〃22)具有性质只对任意的

k(2<k<</<;</!),使得4=q十%成立.

(1)分别判断数集{1,3,5}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;

(2)已知S〃=4+4++%(〃£、)，求证：2^-1<5„；

⑶若q=36,求数集A中所有元素的和的最小值.

参考答案与解析

1.C

【分析】己知集合A、集合B,由集合的基本运算，直接求解4cB.

【详解】集合A={x|Ovx<3},集合8={小92},则集合AQB={x|2«x<3}.

故选:C

2.C

【解析】利用双曲线方程求出％然后求解焦点坐标即可.

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【详解】由双曲线/一二=1得d=4,c=2

3

.•.1(±2,0)

故选：C.

3.A

【分析】利用暴函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.

【详解】因为祈=1<。=%<2=豳，。=0.9°8<0.9°=1与。=log090.8>log090.81=2

所以c>a>Z?.

故选：A

4.A

【分析】由勾股定理求出以，则iana="

XP

________3

【详解】尸为第四象限点，故外=_小_件=_3,故iana=¥=—

5

故选:A

5.A

【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论.

【详解】解："D"?，〃wN♦与"，取〃2=1,则见+产Ta.

•••□”}为等比数歹lj.

反之不成立，凤)为等比数列，设公比为夕何工。)，则限=-〃1，4(=(-尸卜(-/)=〃""只有“=一1

时才能成立满足q+“=4A.

二•数列{?}满足q=-1,则“V〃?，与是“他，为等比数列”的充分不必要条件.

故选：A.

6.B

【分析】计算B={x|0<x<3},。/=(7。,0]33,位)再计算交集得到答案.

【详解】^={x|log3x<l}={x|0<x<3},Q8=(y,0]33,y)与Aca8={0,3}.

故选：B

7.B

第5页共18页

4

【分析】先化简“直线/与圆切”得到a=0或者tana=-；,再利用充分条件必要条件的定义判断得

解.

【详解】当直线/没有斜率时a=90，与圆不相切.

当直线/有斜率时i殳直线方程为=.•.如—)，-2+3=0

|3&-2-火+3||2%+1|.,八4

由题得或者〃

3

4

所以。=0或者tana=-§.

所以“直线/与圆。相切”成立，则“。=0”不一定成立；“a=0”成立，则“直线/与圆C相切”成立.

所以“直线/与圆。相切”是“。=0”的必要不充分条件.

故选：B

8.A

【分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.

【详解】当向量〃不共线”时由向量三角形的性质可得"I。“+成立，即充分性成立

当“〃，〃方向相反”时满足“1"+bI<+但此时两个向量共线，即必要性不成立

故向量”〃，b不共线”是“I。+匕|<+的充分不必要条件.

故选：A.

9.A

【分析】由等差数列性质求得公差d,即可得出通项公式及求和公式求值.

17

【详解】设等差数列｛4｝的公差为"，则/+%=2/+5d=4,又4=：,可得d=?，・・・

JJ

(I2x9-n

・・・S.(%+%)-9.口+^r_”.

922

故选:A

10.D

【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.

【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%,为最低的，故①错:

生鲜区的净利润占比65.8%>50%,故②正确；

生鲜区的营业利润率为察件x32.5%=44%>40%,故④正确；

48.6%

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熟食区的营业利润率为卷黑x32.5%＜0：

15.0/0

乳制品区的营业利润率为黑段X32.5%=26.68%：

1Q%

其他区的营业利润率为』X32.5%=12.45%；

4.7%

日用品区为普善x32.5%=60.787%,最高，故③正确.

1V.OZ0

故选：D.

11.y=-2

【分析】根据抛物线的方程求出P的值，进一步得出答案.

【详解】因为抛物线C：F=8.y

所以2〃=8,・・.〃二4

所以C的准线方程为产-2.

故答案为：2

12.x/5

【分析】化简得到z=l-2i,即得到模长.

【详解】由2=芋=芋=l—2i

|z|=V5.

故答案为石.

13.-2（答案不唯一，满足"7或即可）

【分析】作出片x和尸炉的图象：数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值.

【详解】尸x和尸/的图象如图所示:

・••当av-1或0＜。＜1时片V有部分函数值比尸x的函数值小

故当1或。＜“＜1时函数/（、）在R上不是增函数.

第7页共18页

故答案为：-2.

14.③④

【分析】由奇偶性的定义可判断①；结合导数可判断函数的单凋性，进而可判断②；结合函数的单调性

可求当x>0时函数的最小值，比较最小值与0的大小关系即可判断③；由结合函

数的零点存在定理可判断④.

【详解】由题得，的定义域为(-8,0)U(0,r)

①〃7)=(_力2一屿=/+购

—KX

且f(x)+/(T)=2?wO,所以“力不是奇函数,故①错误;

x2

②/(X)h"\，^x>ow/(x)=x2-—

.少皿x

则r6)=2x_:2/+：1,令〃(x)=2寸+lnx-l,则〃⑴=1>0

/(1\

=；始；<(),所以存在X.C(gj，i，使得〃(不)=0

所以当xw(o,x°)时r(x)<0，fix')是单调减函数;

当了£(%,”)时/%勾>。，/(X)是单调增函数，所以②错误；

③由②可知，当x=x0时/(X)在(0,田)上有最小值，且2£+ln/-1=。

所以?L=_^_一2XQ,因为〃%)=片-电工=片--■-2x1=3^0--

x0//(X。)%

由传T1，则!<£<1,即］<3片<3,所以3x一」>二①二1>0

12/22xx

\/00

所以当x>0时〃x)>。恒成立，故③正确；

④当…时小)*_牛11/(力=2x」-「尸)=2丁一㈠)

令g(x)=2d_l+ln(r),则令［3=6/+：=咛1=0,解得犬=_(?

当_(：j<X<0时g'(x)<o，则g(X)单调递减；

第8页共18页

当工<一弓了时g'(x)>0,则g(x)单调递增；

所以当工=一0时

，八-

g(x)z=g3=-i-1+,n(^y=-^-iin6<°,则/'(x)<o

所以/(x)在(-8,0)上单调递减，由/(-1)=1>0,/(4)=i-e<0

所以/(X)在11,一£|内有一个零点，故④正确.

故答案为：③@

15.(3,1)5

(分析】根据宜线方程的点斜式可求出直线6过的定点A的坐标；

根据题意得出4从而得到点P在以OA为直径的圆周上，结合图形及等积法可知点。位于线段OA的垂

直平分线与圆的交点的时候，|尸011PAi的最大值.

【详解］由4：皿一日-3山+1=0,得yT=m(x-3)

所以直线4过的定点［的坐标为(3,1)；

因为4_L，2,所以点尸在以Q4为直径的圆周上，且|。川=而

设点P到直线OA的距离为h,则^\PO\\PA\=^-\OA\h

JJ

当点P位于线段04的垂直平分线与圆的交点的时候，|PO||/训的最大值，且最大为|Q4|x；|Q4|=5.

故答案为(3,1)5.

16.⑴,；

(2)30.

第9页共18页

【分析】（1）在A8C中，利用正弦定理即可求解;

（2）由（1）可求得NACO=g,在,AC。中，利用余弦定理可求CO,从而可求AACZ）的周长.

【详解】⑴在乂8C中84，A『指与AC=6

ABAC[7近

由正弦定理可得，故./“RABsinBW6XVG

sinZ.ACBsinBsinZ.ACB=-----=---------=——

AC62

因为yAC是锐角三角形，所以乙48=^.

（2）由（1）得44C8==，所以NACO二名.

33

在&AC力中，AC=6,CD=10,/4CQ=W

所以八Q_y]AC2+CD2-2AC-CD-cosZACD-62+I02-2X6X10X

所以..AC。的周长为6+10+14=30.

17.（1）证明见解析；

⑵正.

5

【分析】（1）先证明4c_LBE,再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面4"。的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-44G中，AA1平面/WC

因为4Cu平面A8C

所以A4JAC.因为AB_ZAC,ABr>AAi=A与人员A/l,u平面A阴A,

所以AC_L平面人8冏4，因为AEu平面ABBiA

所以4CJ.8E.乂因为8E_LA4,ACf}A^=A,人。,人用（=平面A“C

所以AE_L平面A8c.

（2）由（1）知知AB,AC,M两两垂直

则以点力为原点，A4,4C，M的方向分别为MKZ轴的正方向建立空间直角坐标系

第10页共18页

则4(0,0,0),e(2,0,4),D(0,2,2),B(2,0,0)

设E(0,0M)A4=(2,0,4)BE=(-2,0,a)

因为Ag.・.T+4a=0,.”=l

故BE=(-2,0,1)

由(1)知BEJ_平面4片。

故平面AgC的一个法向量为BE=(-2,0,1)BD=(-2,2,2)

7T

设直线4。与平面人4C所成先为中

则sin0=|cos〈424。》|=跳'姐=.

\BE\\BD\V5x2V35

18.⑴1

4

(2)分布列答案见解析，数学期望：1

(3)(weZ|2</«<9!

【分析】(1)方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；

(2)方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可：方法二：根据二项分布的公式求解；

(3)补全初中段的人数表格，再分别计算4,必,〃2关于〃?的解析式，代入〃0之丛要求解”的范围即可

(1)

方法一：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，记事件月为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”,

第II页共18页

事件/，为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在150,60）”

459

由题意可知，P(A)=--,P(AB)=—

1UUI(JU

9

因此如=磊嗤

100

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在［50,6。）的概率为（

方法二：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知

抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在150,60）”

由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活

动时间在［50,60）所包含的基本事件共9个

91

所以P（M）=《晨

455

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在150,60）的概率为?

（2）

方法一：X的所有可能值为0,1,2,时间在［80,90）的学生有10+5=15人，活动时间在190,100）的初中学生

有8+4-4=8人.

记事件。为“从参加体育活动时间在［80,90）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件〃为“从参

加体育活动时间在［90.100）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件£〃相互独立，且

所以P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=1xl=l

JJ7

----21124

P(X=\)=P(CDJCD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=-x-+-x-=-

224

P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=-x-=-

339

所以X的分布列为:

144124

故X的数学期望石(X)=OX；+1X；+2X；=/=3

第12页共18页

方法二：X的所有可能值为0,1,2

因为从参加体育活动时间在180,90)和［90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率

均为|,故X3(2彳)

所以p(x=o)=u(i-]]=1

A3j9

4

9

4224

P(X=2)=C；-=—=—x—=—

13/9339

所以才的分布列为:

24

故.丫的数学期望£(X)=np=2x-=-

JJ

(3)

根据男女生人数先补全初中学生各区间人数:

[0,50)

类数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(9CJ00)

初中11-W8IIII108

学段

高中m1312754

[50,100)内初中生的总运动时间。=8x55+11x65+11x75+10x85+8x95=3590,[50,100)内高中生的总运

动时间力=13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2825

则由题.加=1,2,3...11.又40=^(11x25+3590+2825)=66.9.=-^—[25(11-7//)+3590]=-^^-+25.

出:/(252825)=25+翳，由八铝可得

83.心迎+3当m=2,3...9时成工故初的取值范围｛weZ\2<fn<9)

59-??/41+〃/

第13页共18页

19.(1)y=(i+a)x

⑵a=-l

⑶E-1)

【分析】(1)由导数的几何意义，即可求解；

(2)由尸(0)=0求得。值，并验证此时x=0是极小值点；

(3)求出导函数/'(x)=e'+4cosx,八0)=1+。然后根据八0)的正负或0分类，注意由导函数的连续性得

出f(幻在(。,〃?)(存在正实数〃？〕上/(幻与广⑼同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负.

x

【详解】(1)r(x)=e+acosx,尸(0)=1+。,又/(0)=0

，切线方程为V=Q+，)x：

(2)由(1)/'(x)=e'+acosx,函数/(x)在x=0处取得极小值，则/'(0)=0,即1+。=0,。=一1

设g(x)=/'(x)=e'-cosx•则g'(x)=e'+sinx•g(0)=l,由g'(©的图象的连续性知g'(x)在x=0附近是正

值

因此/(工)在x=0附近是递增的，又/'(0)=0

所以/a)在x=0附近从左到右，由负变正，/V)在x=0左侧递减,在x=0右侧递增，/(0)是极小值,符

合题怠；

所以々=-1.

(3)/'(X)=e*+acosx./(0)=0

当/*(0)=l+a>0,即a>T时由gG)的图象的连续性知必存在m>0,使得对任意xw(0,m),/(x)>0,

对应/(x)递增,因此〃力>/(。)=0,不合题意

当/(0)=1+。<0,即时由g'(x)的图象的连续性知必存在m>0,使得对任意xe(O,m),/(x)<0.

对应递减,因此/(4)</(0)=0.满足题意

6r=-l时/'(X)=eT-cos.v,x>0时e*>1.cosx41,f'(x)=ex-cosx>0恒成汇./(x)=ex-sinx-1/f：(0,+cc)

上递增,/(x)>/(0)=0,不合题意

综上，”的取值范围是(□,-1).

20.(I)—+/=1：(II)见解析

4

第14页共18页

【分析】(I)根据离心率为正的椭圆过点(0,1),结合/=//+02,歹U出。、b、C的方程，即可得到椭圆

2

的标准方程；

(II)设必%为),则经分析可知要使M。2的面积是ABM。的3倍，等价于

=3|M0,由此可表示出点M的坐标，由点M在线段AB上与点Q在椭圆G上分别代入直线与椭圆的

方程化简可得到关于稣的一元二次方程，解方程即可知是否存在直线/,使得AB。尸的面积是ARM。的面积

的3倍.

b=\

厂a=2

【详解】(I)由题意可知：,£=今，解得"=i.

a2r

a2=b2+c2[c=yl3

、

・•・椭圆G的标准方程为工+y2=l.

4

(ii)设a/，.%),则R-%一%),可知0<为<2,0<)，0<1.

若使MOP的面积是A8M2的面积的3倍,只需使得|。。|=3阿。

.2_.(22、(22、

即。"=,。。=-x0,-y0,即M.

由4(2,0),8(0,1)，，直线AK的方程为“+2)，—2=0.

?4_

•・•点M在线段A4上，・•・§.”+§%-2=0,整理得为=3-2%，①

・・,点。在椭圆G上，.•.'+片=1,②把①式代入②式可得8y；-12)，o+5=O

•・•判别式小于零，该方程无解.，不存在直线/,使得MQP的面积是ABM。的面积的3倍.

【点睛】本题考杳椭圆的方程和性质，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查学生的运算

能力，属于中档题.

21.(1)｛135｝不具有性质只｛1,2,3,6｝具有性质凡理由见解析；

⑵证明见解析；

(3)75.

【分析】(1)对于｛1,3,5｝,3工1+1故可判断它不具有性质R对于析2,3,6｝可逐项验证2、3、6均满足对任

意的人(2"W〃),于，川W/WJ。)，使得q=4+%成立，故可判断它具有性质月

第15页共18页

（2）根据题意可知4«的吗4%,从而%=q+%Y24.i，故而可得

—2〃"_2，"”-2。区……，死W2q将这些式子累加即可得4“<26+%+...+%T,从而可

变形为要证的结论；

（3）根据题中已知条件可得该数集％=1,%=24=2从而可得该数集元素均为整数，再根据q=36可构造

一个满足性质P的数集A={123,6,9,18,36}或4={1,2,4,5,9,18,36},这两个数集元素之和为75,证明75是

最小值即可.

【详解】（1）・・・3工1+1,・・・{1,3,5）不具有性质户;

•••2=1x2,3=1+2,6=3+3,・•・{1,2,3,6}具有性质P,

（2）•・•集合A={q,3，…，&}具有性质月

即对任意的k[2<k<〃）,";（!</<；<〃），使得％=4+%成立

又Y1=4va2V…〃22

・•・at<ak_ra.<4T，：9=q+*24T

即%«2