《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第4章

PAGEPAGE8习题4.11.设随机变量的分布律如表4-15所示，表4-15-10121/81/21/81/4求【解】(1)(2)(3).2.随机变量的概率分布为：已知，求常数【解】由于从而又因所以3.设随机变量的分布律为X101Pp1p2p3且已知,求.【解】因……①,又……②,……③由①②③联立解得4.气体分子的速度服从麦克斯威尔（Maxwell）分布，其概率密度为其中为常数，求系数及的数学期望.【解】由于，则，得到.于是5.设随机变量相互独立，且求下列随机变量的数学期望.(1)；(2).【解】(1)(2)（因为相互独立）6.设随机变量的联合概率密度为试确定常数，并求.【解】因故..7.设是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求.【解】(方法一)先求X与Y的数学期望由与的独立性，得(方法二)利用随机变量函数的数学期望公式.因与独立，故联合密度为于是8.设随机变量的概率密度分别为求（1）;（2）.【解】从而(1)(2).习题4.21.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求【解】设随机变量表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2，3,并且由此可得2.设随机变量的概率密度函数为求【解】3.设随机变量的概率密度为求（1）系数;（2）数学期望;（3）方差.【解】(1)由，得.(2)(3)故4.设两个随机变量相互独立，且，，，求,.【解】由于随机变量相互独立，则5.设是相互独立的随机变量，并且有,是不全为零的常数，求随机变量服从的分布.【解】由于是相互独立的随机变量，并且均服从正态分布，即，则也服从正态分布.因为,,于是，.6.设是相互独立的随机变量，且有，，，记.（1）验证=μ，；（2）验证；（3）验证.【证明】(1)由于是相互独立的随机变量，从而(2)因为，所以，.(3)因,故同样，因,故.从而7.设随机变量服从二维正态分布，联合概率密度函数为求随机变量的数学期望和方差.【解】；，所以.8.对于两个随机变量，若存在，证明：.这一不等式称为柯西-许瓦兹（Couchy-Schwarz）不等式.【证明】令显然可见此关于的二次式非负，故其判别式，即故习题4.31.设二维随机变量的联合概率密度函数为计算.【解】，，，于是，.2.对随机变量和，已知，,计算.【解】3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为试验证和是不相关的，但和不是相互独立的.【解】.而,由此得,故与不相关.下面讨论独立性.当时，当时，.显然,,所以，X和Y不是相互独立的.4.设随机变量的分布律为XY01011/81/81/81/801/81/81/81/8验证和是不相关的，但和不是相互独立的.【解】由联合分布律易求得，及的分布律如下于是从而所以，和是不相关的.PAGE33又，从而和不是相互独立的.5.（第三节）设二维随机变量在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，.【解】如图，，故的概率密度为,,从而,同理而所以.从而.6.设二维随机变量的概率密度为求：（1）数学期望（2）方差（3）协方差【解】，，所以均不存在.7.设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为求协方差和相关系数.【解】从而同理又故8.设是个随机变量，证明并证明若.是个相互独立的随机变量，则【证明】若.是个相互独立的随机变量，则.习题4.41.计算二项分布的三阶原点矩与三阶中心距.【解】设，则2.计算均匀分布的阶原点矩与阶中心距.【解】设,则其概率密度函数为则3.随机变量，求，其中为正整数.【解】的概率密度函数为，则.于是,为偶数时，；为奇数时，.4.设二维随机变量的概率密度函数为求，其中为正整数.【解】5.设随机变量服从正态分布,求和.【解】一般正态分布的分位数与标准正态分布的分位数之间满足关系式所以6.自由度为2的分布的概率密度函数为.求其分布函数和分位数【解】其分布函数为当时，；当时，；于是所以该分布的分位数满足解得.由此得到7.设随机变量的概率密度函数关于点是对称的，且数学期望存在，证明（1）（2）如果则【解】（1）由于的概率密度函数关于点是对称的，从而于是所以.由于得到，所以（2）当时，由得到于是8.已知二维随机变量的协方差矩阵为，试求随机变量和的相关系数.【解】由已知，从而故习题4.51.设（X，Y）具有联合概率分布:（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB软件求：E(X),E(Y),D(X),D(Y);(2);(3)Cov(X,Y)【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;];EX=0;EY=0;EXY=0;DX=0;DY=0;E2=0;fori=1:5forj=1:7EX=EX+Xvalue(i)*Pvalue(i,j);EY=EY+Yvalue(j)*Pvalue(i,j);EXY=EXY+Xvalue(i)*Yvalue(j)*Pvalue(i,j);E2=E2+sin(Xvalue(i))*exp(cos(Yvalue(j)))*Pvalue(i,j);endendfori=1:5forj=1:7DX=DX+[Xvalue(i)-EX]^2*Pvalue(i,j);DY=DY+[Yvalue(j)-EY]^2*Pvalue(i,j);endendCOV_XY=EXY-EX*EY;[EXEYDXDYE2COV_XY]输出结果：[EXEYDXDYE2COV_XY]=[3.21001.41004.90593.9419-0.0823-0.1061]2.设具有联合概率密度函数为：利用MATLAB软件求(1)(2)的数学期望.【解】clc;clear;closeall;symsxyfxy=2-x-y;fx=int(fxy,y,0,1);%X的边缘概率密度fy=int(fxy,x,0,1);%Y的边缘概率密度EX=int(x*fx,x,0,1)%X的数学期望EY=int(y*fy,y,0,1)%Y的数学期望DX=int((x-EX)^2*fx,x,0,1)%X的方差DY=int((y-EY)^2*fy,y,0,1)%Y的方差EXY=int(int(x*y*fxy,y,0,1),x,0,1)%XY的数学期望COV_XY=EXY-EX*EY%X与Y的协方差R_XY=COV_XY/sqrt(DX*DY)%X与Y的相关系数D_X_SUM_Y=DX+DY+2*COV_XY%X+Y的方差EZ=int(int(exp(x)*sin(y)*fxy,y,0,1),x,0,1)%XY的数学期望输出结果：[EXEYDXDYEXYCOV_XYR_XYD_X_SUM_YEZ]=[5/125/1211/14411/1441/6-1/144-1/115/360.6026]第4章考研真题1.假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.(2002研考)【解】设表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间，的概率密度函数为.依题意.对于,.对于，.对于,所以2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.（2003研考）【解】（1）的可能取值为的概率分布为,即，，.因此，(2)设表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3.假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系求平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（1994研考）【解】从而这里令得两边取对数有解得(毫米),由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.4.设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望.（2002研考）【解】令则.因为,所以,从而5.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差.（1997研考）【解】由题意知，因独立，所以.当时，;当时，，故得由于服从参数为5的指数分布，从而因此，有.又因独立，所以.6.设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差.（1998研考）【解】设，由于且X和Y相互独立，故.因而，所以.7.某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为，求和.（2000研考）【解】记,的概率分布为故又所以8.设随机变量和的联合分布在点为顶点的三角形区域上服从均匀分布（如图），试求随机变量的方差.（2001研考）【解】由条件知和的联合概率密度函数为的边缘概率密度函数.从而或者时，时，即因此同理可得于是9.设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量试求（1）和的联合概率分布；（2）方差.（2002研考）【解】(1)的4个可能取值.,,,.故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而及的概率分布相应为,.从而所以10.设随机变量的概率密度为,(1)求及；（2）求,并问与是否不相关？（3）问与是否相互独立，为什么？（1993研考）【解】(1)(2)所以与不相关.(3)为判断与的独立性，需依定义构造适当事件后作出判断，为此，对定义域中的子区间上给出任意点，则有所以故由，得出与不相互独立.11.已知随机变量和分别服从正态分布和，且和的相关系数，设.（1）求的数学期望和方差；（2）求与的相关系数；（3）问与是否相互独立，为什么？（1994研考）【解】(1)由于随机变量和分别服从正态分布和，则;.而,所以(2)因所以(3)由，得与不相关.又因，所以X与Z相互独立.12.将一枚硬币重复掷次，以和表示正面向上和反面向上的次数.求和的相关系数.（2001研考）【解】由条件知，则有.再由,得到.所以故.13.设随机变量和的联合概率分布如表4-17所示，表4-17YX-101010.070.180.150.080.320.20求和的相关系数.(2002研考)【解】由已知，于是所以.从而14.对于任意两事件和，则称为事件和的相关系数.试证：（1）事件和独立的充分必要条件是；（2）.（2003研考）【证明】（1）由的定义知，当且仅当.所以是和独立的充分必要条件.(2)引入随机变量和为由条件知，和都服从分布，即从而有,,,,由于,从而有,于是.所以，事件和的相关系数就是随机变量和的相关系数.于是由二维随机变量相关系数的基本性质可得.15.设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数，求：(1)的概率密度；(2);(3).(2006研考)【解】(1)的分布函数为.当时，，；当时，；当时，；当时，，.故的概率密度为(2),,,故.(3).16.设随机变量相互独立，且都存在，记，，则（）(A)(B)(C)(D)(2011研考)【解】由于，，则,从而.17．设二维随机变量，则.(2011研考)【解】由于，则相互独立，且从而18.设随机变量与的概率分布分别为0101且求(1)二维随机变量的概率分布；(2)的概率分布；(3)与的相关系数.(2011研考)【解】(1)由于从而由于得到由于得到于是(2)的取值为(3)19.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）.(2012研考)【解】用与分别表示两段木棒的长度，则,即,从而两段长度的相关系数20．已知随机变量以及的分布律如下表所示，0121/21/31/60121/31/31/301247/121/301/12求：（1）；（2）与.(2012研考)【解】(1)由于得到由于得到由于得到由于得到所以(2)从而于是21.设连续型随机变量与相互独立，且方差均存在，与的概率密度分别为与，随机变量的概率密度为，随机变量，则()(A)，(B)，(C)，(D)，(2014研考)【解】由于与是连续型随机变量，方差存在，因此由于从而而所以应该选(D).【说明】如果仅是从考试选择题结果来看，也可以假设与是独立同分布的，这样与,有着相同的概率密度函数，从而，结果就比较明显了.22.设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.（I）求的分布函数；（II）求.(2014研考)【解】（I）在及条件下的条件概率密度函分别为由全概率公式，的分布函数；当时，；当时，；当时，；当时，；所以，；（II）的概率密度函数为23.设二维随机变量的概率分布如表4-18所示，其中为常数，且的数学期望，，记.表4-18-101-101a00.20.1b0.200.1c求：（1）的值；（2）的概率分布；（3）.(2014研考)【解】（1）的分布为的分布为于是得到（2）的取值为，（3）.24.设随机变量不相关，且，则()(A)(B)(C)(D)(2015研考)【解】由于随机变量不相关，则因此应选(C).25.随机试验有三种两两不相容的结果,,，且三种结果发生的概率均为.将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验中结果发生的次数,求与的相关系数.(2016研考)【解】由于则由于,则于是也可以采用计算的联合分布的办法.由于则于是26.设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则.(2017研考)【解】的概率密度函数为27.设随机变量相互独立,且的概率分布为的