《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第7章

PAGEPAGE22习题7.11.为估计某湖泊中鱼的数量，从湖中随机捞出1000条鱼，标上记号后再放入湖中.一天后，从湖中再次随机捞出150条鱼，发现其中有10条带有记号.问该湖泊中有多少条鱼？【解】设湖泊中有n条鱼.总体中带记号的鱼的比例为，样本中的比例为.由于，故n=15000.2.设总体X的分布律为X123其中θ(0<θ<1)是未知参数.X1，X2，X3是总体X的一个样本，对应的样本值是1,2,1.试求参数θ的矩估计值和最大似然估计值.【解】（1）总体的一阶矩为：样本一阶矩为：令μ1=A1，解得将样本值代入，得θ的矩估计值：（2）似然函数为.取对数lnL(λ)=.令，得：将样本值代入，得θ的最大似然估计值为：3.设总体X的密度函数为f(x；θ)=X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，试求参数θ的矩估计量.【解】令解得θ的矩估计量为：4.设总体，从中抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn，试求参数p的矩估计值.【解】E(X)=p,令解得p的矩估计量为.5.设总体X的密度函数为f(x；θ)，X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的最大似然估计.（1）f(x；θ)=（2）f(x；θ)=【解】（1）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：（2）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：6.设总体的概率密度为：，其中>是未知参数，是来自总体的样本，其观测值分别为.试求参数的矩估计量和最大似然估计量.【解】（1）令解得θ的矩估计量为：（2）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：习题7.21.若样本取自总体，，，则_______可以作为的无偏估计量.（A）当已知时，统计量；（B）当已知时，统计量；（C）当未知时，统计量；（D）当未知时，统计量.【解】C、D非统计量，由数学期望的性质知正确答案是A.2.若样本取自总体，则__________.（A）不是的无偏估计量；（B）是的无偏估计量；（C）是的无偏估计量；（D）是的无偏估计量.【解】由数学期望的性质及样本均值的定义知正确答案是B.3.设总体X的分布中含有未知参数θ，又X1，X2是来自X的样本.已知E(X)=2-2θ，且是θ的无偏估计.求k.【解】由题意，，解得4.设X1，X2是从正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本.记试证：都是μ的无偏估计量，并判断哪一个估计量更有效.【证】因为所以都是μ的无偏估计量.所以.即在中是最有效的.5.设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本.求参数θ的最大似然估计量，并判断该估计量是否是θ的无偏估计量.【解】似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：因为所以是θ的无偏估计量.习题7.31.某工厂生产的节能灯使用寿命X~N(μ，1002).现从生产的一批节能灯中随机抽取5只，测得使用寿命如下（单位：小时）14551430150213701610试求这批节能灯平均使用寿命μ的置信水平为0.9的置信区间.【解】该题属于σ2已知时对μ的区间估计.这里1-α=0.9，α/2=0.05，n=5，查表得zα/2=z0.05=1.64，计算得代入（7.10）得均值μ的置信水平为0.9的置信区间是（1473.4-，1473.4+）即（1400.1,1546.7）.2.设是来自总体X的一个样本，X~N(μ，52).求μ的置信水平为0.9的置信区间的长度.【解】因为σ2已知，所以μ的置信水平为1-α的置信区间为.置信区间的长度为由题意n=25,σ=5,α=0.1,查表得，代入上式得置信区间的长度为3.29.习题7.41.设某工厂生产的零件长度X~N(μ,σ2)（单位：cm），现从生产线上随机抽取16件产品，测得样本均值为10，样本方差为0.16.试求：μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）σ2的置信水平为0.95的置信区间.【解】（1）该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（9.7868,10.2132）.(2)该题属于μ未知时对σ2的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得=24.996，=6.262，代入（7.15）得均值σ2的置信水平为0.95的置信区间是（0.096,0.383）.2.设某种袋装食盐的质量服从正态分布，现从中随机抽取16袋，称得质量的平均值=503.75(g)，样本方差s=6.2022(g).求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.【解】该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，=503.75，s=6.2022，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（500.4,507.1）.3.某工厂生成一批钢珠，其直径服从正态分布N(μ,σ2)（单位：mm）.现从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为15.114.815.214.914.615.1（1）若σ2=0.06，求μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）若σ2未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间.【解】（1）该题属于σ2已知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，，计算得=14.95，查表得zα/2=z0.025=1.96.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（14.75,15.15）.该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，计算得=14.95，s=0.226，查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.5706.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（14.71,15.187）.4.设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2)（单位：mm），从中随机抽取10件，测得长度如下：49.750.950.651.852.448.851.151.051.551.2试求方差σ2的置信水平为0.90的置信区间.【解】该题属于μ未知时对σ2的区间估计.这里1-α=0.90，α/2=0.05，n=10.计算得，查表得=16.919，=3.325，代入公式得方差σ2的置信水平为0.90的置信区间是(0.5615,2.8571).5.已知固体燃料火箭推进器的燃烧率近似服从正态分布，标准差近似为0.05cm/s.为研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，随机抽取容量为的两组样本，测得样本均值分别为=18cm/s，=24cm/s.试求两个正态总体均值差的置信水平为0.99的置信区间.【解】该题属于方差已知时对两个正态总体均值差的区间估计.这里，=18，=24，1-α=0.99，α/2=0.005，.查表得zα/2=z0.005=2.58.代入（7.16）得均值差的置信水平为0.99的置信区间是（-6.044,-5.956）.6.某工厂采用两种不同的工艺生产同一种产品，产品质量都服从正态分布.为比较两种工艺的优劣，某日从各自生产的产品中随机抽取10件产品，测得质量如下（单位：g）：工艺Ⅰ81847976828384807982工艺Ⅱ76747879807982768179试求的置信水平为0.99的置信区间.【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的区间估计.设X和Y分别表示工艺Ⅰ和工艺Ⅱ生产的产品质量，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.已知，1-α=0.99，α/2=0.005.计算得.代入公式得方差比的置信水平为0.99的置信区间是（0.1416,6.054）.习题7.51.为估计某品牌轮胎的使用寿命，随机抽取12只轮胎试用，测得它们的使用寿命如下（单位：万千米）:5.204.604.584.724.384.704.684.854.324.854.615.02假设轮胎的使用寿命服从正态分布，试求轮胎平均使用寿命的置信水平为0.95的单侧置信下限.【解】该题属于方差未知，对正态总体均值的单侧区间估计.这里1-α=0.95，α=0.05，n=12.计算得.查表得tα(n-1)=t0.05(11)=1.7959.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的单侧置信下限为4.5806（万千米）.2.科学上的重大发现往往都是由年轻人做出的.下表列出了自16世纪初期到20世纪早期的十二项重大发现的发现者和他们发现时的年龄.设样本来自正态分布，试求发现者的平均年龄μ的置信水平为0.95的单侧置信上限.序号发现者发现时间年龄发现内容1哥白尼(Copernicus)151340地球绕太阳运转2伽利略(Galileo)160036望远镜、天文学的基本定律3牛顿(Newton)166523运动原理、重力、微积分4富兰克林(Franklin)174640电的本质5拉瓦锡(Lavoisier)177431燃烧是与氧气联系着的6莱尔(Lyell)183033地球是渐进过程演化成的7达尔文(Darwin)185849自然选择控制演化的证据8麦克斯韦(Maxwell)186433光的场方程9居里夫人(MarieCurie)190234放射性10普朗克(Planck)190043量子论11爱因斯坦(Einstein)190526狭义相对论，E=mc212薛定谔(Schrӧdinger)192639量子论的数学基础【解】该题属于方差未知，对正态总体均值的单侧区间估计.这里1-α=0.95，α=0.05，n=12.计算得.查表得代入公式得发现者的平均年龄μ的置信水平为0.95的单侧置信上限为39.3245（岁），即39岁零4个月.习题7.6随机地取出某工厂生产的零件，测得它们的直径（单位：mm）分别为85.001,85.005,85.003,85.001,85.000,84.998,85.006,85.002利用MATLAB软件计算总体均值和总体方差的矩估计.【解】输入：x=[85.00185.00585.00385.00185.00084.99885.00685.002];mu_ju=mean(x)%均值的矩估计siga2_ju=moment(x,2)%方差的矩估计输出：mu_ju=85.0020,siga2_ju=6.0000e-06.设某种油漆的9个样品，其干燥时间分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从于正态分布，利用MATLAB求均值和标准差矩估计及置信度为0.95的置信区间.【解】输入程序：X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)输出结果：mu=6，均值的矩估计sigma=0.5745，标注差的矩估计muci=[5.55846.4416]均值的置信区间sigmaci=[0.38801.1005]，标准差的置信区间已知一批零件的使用寿命X服从于正态分布，从这批零件中随机地抽取15个，测得它们的寿命（单位：h）为1050930960980950112099010009701300105098011509401100利用MATLAB软件计算均值和方差的最大似然估计；假设零件的寿命大于960h的为一级品，利用MATLAB软件求这批零件一级品率的最大似然估计.【解】输入程序X=[1050930960980950112099010009701300105098011509401100];phat=mle('norm',X)%计算均值和方差的最大似然估计P=1-normcdf(960,phat(1),phat(2))%计算一级品率的最大似然估计输出结果phat=[1031.397.2],P=0.7686.第7章考研真题1.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x;θ)=其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值.（2000研考）【解】似然函数为取对数，即lnL(θ)是θ的增函数.所以θ的最大似然估计量为：2.设总体X的概率分布如下表所示：X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ(0<θ<1/2)是未知参数，利用总体的样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值.（2002研考）【解】（1）令μ1=A1，解得θ的矩估计值：（2）似然函数为.取对数.令，得：将样本值代入，解得因为所以θ的最大似然估计值为3.设总体X的分布函数为F(x；θ)=其中未知参数θ>1,设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：（1）θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量；(2004研考)【解】（1）总体X的概率密度为.令，即解得θ的矩估计量为（2）似然函数为取对数令解得θ的最大似然估计量为4.设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N的样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求θ的最大似然估计.(2006研考)【解】似然函数为取对数令解得θ的最大似然估计量为5.设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量；（2）判断4是否是的无偏估计量.【解】（1）令解得参数θ的矩估计量为（2）故4不是的无偏估计量.6.设总体X的概率密度为其中参数λ(λ>0)未知，为来自总体X的简单随机样本.（1）求λ的矩估计量；（2）求λ的最大似然估计量.(2009研考)【解】（1）令，即解得λ的矩估计量为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得λ的最大似然估计量为7.设总体X的概率分布为X123P1-θθ-θ2θ2其中θ(0<θ<1)是未知参数，以表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1,2,3）.试求，使得为θ的无偏估计量，并求T的方差.（2010研考）【解】显然，从而由，得解得因为所以.从而8.设是来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知.为样本均值和样本方差.求（1）求参数的最大似然估计；(2)计算E和D.(2011研考)【解】（1）似然函数为L（σ2）=取对数lnL（σ2）=.令，解得参数的最大似然估计为（2）因为，所以从而9.设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量.(2012研考)【解】（1）因为X和Y相互独立，所以Z=X-Y也服从正态分布.又EZ=EX-EY=0,DZ=DX-DY=3,所以于是Z的概率密度为（2）似然函数为L(σ2)=取对数lnL(σ2)=.令，解得参数的最大似然估计为所以为的无偏估计量.10.设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.(2013研考)【解】（1）令，解得的矩估计量为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得的最大似然估计量为11.设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.(2014研考)【解】由，得12.设总体的分布函数为其中是未知参数且大于零.为来自总体的简单随机样本.（1）求，；（2）求的最大似然估计量；（3）是否存在实数，使得对任何，都有？(2014研考)【解】（1）X的密度函数为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得的最大似然估计量为（3）因为是独立同分布的随机变量系列，且.由辛钦大数定律，依概率收敛于.故存在a=θ,使得对任意的正数ε有13.设总体X的概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(1)求的矩估计量.(2)求的最大似然估计量.(2015研考)【解】（1）令，解得的矩估计量为（2）似然函数为，即L(θ)是θ的增函数.所以θ的最大似然估计量为：14.设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.(2016研考)【解】由，得.由，得从而于是的置信度为0.95的双侧置信区间为(8.2,10.8).15.某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝