2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．2．（3分）2024年12月，从中国石化获悉，随着镇海炼化千万吨扩能和高端新材料项目全面竣工，标志我国规模最大的世界级石化产业基地全面建成．将5000万吨用科学记数法可以表示为（）A．5×103吨 B．5×107吨 C．0.5×107吨 D．5×108吨3．（3分）如图，已知直角三角板的直角顶点A在直线m上，∠B＝30°，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°4．（3分）下列计算正确的是（）A．（a3）4＝a12 B．a3•a5＝a15 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点E，若FC＝6，则BD的长为（）A． B． C． D．6．（3分）将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，经过点（1，﹣2）（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，连接CE，若BE＝BC，BD＝16，则tan∠BCE的值为（）A．3 B． C．2 D．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2﹣2tx+2t2﹣t（t为常数），则下面选项正确的是（）A．若点A（t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＞y2 B．若点A（﹣t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＜y2 C．当t＞0时，抛物线L只经过第一、二象限 D．当t＜0时，抛物线L只经过第一、二象限二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）比较大小：4（填“＞”，“＜”或“＝”）．10．（3分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为5cmcm．11．（3分）如图，BC为⊙O直径，点D为⊙O上一点，过点C作CA∥OD交⊙O于点A，连接AB，则∠CBD的度数为．12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上一点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则k的值为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F、G分别在边BC、CD上，且EF＝FG，则四边形DEFG周长的最小值为．三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）14．（5分）计算：．15．（5分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝116．（5分）解方程：．17．（5分）如图，在△ABC中，P为边AC上一点．请用尺规作图法，在边BC上找一点E，使得△BDE≌△PDE．18．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE．求证：BC＝DE．19．（5分）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌；B．历史类；C．百科类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同（1）若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是．（2）用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率．20．（5分）某校秋季达标运动会后，为了激励更多的学生热爱体育运动，该校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，且购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需435元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？21．（6分）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆PD的高度进行了测量．塔杆PD安装在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用无人机分别在点A和点B处观察塔杆的顶端P，AP⊥BP．已知点B在点A的正上方，AB⊥AC，斜坡CD的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆PD的高度．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）22．（7分）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，此时两车与学校相距150千米，如图所示，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米．23．（7分）为了加强劳动教育，某校随机抽取了八年级若干学生，对学生每周在家劳动时间进行了调查，整理后得到下列不完整的图表：学生每周在家劳动时间统计图表每周在家劳动时间x（小时）A组0.5≤x＜1.5B组1.5≤x＜2.5C组2.5≤x＜3.5D组3.5≤x＜4.5组中值1234人数（人）5m208数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息（1）扇形统计图中，A组对应扇形的圆心角的度数是，m＝，样本数据的中位数位于组（填A、B、C、D）；（2）请将表格补充完整；（3）若每组数据按组中值估算，请估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB（1）求证：EP是⊙O的切线；（2）若AP＝3，PD＝6，求OA及EF的长．25．（8分）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA＝12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，点P是抛物线的顶点，且PH＝9米．如图2，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD＝6），求横梁CD的长．26．（10分）问题探究（1）点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使它将平行四边形ABCD的面积等分．问题解决（2）如图2，某公园有一空地，即五边形ABCDE．经测量，AE＝40m，CD＝70m，∠BAE＝∠BCD，tanD＝，点M在边AE上，点N在边CD上，满足∠BPN＝45°，点E为公园的入口处，若存在，求出PE的最小值，请说明理由．

2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案AB．CACDAD一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．【解答】解：﹣2025的绝对值是2025．故选：A．2．（3分）2024年12月，从中国石化获悉，随着镇海炼化千万吨扩能和高端新材料项目全面竣工，标志我国规模最大的世界级石化产业基地全面建成．将5000万吨用科学记数法可以表示为（）A．5×103吨 B．5×107吨 C．0.5×107吨 D．5×108吨【解答】解：5000万＝50000000＝5×107．故选：B．3．（3分）如图，已知直角三角板的直角顶点A在直线m上，∠B＝30°，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠MAC＝∠BAC﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，∴∠AMC＝180°﹣∠MAC﹣∠C＝55°，∵m∥n，∴∠2＝∠AMC＝55°，故选：C．4．（3分）下列计算正确的是（）A．（a3）4＝a12 B．a3•a5＝a15 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1【解答】解：（a3）4＝a12，则A符合题意；a6•a5＝a8，则B不符合题意；（8a）2＝9a8，则C不符合题意；（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；故选：A．5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点E，若FC＝6，则BD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接AF，∵AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，∴AF＝CF＝6，∵∠C＝30°，∴∠C＝∠CAF＝30°，∴∠AFD＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AF＝3DF＝7，∵AD⊥BC，∠B＝45°，∴BD＝AD＝3．故选：C．6．（3分）将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，经过点（1，﹣2）（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将直线y＝﹣x+3向左平移a（a＞0）个单位后，所得直线解析式为y＝﹣（x+a）+3，把（1，﹣2）代入y＝﹣（x+a）+6得：﹣2＝﹣（1+a）+7，解得a＝4，故选：D．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，连接CE，若BE＝BC，BD＝16，则tan∠BCE的值为（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，AB＝BC＝10，∵BD＝16，∴BO＝DO＝8，∴OC＝＝8，∵BE＝BC，∴BE＝10，∠BCE＝∠BEC，∴OE＝BE﹣BO＝10﹣8＝2，∴tan∠BCE＝tan∠BEC＝．故选：A．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2﹣2tx+2t2﹣t（t为常数），则下面选项正确的是（）A．若点A（t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＞y2 B．若点A（﹣t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＜y2 C．当t＞0时，抛物线L只经过第一、二象限 D．当t＜0时，抛物线L只经过第一、二象限【解答】解：∵点A（t，y1），B（2t，y7）在抛物线L上，∴y1＝t2﹣5t2+2t2﹣t＝t2﹣t，y2＝8t2﹣4t3+2t2﹣t＝4t2﹣t，∵y1﹣y3＝﹣t2≤0，∴y8≤y2，故A错误；∵点A（﹣t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，∴y1＝t4+2t2+3t2﹣t＝5t4﹣t，y2＝4t3﹣4t2+8t2﹣t＝2t7﹣t，∵y1﹣y2＝2t2≥0，∴y4≥y2，故B错误；∵抛物线L：y＝x2﹣3tx+2t2﹣t＝（x﹣t）6+t2﹣t，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，t2﹣t）与y轴的交点为（8，2t2﹣t），当2＜t＜时，交y轴的负半轴、二，三，四象限；当t＜6时，抛物线开口向上，顶点为（t，t2﹣t）在第二象限，交y轴的正半轴、二象限．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）比较大小：＜4（填“＞”，“＜”或“＝”）．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案为：＜．10．（3分）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为5cm10cm．【解答】解：∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为5cm，∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为5cm，∴平行四边形的边长为5cm，∴正方形ABCD的边长为4×5＝10，故答案为：10．11．（3分）如图，BC为⊙O直径，点D为⊙O上一点，过点C作CA∥OD交⊙O于点A，连接AB，则∠CBD的度数为35°．【解答】解：∵BC为⊙O直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝20°，∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝70°，∵OD∥AC，∴∠ACB＝∠COD＝70°，∴∠CBD＝∠COD＝35°，故答案为：35°．12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上一点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则k的值为﹣16．【解答】解：如图，作AD⊥y轴，由题意可得，S矩形ABCD＝2S△ABC＝32，∵点B与点A关于x轴对称，∴|k|＝S矩形AEOD＝×32＝16，∵反比例函数图象在第四象限，∴k＝﹣16．故答案为：﹣16．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F、G分别在边BC、CD上，且EF＝FG，则四边形DEFG周长的最小值为25.6．【解答】解：如图，连接EF，过点F作FH⊥BD于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝15，∴∠BDC＝∠ABD，∵∠ABD+∠EFG＝180°，∴∠BDC+∠EFG＝180°，∴∠HEF+∠DGF＝180°，∴∠CGF+∠DGF＝180°，∴∠HEF＝∠CGF，又∵∠EHF＝∠C＝90°，EF＝FG，∴△EFH≌△GFC（AAS），∴FH＝FC，HE＝CG，DF＝DF且FH＝FC，∴RtDHF≌RtDCF（HL），∴DH＝DC，∴DE+DG＝DH+HE+DC﹣CG＝DC+CG+DC﹣CG＝2DC＝16，∴四边形DEFG的周长＝DE+DG+EF+FG＝16+2EF，当EF⊥BD时，EF取最小值，如图，在Rt△BCD中，BD＝＝，∵S△BCD＝S△BDF+S△CDF，∴BC•CD＝CD•FG，∵EF＝FG，∴×15×4＝×8×EF，解得EF＝4.8，∴四边形DEFG周长的最小值＝16+2×4.8＝25.6，故答案为：25.5．三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）14．（5分）计算：．【解答】解：＝﹣8﹣＝﹣2﹣（﹣2）+5＝1．15．（5分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝1【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y＝（x8﹣4xy+4y2﹣x2+y2）÷y＝（6y2﹣4xy）÷y＝4y﹣4x，当x＝1，y＝﹣7时，原式＝5×（﹣2）﹣3×1＝﹣10﹣4＝﹣14．16．（5分）解方程：．【解答】解：去分母，得5+（x﹣2）＝﹣（x﹣5），去括号，得5+x﹣2＝﹣x+7，移项，得x+x＝1+2﹣2，合并，得2x＝﹣2，化系数为4，得x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x﹣6≠0，∴原方程的解为x＝﹣1．17．（5分）如图，在△ABC中，P为边AC上一点．请用尺规作图法，在边BC上找一点E，使得△BDE≌△PDE．【解答】解：图形如图所示．18．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE．求证：BC＝DE．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．19．（5分）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌；B．历史类；C．百科类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同（1）若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是．（2）用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，∴第一个问题被问到科技类问题的概率是．故答案为：．（2）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的结果有：（A，（A，（A，（B，（B，（B，（D，（D，（D，共5种，∴小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率为．20．（5分）某校秋季达标运动会后，为了激励更多的学生热爱体育运动，该校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，且购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需435元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？【解答】解：设1副乒乓球拍的价格是x元，则1副羽毛球拍的价格是（x+30）元，根据题意得：2x+2（x+30）＝435，解得：x＝75，∴x+30＝75+30＝105（元）．答：1副乒乓球拍的价格是75元，5副羽毛球拍的价格是105元．21．（6分）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆PD的高度进行了测量．塔杆PD安装在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用无人机分别在点A和点B处观察塔杆的顶端P，AP⊥BP．已知点B在点A的正上方，AB⊥AC，斜坡CD的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆PD的高度．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）【解答】解：延长AC，PD交于H，则∠H＝90°，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠H＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠BAP＝90°，∴∠B＝∠PAC，AP∥CD，∴∠DCH＝∠PAH，∴∠DCH＝∠B，∵斜坡CD的长为10米，其坡度为2．∴tan∠DCH＝＝2，∴DH＝7CH，∵DH2+CH2＝CD2，∴5CH2＝100，∴CH＝6（负值舍去），∴DH＝4米，在Rt△ABP中，tanB＝tan，∴AP＝2PB，∵AP2+PB5＝AB2，∴5PB3＝1600，∴PB＝8，∴AP＝16米，∵CD∥AP，∴△HCD∽△HAP，∴，∴＝，∴PH＝32米，∴PD＝PH﹣DH＝32﹣4≈23（米），答：该风力发电机塔杆PD的高度约为23米．22．（7分）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，此时两车与学校相距150千米，如图所示，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米．【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为s＝kt+b（k、b为常数．将坐标A（3，150）和B（1，得，解得，∴AB所在直线的函数表达式为s＝75t﹣75．（2）大巴的速度为50÷1＝50（千米/小时），∴OA所在直线的函数表达式为s＝50t；当轿车与大巴首次相距3千米时，得|75t﹣75﹣50t|＝5，解得t＝2.4或3.2，8.8﹣1＝3.8（小时），3.8﹣1＝2.2（小时），1.8＜3.2．答：轿车出发1.2小时后，轿车与大巴首次相距5千米．23．（7分）为了加强劳动教育，某校随机抽取了八年级若干学生，对学生每周在家劳动时间进行了调查，整理后得到下列不完整的图表：学生每周在家劳动时间统计图表每周在家劳动时间x（小时）A组0.5≤x＜1.5B组1.5≤x＜2.5C组2.5≤x＜3.5D组3.5≤x＜4.5组中值1234人数（人）5m208数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息（1）扇形统计图中，A组对应扇形的圆心角的度数是36°，m＝17，样本数据的中位数位于C组（填A、B、C、D）；（2）请将表格补充完整；（3）若每组数据按组中值估算，请估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间．【解答】解：（1）本次调查的同学共有：8÷16%＝50（人），A组对应扇形的圆心角的度数为360°×＝36°，m＝50﹣4﹣20﹣8＝17，样本数据的中位数位于C组，故答案为：36°，17，C；（2）将表格补充完整如下：学生每周在家劳动时间统计图表每周在家劳动时间x（小时）A组0.5≤x＜1.5B组5.5≤x＜2.7C组2.5≤x＜4.5D组3.2≤x＜4.5组中值3234人数（人）517208（3）×（5×1+17×5+20×3+8×8）＝2.62（小时），答：估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间为2.62小时．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB（1）求证：EP是⊙O的切线；（2）若AP＝3，PD＝6，求OA及EF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵EO平分∠DEB，∴∠DEO＝∠BEO，∵EG⊥BD，∴∠EGD＝∠EGB＝90°，∵EG＝EG，∴△EGD≌△EGB（ASA），∴DE＝BE，∵OD＝OB，EO＝EO，∴△EDO≌△EBO（SSS），∴∠EDO＝∠EBO，∵AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，∴∠EBO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴EP是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠BDO＝90°，∵∠ADP+∠ADO＝90°，∴∠ADP＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ADP＝∠DBP，∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△DBP，∴，∴＝，∴PB＝12，∴AB＝PB﹣AP＝9，∴AO＝OB＝，由（1）知△EDO≌△EBO，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，∵PB2＝PE2﹣BE4，∴122＝（6+x）3﹣x2，∴x＝9，∴BE＝6，∴OE＝＝＝，∴EF＝OE+OF＝＝．25．（8分）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA＝12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，点P是抛物线的顶点，且PH＝9米．如图2，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD＝6），求横梁CD的长．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣6）2+4，将（0，0）代入上式得：3＝a（0﹣6）7+9，则a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+9；（2）设CD＝4m，则点D（6+m，由函数的对称性知，△OAB为等腰直角