《建筑力学》课件

绪论建筑力学的任务杆件结构是由杆件组成的一种体系。杆件体系必须按一定的规律组成，才能保持稳定的骨架而承受各种外部作用。不同结构形式在承受相同的外部作用时，某种结构形式就可能比另一种结构形式合理。在结构分析中，须把实际的结构及承受的作用简化为计算模型，这样的模型称为结构的计算简图。结构必须具备可靠(安全)、适用、耐久的功能。强度：在使用期内，务必使结构和构件安全可靠，不发生破坏，具有足够的承载能力。结构和构件抵抗破坏的能力称为强度。刚度：在使用期内，务必使结构和构件不发生影响正常使用的变形。结构或构件抵抗变形的能力称为刚度。稳定性：在使用期内，务必使结构和构件平衡形态保持稳定。稳定性是结构或构件保持原有平衡形态的能力。建筑力学的任务：研究和分析作用在结构（或构件）上力与其平衡的关系；结构（或构件）的内力、应力、变形的计算方法；构件的强度、刚度和稳定条件；为保证结构（或构件）安全可靠又经济合理提供计算理论依据。二、建筑力学的研究对象结构：是建筑物或构筑物中承受外部作用的骨架。可能出现的外部作用包括荷载作用(恒载、活载、风载、水压力、土压力等)、变形作用(地基不均沉降、材料胀缩变形、温度变化引起的变形、地震引起的地面变形等)、环境作用(阳光、风化、环境污染引起的腐蚀、火灾等)。构件：是组成结构的基本部件。按照几何特征，结构可分为杆件、板壳和实体(图)。杆件的几何特征为长条形，长度远大于其他两个尺度(横截面的长度和宽度)。板壳的厚度远小于其他两个尺度(长度和宽度)，板的几何特征为平面形，壳的特征为曲面形。实体的几何特征为块几何状，长、宽、高三个尺度大体相近，内部大多为实体。杆件按照一定的方式连接，形成杆件结构。建筑力学的研究对象：结构、构件。三、土木工程与力学土木工程：用建筑材料(土、石、砖、木、混凝土、钢、铝、聚合物、钢筋混凝土、复合材料等)建筑房屋、道路、铁路、桥梁、隧道、河、港、市政卫生等建筑物或构筑物的生产活动和工程技术。力学：研究宏观机械运动规律及其应用的学科。机械运动指物体之间或物体内部各部分之间相对位置的变动，包括物体相对于地球的运动、物体的变形、流体的流动等。平衡：是机械运动的特殊情况，指物体相对于地球保持静止，或作匀速直线平移。土木工程是力学最重要的发展源泉和应用园地之一，力学是土木工程重要的理论基础。人类早就会建造房屋了，直到掌握了丰富的力学知识以后，各种各样的摩天大楼、跨海大桥、特大跨度的公共建筑、水下隧道、高速公路才得以建成。力学的分支学：理论力学、材料力学、结构力学、板壳力学、弹性力学、弹塑性力学、塑性力学、断裂力学、流体力学、复合材料力学、实验力学、计算力学、量子力学等。作为高等职业教育的一门课程。“建筑力学”的内容只是力学中最基本的应用广泛的部分。它将静力学、材料力学、结构力学三门课程的主要内容贯通融合成为一体。第一章静力学基本概念第一节力和平衡的概念力的定义力是物体间相互间的机械作用力的效应使物体的机械运动状态发生改变，叫做力的运动效应或外效应。使物体的形状发生改变，叫做力的变形效应或内效应。力的三要力的大小、方向、作用点称为力的三要素。力的表示法力是一个矢量，用带箭头的直线段来表示，如右图所示（虚线为力的作用线）。力的单位力的国际单位是牛顿(N)或千牛顿（kN）。F→力系:作用于同一个物体上的一组力。力系的分类:各力的作用线都在同一平面内的力系称平面力系，否则称为空间力系。平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于同一点的力系。平面力偶系：若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。平面汇交力系平面力偶系平面力系的分类平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。平面一般力系平面平行力系等效：指两个力(系)对物体的作用效果完全相同。（内效应、外效应）平衡力系：作用在平衡物体上的一个力系。合力与分力：若一个力与一个力系等效。则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为该合力的一个分力。第二节静力学基本公理二力平衡公理作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。上述的二力平衡公理对于刚体是充分的也是必要的，而对于变形体只是必要的，而不是充分的。如图1.5所示的绳索的两端若受到一对大小相等、方向相反的拉力作用可以平衡，但若是压力就不能平衡。（刚化原理）受二个力作用而处于平衡状态的杆件或构件，称为二力杆件，简称为二力杆或二力构件。加减平衡力系公理在作用于刚体上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。力的可传性原理作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不会改变该力对刚体的作用效应。力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。三力平衡汇交定理一刚体受共面不平行的三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。作用与反作用定律两个相互作用物体之间的作用力与反作力大小相等，方向相反，沿同一直线且分别作用在这两个物体上。第三节约束与约束反力限制物体运动的物体称为约束物体，简称约束。约束必然对被约束物体有力的作用，以阻碍被约束物体的运动或运动趋势。这种力称为约束反力，简称反力约束反力位于约束与被约束物体的连接或接触处，其方向必与该约束所能阻碍物体的运动方向相反。运用这个准则，可确定约束反力的方向和作用点的位置。1．柔体约束用柔软的皮带、绳索、链条阻碍物体运动而构成的约束叫柔体约束。这种约束作用是将物体拉住，且柔体约束只能受拉力，不能受压力，柔性约束的约束反力（大小、方向、作用点）一定通过接触点（场力除外），沿着柔体中心线背离被约束物体的方向，且恒为拉力，如图1.14中的力。2．光滑接触面约束当两物体在接触处的摩擦力很小而略去不计时，其中一个物体就是另一个物体的光滑接触面约束。这种约束不论接触面的形状如何，都只能在接触面的公法线方向上将被约束物体顶住或支撑住，所以光滑接触面的约束反力（大小、方向、作用点）过接触点，沿着接触面的公法线指向被约束的物体，只能是压力，如图1.15中的力。3、光滑圆柱铰链约束（简称铰约束）光滑圆柱铰链约束的约束性质是限制物体平面移动（不限制转动），其约束反力（大小、方向、作用点）是互相垂直的两个力（本质上是一个力），指向任意假设。XRY4．链杆约束链杆就是两端铰接而中间不受力的刚性直杆，由此所形成的约束称为链杆约束。这种约束只能限制物体沿链杆轴线方向上的移动。链杆可以受拉或者是受压，但不能限制物体沿其他方向的运动和转动，所以，链杆约束的约束反力（大小、方向、作用点）沿着链杆的轴线，其指向假设。工程上将结构或构件连接在支承物上的装置，称为支座。在工程上常常通过支座将构件支承在基础或另一静止的构件上。支座对构件就是一种约束。支座对它所支承的构件的约束反力也叫支座反力。支座的构造是多种多样的，其具体情况也是比较复杂的，只有加以简化，归纳成几个类型，才便于分析计算。建筑结构的支座通常分为固定铰支座，可动铰支座，和固定(端)支座三类。1．固定铰支座图1.18(a)是固定铰支座的示意图。构件与支座用光滑的圆柱铰链联接，构件不能产生沿任何方向的移动，但可以绕销钉转动，可见固定铰支座的约束反力与圆柱铰链约束相同，即约束反力一定作用于接触点，通过销钉中心，方向未定。固定铰支座的简图如图1.18(b)所示。约束反力如图1.18(c)所示，可以用RA和一未知方向角α表示，也可以用一个水平力X和垂直力Y表示。XYRA2．可动铰支座图l.20(a)是可动铰支座的示意图。构件与支座用销钉连接，而支座可沿支承面移动，这种约束，只能约束构件沿垂直于支承面方向的移，而不能阻止构件绕销钉的转动和沿支承面方向的移动。所以，它的约束反力的作用点就是约束与被约束物体的接触点、约束反力通过销钉的中心，垂直于支承面，方向可能指向构件，也可能背离构件，视主动力情况而定。这种支座的简图如1.20(b)所示约束反力如图1.20(c)所示。3．固定端支座整浇钢筋混凝土的雨篷，它的一端完全嵌固在墙中，一端悬空如图1.22(a)，这样的支座叫固定端支座。在嵌固端，既不能沿任何方向移动，也不能转动，所以固定端支座除产生水平和竖直方向的约束反力外，还有一个约束反力偶(力偶将在第三章讨论)。这种支座简图如图1.22(b)所示，其支座反力表示如图1.22©（c）所示。第四节物体的受力分析与受力图研究力学问题，首先要了解物体的受力状态，即对物体进行受力分析，反映物体受力状态的图称为受力图。受力图的绘制步骤为：取分离体；画已知力；画约束反力。例1.2重量为的小球，按图1.23(a)所示放置，试画出小球的受力图。解：(1)根据题意取小球为研究对象。(2)画出主动力：主动力为小球所受重力。(3)画出约束反力：约束反力为绳子的约束反力以及光滑面的约束反力。小球的受力图如图1.23(b)所示。TANBGG例1.3画图（a）所示结构ACDB的受力图。解：(1)取结构ACDB为研究对象。(2)画出主动力：主动力为FP。(3)画出约束反力：约束为固定铰支座和可动铰支座，画出它们的约束反力，如图（b）所示。XAXBYA第五节结构的计算简及荷载分类任何建筑物在施工过程中以及建成后的使用过程中，都要受到各种各样的作用，这种作用造成建筑物整体或局部发生变形、位移甚至破坏。例如，建筑物各部分的自重、人和设备的重力、风力、地震，温度变化等等。其中建筑物的自重、人和设备的重力、风力等作用称为直接作用，在工程上称为荷载；而地震，温度变化等作用称为间接作用。工程中，有时不严格区分直接作用或间接作用，对引起建筑物变形、位移甚至破坏的作用一概称之为荷载。荷载的分类:在工程中，作用在结构上的荷载是多种多样的。为了便于力学分析，需要从不同的角度，将它们进行分类。1、荷载按其作用时间的长短分为永久荷载（恒载）、可变荷载（活载）和偶然荷载。2、荷载按作用在结构上的性质分为静力荷载和动力荷载。3、荷载按作用位置是否变化分为移动荷载和固定荷载。4、荷载按其作用在结构上的分布情况分为分布荷载和集中荷载。集中荷载:分布范围很小，可近似认为作用在一点的荷载；线分布荷载:沿直线或曲线分布的荷载（单位：kN/m）；面分布荷载:沿平面或曲面分布的荷载（单位：kN/m2）；体分布荷载:沿物体内各点分布的荷载（单位：kN/m3）。工程中，荷载的分布情况往往比较复杂，但在很多情况下，都可简化为沿直线和平面均匀分布的荷载进行分析计算。分布荷载的合力计算分布荷载的合力作用在分布区域的中心，指向不变，其大小等于分布集度的大小q乘以分布范围。第二章平面汇交力系力系的分类平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，否则为空间力系。平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。对所有的力系均讨论两个问题：1、力系的简化（即力系的合成）问题；2、力系的平衡问题。平面汇交力系的合成与平衡（几何法）设任意的力F1、F2、F3、F4的作用线汇交于A点，构成一个平面汇交力系。由力的平行四边形法则，可将其两两合成，最终形成一个合力R，由此可得结论如下：1、平面汇交力系的合成结果是一个合力R；2、平面汇交力系的几何平衡条件是合力：R=0AF2F1F4F3R平面汇交力系的合成与平衡（解析法）力F在坐标轴上的投影可根据下式计算：当投影Fx、Fy已知时，则可求出力F的大小和方向：合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。对于由n个力F1、F2、……、Fn组成的平面汇交力系，可得：从而，平面汇交力系的合力R的计算式为：当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力R必须为零，即：从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：上式的含义为：所有X方向上的力的总和必须等于零，所有y方向上的力的总和必须等于零。运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。例1:图示三角支架，求两杆所受的力。解：取B节点为研究对象，画受力图由∑Y=0，建立平衡方程：解得：负号表示假设的指向与真实指向相反。由∑X=0，建立平衡方程：解得：B例2:图(a)所示体系，物块重P=20kN，不计滑轮的自重和半径，试求杆AB和BC所受的力。解：1.取滑轮B的轴销作为研究对象，画出其受力图。T1=PT2=P2、列出平衡方程：由∑Y=0，建立平衡方程：解得：由∑X=0，建立平衡方程：解得：反力NBA为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。T1=PT2=P第三章力矩与平面力偶系在力的作用下，物体将发生移动和转动。力的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动效应的物理量。讨论力的转动效应时，主要关心力矩的大小与转动方向，而这些与力的大小、转动中心（矩心）的位置、转动中心到力作用线的垂直距离（力臂）有关。力F的转动效应——力矩M可由下式计算：M=

±

F·d式中：F是力的数值大小;d是力臂，M以逆时针转动取正号，常用单位是kN-m。力矩用带箭头的弧线段表示。集中力引起的力矩直接套用公式进行计算；对于均布线荷载引起的力矩，先计算其合力，再套用公式进行计算。例1求图中荷载对A、B两点之矩(a)(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·m力矩的特性1、力作用线过矩心，力矩为零；2、力沿作用线移动，力矩不变。合力矩定理一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和。例2：求图中力对A点之矩解：将力F沿X方向和Y方向等效分解为两个分力，由合力矩定理得：

MA=－Ｆ.ｄor：MA=Y.x－X.y=YA.xA－XA.yA

=－20×0.707×２－0=－28.28kNXAYA力偶和力偶矩力偶——大小相等的二个反向平行力称之为一个力偶。力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应。力偶的转动效应用力偶矩表示，它等于力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，加上适当的正负号，即：M=±

F×d式中：F:力的大小；d:力偶臂，是力偶中两个力的作用线之间的距离；力偶以

逆时针为正，顺时针为负。常用单位为kN·m。力偶的图例力偶的图例力偶特性一：力偶的转动效应与转动中心的位置无关，所以力偶在作用平面内可任意移动。力偶特性二：力偶的合力主矢为零，所以力偶的效应只能与转动效应平衡，即只能与力偶平衡，而不能与一个力平衡。力偶系的合成作用在一个物体上的一组力偶称为一个力偶系。力偶系的合成结果为一个合力偶M。即：M=M1+M2+ ……+Mn=∑M力偶系的平衡显然，当物体平衡时，合力偶必须为零，即：

∑M=0上式称为力偶系的解析平衡条件。第四章平面一般力系作用线既不汇交也不完全平行的平面力系称为平面一般力系，也叫平面任意力系。对于平面一般力系，讨论两个问题：1、力系的合成；2、力系的平衡。下面讨论平面一般力系的合成，先介绍力的等效平移定理。设圆盘A点处作用一个P力，讨论P力的等效平移问题。力的等效平移原理等效平移一个力，必须附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。PPBM=Pr力系向任意一点O的简化应用力的等效平移定理，将平面一般力系中的各个力（以三个力为例）全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。这种等效变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。F1F2F3==F2’F3’RMOOOA1A2A3F1’M1M2M3汇交力系F1’、F2’、F3’的合成结果为一作用在点O的力R。这个力矢R称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是一个作用在同一平面内的力偶M，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。、因此，平面任意力系向任意一点的简化结果为一个主矢R和一个主矩M，这个结果称为平面任意力系的一般简化结果。几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。主矢、主矩的计算：主矢按力多边形规则作图求得或用解析法计算。主矢方向角的正切：

主矩M可由下式计算：

平面任意力系的解析平衡条件平面任意力系的一般简化结果为一个主矢R和一个主矩M。当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零。由主矢R=0，即：得：

由主矩M=0，得：三者必须同时为零，从而得平面任意力系下的解析平衡条件为：¦这三个平衡条件是互相独立的，对于一个研究对象可以求解三个未知力，且最多求解三个未知力。应用平衡条件求解未知力的步骤为：1、确定研究对象，画受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。例1已知q=2kN/m，求图示结构A支座的反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：XA=0由∑Y=0：YA

－2q=0

YA=2q=2*2=4kN(↑)由∑MA=0：MA－２*2*1=0

MA=4kN.m()XAYA例2求图示结构的支座反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：XA=0由∑MA=0：

－4*2*1－20*2+4YB=0

YB=12kN(↑)由∑Y=0：YA－4*2-20+

YB=0YA

=28－12=16kN(↑)YBYAXA例3求图示结构的支座反力。解：取整个结构为研究对象画受力图。由∑X=0：2*4－XA=0

XA=8kN(←)由∑MA=0：

－2*4*2+4YB=0

YB=4kN(↑)由∑Y=0：YA+

YB=0YA

=－4kN(↓)XAYAYB物体系统的平衡问题以上讨论的都是单个物体的平衡问题。对于物体系统的平衡问题，其要点在于如何正确选择研究对象，一旦确定了研究对象，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。例4求图示结构的支座反力。解：一个研究对象最多有三个平衡条件，因此研究对象上最多只能有三个未知力。注意到BC杆有三个未知力，而AB杆未知力超过三个，所以应先取BC杆为计算对象，然后再取AB杆为计算对象。BC杆：由∑X=0：XB=0由∑MB=0：

－12*2+4YC=0

YC=6kN(↑)由∑Y=0：YB－12+YC=0YB

=6kN(↑)↓AB杆：由∑X=0：XA=0由∑MA=0：

－3*6*3－8YB’+6YD=0

YC=17kN(↑)由∑Y=0：YA－3*6－YB’+YD=0YA=7kN(↑)注意作用与反作用关系!XB’=XB

YB’=YB例5求图示三铰拱的支座反力。解：取整体为研究对象，画受力图：由∑MA=0：

－20*2－4*4*6+－8YB=0YB=17kN(↑)由∑Y=0：YA－4*4

+YB=0YA=－1kN(↓)由∑X=0：XA=0

XA+20－XB=0取右半部分为研究对象，画受力图：由∑MＣ=0：

－4*4*2－4XB+

4YB=0即：－4*4*2－4XB+

4*17=0XB=9kN(←)将XB

代入式：得：XA=XB－20=－11kN(←)第五章材料力学的基本概念第一节变形固体及其基本假设一、变形固体工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产 生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。在静力学中，由于研究的是物体在力作用下平衡的问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很小的，可以作为次要因素忽略。因此认为物体在外力作用下，大小形状都不发生变化，而把物体视为一个刚体来进行理论分析。在材料力学中，由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性的问题。对于这类问题，即使是微小的变形往往也是主要影响的因素之一，必须予以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中，必须将组成构件的各种固体视为变形固体。变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，不 能消失的变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时，塑性 变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。 二、变形固体的基本假设变形固体有多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列的几个基本 假设。1．均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并且各处的材料力学性能完全相同。 实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于与构件的尺寸相比这些空隙是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，所以，物体的力学性能(宏观上)并不 反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值。因而可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。有了这个假设，物体内的一些物理量，才可能是连续的，才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。2．各向同性假设假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。 实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在以构件为对象的研究问题中，就可以认为是各向同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认为是各向同性的材料。 根据这个假设当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其它方向。在工程实际中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的强度或其它的力学性质都是各不相同的。因此，对于由各向异性材 料制成的构件，在设计时必须考虑材料在各个不同方向的不同力学性质。

3．小变形假设在实际工程中，构件在荷载作用下，其变形与构件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不计， 所以在研究构件的平衡和运动时，可按变形前的原始尺寸和形状进行计算。在研究和计算变形 时，变形的高次幂项也可忽略不计。这样，使计算工作大为简化，而又不影响计算结果的精度。总的来说，在材料力学中是把实际材料看作是连续、均匀、各向同性的弹性变形固体，且限于小 变形范围。 第二节 杆件变形的基本形式 作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。一、轴向拉伸和轴向压缩 在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。这种变形称为轴向拉伸（图5－1（a））或轴向压缩（图5－1（b））。二、剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横 向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切（图5－1（c））。三、扭转 在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图5－1（d））。四、弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平 面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图5－1（e））。在工程实际中，杆件可能同时承受不同形的荷载而发生复杂的变形，但却可看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。第六章轴向拉伸与压缩

6.1轴向拉伸与压缩的概念在工程中以拉伸或压缩为主要变形的杆件， 称为：拉压杆若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。

6.2 轴向拉(压)杆的内力与轴力图一、拉压杆的内力截面法：显示内力的一种方法要领：截、代、平∑X=0N=F唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截 面沿杆轴线并通过形心。通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。N二、轴力图 用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。作轴力图时应注意以下几点：1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。NNN1N3N2例题6.1：一等直杆及受力情况如图（a）所示，试作杆的轴力图。如何调整外力，使杆上轴力分布得比较合理。解：（1）求AB段轴力1–1截面：N1=5kN(拉)2–2截面：N2=5+10=15kN(拉)

3–3截面：N3=30kN(拉)（2）按作轴力图的规则，作出轴力图，（3）轴力的合理分布： 如果杆件上的轴力减小，应力也减小，杆件更加安全可靠。比较：该题若将C截面的外力和D截面的外力对调，轴力图如（f）图所示，杆上最大轴力减小了，轴力分布就比较合理。6.3轴向拉(压)时横截面上的应力一、应力的概念内力在一点处的集度称为应力应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量。与截面垂直的应力分量称为正应力（或法向应力），用σ表示。与截面相切的应力分量称为剪应力（或切向应力），用τ表示。应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa”。

1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa

1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2二、横截面上的应力平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对的位移了一段距离。轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布。

正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，压应力为负。 例6.2:一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为A1=400mm2、A2=300mm2、A3=200mm2，试求各横截面上的应力。

解： １、计算各段轴力：利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力分别为：

N1=50kN,

N2=-30kN,

N3=10kN,

N4=-20kN。 ２、画轴力图：轴力图如图（ｂ）。３、计算各段的正应力AB段：BC段：

CD段：DE段：例6.3：石砌桥墩的墩身高h

=10m，其横截面尺寸如图所示。如果载荷F

=1000kN，材料的重度γ=23kN/m３，求墩身底部横截面上的压应力。墩身横截面面积：

墩身底面应力：

三、应力集中的概念应力集中的程度用最大局部应力σmax与该截面上的名义应力σ的比值表示：

比值K称为应力集中系数（因子）。

在设计时，从以下三方面考虑应力集中对构件强度的影响:

1.在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。

2.在设计塑性材料的静强度问题时，通常可以不考虑应力集中的影响。3.设计在交变应力作用下的构件时，制造构件的材料无论是塑性材料或脆性材料，都必 须考虑应力集中的影响。6.4轴向拉(压)时的变形一、轴向变形与胡克定律长为l的等直杆，在轴向力作用下，伸长了：轴向正应变为 试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极 限值，则正应力和正应变成线性正比关系

即：

上式称为胡克定律英国科学家胡克（RobetHooke，1635~1703）于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。胡克定律：上式只适用于在杆长为l长度内N、E、A均为常值的情况下，即在杆的长度l内变形是均匀的情况。EA称为杆的拉压刚度。二、横向变形、泊松比横向正应变为：当应力不超过一定限度时，横向ε’应变与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数。即：

其中：ν称为横向变形因数或泊松比，它是法国科学家泊松（1781~1840）于1829年从理论上推演得出的结果。 表4-1给出了常用材料的E、ν值。表6.1常用材料的E、ν值三、拉压杆的位移等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移。例6.4如图等截面直杆受力F1、F2 作用，其中： F1=30kN，F2

=10kN,AC段的横截面面积AAC=500mm2，CD段的横截面面积ACD=200mm2，材料的弹性模量E=200GPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆件内最大正应力；（3）杆件的总变形 解：(1)、计算支反力=－20kN∑X=0

F2－F1－RＡ=0R=F2－F1

=(10－30)=－20kN(2)、计算各段杆件横截面上的轴力AB段：

NAB=RA=－20kN(压)BD段：

NBD=F2=10kN(拉)(3)、画出轴力图，如图（c）所示。(4)、计算各段应力AB段:BC段:CD段:(5)、计算杆件内最大应力（6）计算杆件的总变形整个杆件伸长0.015mm。 作业题：图示钢制阶梯形直杆，各段横截面面积分别 为：A1=100mm2，A2=80mm2，A3=120mm2，钢材的弹性模量E

=200GPa试求：（1）各段的轴力，指出最大轴力发生 在哪一段，最大应力发生在哪一段；（2）计算杆的总变形；例6.5：图示托架，已知lAB=3m，lBC=5m，lAC=4m，F=40kN，与水平向夹角为60。，圆截面钢杆AB的直径d=20mm，杆BC是工字钢，其横截面面积为1430mm2，钢材的弹性模量E=200GPa，求托架在F力作用下，节点B的铅垂位移和水平位移？解：（1）取节点B为研究对象，求两杆轴力由∑Y=0，有－NBＣ×0.8－Fsin60

。＝0由∑X=0，有

－NAB－NBＣ×0.6＋Fcos60。＝0ACBFNBC=－40×cos30。×5/4=－43.3kNNAB=NBC×3/5+Fsin30。=

46kN（2）求AB、BC杆变形（3）求B点位移，利用几何关系水平位移：铅垂位移：总位移：6.5材料在拉伸与压缩时的力学性能材料的力学性能：是材料在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在受力过程中（拉伸和压缩）表现出的各种物理性质（又称力学性能）。一、标准试样试样原始标距与原始横截面面积有关系者为比例试样。国际上使用的比例系数k的值为5.65。若k为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用11.3的值）。采用圆形试样，换算后l0=5d和l0=10d两种试样，按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。二、低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢为典型的塑性材料。在应力–应变图中呈现如下四阶段1、弹性阶段（oa’段)oa 段为直线段，a点对应的应力称为比例极限，用σp表示。正应力和正应变成线性正比关系，即遵循胡克定律。σ=E.ε弹性模量E和α的关系：tanα=σ/ε=E2、屈服阶段

(bc段）过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上 出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用σc表示。材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成

45。 的纹线，称为滑移线3、强化阶段（cd段）材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化阶段。曲线最高点 d

处的应力，称为强度极限(σb)冷作硬化现象，在强化阶段某一点处，缓慢卸载，则试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1

。冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现 象。4、局部变形阶段（ de 段）试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象。试件最后在“颈缩”处被拉断。代表材料强度性能的主要指标：屈服极限和强度极限可以测得表示材料塑性变形能力的两个指标：伸长率和断面收缩率。（1）伸长率：低碳钢伸长率约为（26～30）%δ≥5%的材料称为塑性材料（钢、铝、化纤等）；δ<5%的材料称为脆性材料（灰铸铁、玻璃、陶瓷、混凝土等)。2）断面收缩率 :

低碳钢的断面收缩率约为50%～ 60%左右三、其它材料拉伸时的力学性能灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是一微弯的曲线，如图所示。没有明显的直线。无屈服现象，拉断 时变形很小，其伸长率δ<1，强度指标只有强度极限σb。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限 称为名义屈服极限，用σ0.2表示。（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用Rr

表示，例如Rr0.2，表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）四、材料压缩时的力学性能金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，圆 柱的高度约为直径的1.5~3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的要求。非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限（约为3~6倍），破坏断面与横截面大致成的倾角。铸铁压缩破坏属于剪切破坏。 建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变图，如图所示。 混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右6.6安全因数、许用应力、强度条件一、安全因数与许用应力塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生 明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料的极限应力。脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力。根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限应力(σu) 把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为许用应力([σ])[σ]=σu/n大于1的因数n称为安全因数。许用拉应力([

σt])、许用压应力([

σc])工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。6.6.2强度条件为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力。

σmax=[N/A]max≤[σ]公式称为拉压杆的强度条件利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：

3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的许用应力，计算杆件所能承受的许可轴力，再根据此轴力计算许用载荷，表达式为：在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。 例题6.6 已知：一个三角架，AB杆由两根 80×80×7等边角钢组成,横截面积为A1，长度为2m，AC杆由两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号钢,容许应力[σ]=120

MPa。求：许可载荷？P解：（1）对A节点受力分析：由：∑Y=0NABsin30-P=0∑X=0-NABcos30-NAC=0得：NAB=2PNAC=-1.732P（2）、计算许可轴力[P]查型钢表:A1=10.86×2=21.7cm2A2=12.74×2=25.48cm2由强度条件：(3)计算许可荷载：[P1]=0.5NABMAX=130kN[P2]=1/1.732NACMAX=176.5kN[P]=min{[P1]，[P2]}=130kN例题6.7：起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩 螺栓内径d

=55mm，F=170kN，材料许用应力[σ]=160MPa，试校核螺栓部分的强度。解：计算螺栓内径处的面积A吊钩螺栓部分安全。 例题6.8 图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力 >@

160MPa，BC是方木杆试选定钢杆直径d？解：（1）轴力分析。并假设钢杆的轴力，取结点C为研究对象。∑Y=0－NBC.sinα－F=0∑X=0－NBC.cosα－NAC=0并假设钢杆的轴力6.7连接件的强度计算连接构件用的螺栓、销钉、焊接、榫接等这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时还伴随着挤压作用。6.7.1剪切实用计算在外力作用下，铆钉的

mn

截面将发生相对错动，称为剪切面。在剪切面上与截面相切的内力，如图所示。称为剪力 Q。Q=F在剪切面上，假设切应力均匀分布，得到名义切应力，即：

τ=Q/F 剪切极限应力 τu，可通过材料的剪切破坏试验确定。 极限应力τu除以安全因数。 即得出材料的许用应力[τ]。剪切强度条件表示为：

τ=Q/A≤[τ]剪切计算主要有以下三种：1、剪切强度校核；2、截面设计；3、计算许用荷载。例题6.9：正方形截面的混凝土柱，其横板，边长为200mm，其基底为边长1m的正方形混凝土板，柱承受轴向压力F=100kN，设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力[τ]

=1.5MPa。

试设计混凝土板的最小厚度 δ为多少时，才不至于使柱穿过混凝土板？解：（1）混凝土板的受剪面面积AA=0.2m×4×δ=0.8δmm（2）剪力计算Q=F－[0.2

×0.2×(F/(1×1)]=100×103－[0.04

×100×103

]=96×103

N（3）、混凝土板厚度设计δ≥Q/(0.8×[τ])=96×103/(0.8×1.5)=80mm取混凝土板厚度δ=80mm例题6.10：钢板的厚度δ=5mm，其剪切极限应力 τu=400MPa，问要加多大的冲剪力F才能在钢板上冲出一个直径 d

=18mm的圆孔。解：（1）钢板受剪面面积AA=π.d.δ（2）剪断钢板的冲剪力

τ=Q/A=F/A>τuFmin=τu.A=τu

.π.d.δ=400×π×18×5=113×103N=113kN例题6.11：为使压力机在超过最大压力F=160kN作用时，重要机件不发生破坏，在压力机冲头内装有保险器（压塌块）。设极限切应力τu=360MPa，已知保险器（压塌块）中的尺寸d1=50mm，d2=51mm，D=82mm，试求保险器（压塌块）中的尺寸δ值。解：为了保障压力机安全运行，应使保险器达到最大冲压力时即破坏。

利用保险器被剪断，以保障主机安全运行的安全装置，在压力容器、电力输送及 生活中的高压锅等均可以见到。6.7.2挤压实用计算 连接件与被连接件在互相传递力时，接触表面是相互压紧的，接触表面上的总压紧力称为挤压力，相应的应力称为挤压应力(σbs)。假定挤压应力在计算挤压面上均匀分布，表示为：

上式计算得到的名义挤压应力与接触中点处的最大理论挤压应力值相近。按名义挤压应力公式得到材料的极限挤压应力。从而确定了许用挤压应力[σbs]。挤压强度条件为：对于塑性材料：例题6.12：图示木屋架结构端节点A的单榫齿连接详图。该节点受上弦杆AC的压力NAC，下 弦杆AB的拉力NAB及支座A的反力YA的作用。NAC使上弦杆与下弦杆的接触面ae发生挤压；NAC的水平分力使下弦杆的端部沿剪切面发生剪切，在下弦杆截面削弱处ec截面，产生拉伸。 已知：l=400mm ，h1=60mm，b=160mm，h=200mm，Nac=60kN，α=π/6。试求挤压应力σbs切应力τ和拉应力σ！解：（1）求ae截面的挤压应力计算挤压面面积：(2)、求ed截面的切应力：

(3)计算下弦杆截面削弱处ec截面的拉应力 第七章剪切与扭转

7.1扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆件引起的变形， 称扭转变形。发生这种变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩m、功率N和转速n之间的关系为：

式中 ：m-----作用在轴上的外力偶矩，单位为N.m

N-----轴传递的功率，单位为KWn------轴的转速，单位为r/min。

7.2圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图一、扭矩平衡条件∑MX=0T=MX内力偶矩T称为扭矩扭矩的单位：N.m或kN.m扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负扭矩图常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。例题7.1：图示传动轴，转速 n=300r/min，A轮为主动轮，输入功率NA=10kW，B、C、D为从动轮，输出功率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2kW，试求各段扭矩。解：1、计算外力偶矩2、分段计算扭矩，分别为:T2、T3为负值说明实际方向与假设的相反。3、作扭矩图|T|max175kN7.3等直圆轴扭转时横截面上的切应力一、实心圆轴横截面上的应力1、变形几何关系⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；⑵横截面上的半径仍保持为直线；⑶各横截面的间距保持不变。2、物理关系3、静力学关系称截面的极惯性矩

得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式当时，表示圆截面边缘处的切应力最大式中：称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。二、极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面的极惯性矩：抗扭截面系数为：空心圆极惯性矩轴：式中为空心圆轴内外径之比。空心圆的抗扭截面系数极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为mm4抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，常用单位为mm37.4等直圆轴扭转时的强度计算一、圆轴扭转强度条件工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即：上式称为圆轴扭转强度条件。试验表明，材料扭转许用切应力塑性材料：脆性材料：例题7.2：汽车的主传动轴由45号钢的无缝钢管制成，外径D=90mm，壁厚δ=2.5mm，工作时的最大扭矩T=1.5N.m，若材料的许用切应力[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。解：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比抗扭截面系数为：2、计算轴的最大切应力：3、强度校核：主传动轴安全 例题7.3：如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为51MPa ，即：2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。7.5等直圆轴扭转时的变形及刚度条件一、圆轴扭转时的变形轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：当扭矩为常数，且GIP也为常量时，相距长度为l的两横截面相对扭转角为式中：GIP称为圆轴扭转刚度，表示轴抵抗扭转变形的能力。相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率用θ表示，称为单位长度扭转角。 即：二、圆轴扭转刚度条件对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：

θ≤[θ]在工程中[θ]的单位习惯用（度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得：对于等截面圆轴，即为：许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定。对一般传动轴：对于精密机器的轴：例题7.4

图示轴的直径=50mm，切变模量G=80GPa，试计算该轴两端面之间的扭转角。

解：两端面之间扭转为角：

例题7.5：主传动钢轴，传递功率P=60kW，转速n=250r/m，传动轴的许用切应力[τ]=40MPa，许用单位长度扭转角[θ]=0.5(/m)，切变模量G=80GPa，求传动轴所需的直径？解：1、计算轴的扭矩2、根据强度条件求所需直径3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径故应按刚度条件确定传动轴直径，取d=76mm第八章平面图形的几何性质在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数WP和极惯性矩IP。等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。第一节

重心和形心一、重心的概念地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。

二、一般物体重心的坐标公式

1、一般物体重心的坐标公式如图8—1所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、……、Gn，其作用点的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)

、……、(xn，yn，zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G＝ΣGi，其作用点的坐标为C(xc，yc，zc)。对y轴应用合力矩定理，有：同理，对y轴取矩可得：将物体连同坐标转90o而使坐标面oxz成为水平面，再对x轴应用合力矩定理，可得：因此，一般物体的重心坐标的公式为：第二节静矩一、定义任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分：

分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为

。如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；

和

则分别为dA对z轴和y轴之矩。图8-6图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。设z、y为形心坐标，则根据合力之矩定理第三节惯性炬、惯性积、惯性半径一、惯性炬、惯性积、惯性半径的定义1、惯性矩平面图形对某坐标轴的二次矩，如图8-9所示。2、惯性积3、惯性半径量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义为图形对轴和对轴的惯性半径。二、平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴时，如图8-11所示，可得到如下平行移轴公式简单证明之：其中为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得:同理可证（8-10）中的其它两式。第四节

形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念从式(8-10)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0，令式(A-19)中的第三式为零，即由此解得或如果将式(8-11)对α求导数并令其为零，即同样可以得到式(8-10)或(8-11)的结论。这表明:当α改变时,Ix、Iy的数值也发生变化，而当α=α0时，二者分别为极大值和极小值。定义

过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。根据式(8-11)和(8-12)，即可得到主惯性矩的计算式:需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数值相等，但反号。所以，整个图形对于x、y轴的惯性积Ixy=0，故下图对称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心，故x、y为形心主轴。第九章梁的弯曲9.1工程中梁弯曲的概念一、梁平面弯曲的概念以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。二、单跨静定梁的类型梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式：

(1)简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。

(2)悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

(3)外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座之外。9.2梁的内力—剪力和弯矩一、梁的剪力和弯矩梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。现分析距A端为x处横截面m-m上的内力。如果取左段为研究对象，则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。存在两个内力分量：内力Q与截面相切，称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。

二、剪力和弯矩的正负号规定即微段有左端向上而右端向下的相对错动时，横截面上的剪力Q为正号，反之为负号。当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。三、计算指定截面上的剪力和弯矩例题9.1

外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求约束反力2.求截面1-1的内力3.求截面2-2的内力4.求截面3-3的内力5.求截面4-4的内力比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。梁的内力计算的两个规律：（1）梁横截面上的剪力Q，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即：若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正”，相反为负。例题9.2一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求出约束力反力2.求指定截面上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：截面B左、B右：取右侧梁计算，得：在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。9.3梁的内力图—剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数。梁的剪力方程Q=Q(x)梁的弯矩方程M=M(x)二、剪力图和弯矩图以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示Q(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称Q图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。例题9.3图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程2.作剪力图和弯矩图由剪力图和弯矩图可知：例题9.4简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：2.列剪力方程和弯矩方