《建筑力学》课件 -袁西贵-第13-17章 静定结构的内力分析-力矩分配法

第十三章

静定结构的内力分析第一节多跨静定梁的内力计算一、定义：若干根梁用铰和支座连接而成的梁是多跨静定梁。二、梁的类型一型梁：二型梁：混合型梁：三、受力层次分析一型梁：几何不变部分为基本结构；几何可变部分为从属结构。层次分析图二型梁：层次分析图混合型梁：层次分析图四、荷载传递原则：从属结构上的荷载要传递到基本结构上即从属结构上的荷载对基本结构有影响；基本结构上的荷载不传递到从属结构上即基本结构上的荷载对从属结构无影响。五、计算原则：先计算从属结构；后计算基本结构。六、应用举例：解：1、对多跨静定进行受力层次分析2、根据计算原则：因先计算EF梁；再计算CDE梁；最后计算ABC梁。3、计算EF梁①求支座反力②作剪力图③作弯矩图剪力图(kN)弯矩图(kN.m)4、计算CDE梁①求支座反力②作剪力图

剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)4、计算CDE梁①求支座反力②作剪力图剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)5、计算ABC梁①求支座反力②作剪力图剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)6.组合以上各梁的内力图：剪力图（kN)

弯矩图(kN.m)例2：解：1、对多跨静定梁进行受力层次分析2、根据计算原则：因先计算DE梁；再计算BCD梁；最后计算AB及EFG梁。3、计算DE梁①求支座反力②作剪力图剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)4、计算BCD梁①求支座反力②作剪力图剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)5、计算AB梁①作剪力图剪力图(kN)②作弯矩图弯矩图(kN.m)6、计算EFG梁①求支座反力②作剪力图

剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)7.组合以上各梁的内力图：剪力图（kN)

弯矩图(kN.m)例3解：1、对多跨静定梁进行受力层次分析2、根据计算原则：应先计算BC梁；再计算AB梁；最后计算CDE梁。3、计算BC梁①求支座反力②作剪力图剪力图(kN)③作弯矩图弯矩图(kN.m)4.由局部平衡可知，梁AB及梁CDE无内力。5.作多跨梁的内力图剪力图（kN）弯矩图(kN.m)第二节静定平面刚架一、刚架的定义:刚架是由若干直杆用全部或部分刚性结点联结而成的结构.二、静定刚架的分类1.悬臂刚架2.简支刚架3.三铰刚架简支刚架悬臂刚架三铰刚架结构实例1平面静定刚架的内力计算→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCD→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCD→F=10kN→QCBMCB4mBCΣY=0–F–QCB=0ΣMo=04F+MCB=0QCB=–F=–10kNMCB=–4F=–40kN.m(上拉)→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCDm=20kN.m→QCDMCD4mCDΣY=0QCD=0ΣМC=0–MCD–m=0Mcd=–m=20kN.m→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCDm=20kN.m→QCA→NCAMcaΣХ=0–QCA=0ΣY=0–10–NCA=0ΣМC=0MCA+10×4–20=0即：QCA=0NCA=–10kNMCA=–20kN.m10N图(kN)10Q图(kN)402020M图(kN.m)→P=20kNq=5kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→YbabcdefΣХ=0Xa–Xb=0ΣMb=0–Ya×16+20×12+5×8×4=0ΣMa=0Yb×16–20×4–5×8×12=0得：Ya=25kN(↑)Yb=35kN(↑)Xa=XbΣMc=0Xa×4+20×4–25×8=0Xa=30kN(→)→P=20kN→Xa→Yaacde→Xc→YcΣ

Mo=0Mad=0ΣХ=0Qad+30=0ΣУ=0Nad+25=0得：Mad=0Qad=__30kNNad=__25kN（压）Mad→Xa=30kN→Ya=25kN→Qad→NadaΣMo=0Mda+30×4=0ΣХ=0Qda+30=0ΣY=0Nad+25=0得：Mda=–120kN.m(左拉）Qda=–30kNNad=–25kN

（压）Mda→Qda→Nda4m→Xa=30kN→Ya=25kNadΣMo=0Mde+30×4=0ΣY=0_Qde+25=0ΣХ=0Nde+30=0得：Mde=–120kN.m(上拉)Qde=25kN

Nde=–30kN（压）4m→Xa=30kN→Ya=25kNMde→Qde→NdeadΣMo=0Med+30×4–25×4=0ΣY=0–Qed+25=0ΣX=0Ned+30=0得：Med=–20kN.m（上拉）Qed=25kN

Ned=–30kN（压）4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMed→Qed→NedadeΣMo=0Mec+30×4–25×4=0ΣY=0–Qec+25–20=0ΣX=0Nec+30=0得：Mec=–20kN.m（上拉）Qec=5kN

Nec=–30kN（压）4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMec→Qec→Nec→P=20kNadeΣMo=0Mce+30×4–25×8+20×4=0ΣY=0–Qce+25–20=0ΣX=0Nec+30=0得：Mce=0Qce=5kN

Nce=–30kN（压）→P=20kN4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMce→Qce→Nce4madceΣMo=0–Mbf=0ΣХ=0Qbf–30=0ΣУ=0Nbf+35=0得：Mbf=0Qbf=30kN

Nbf=–35kN（压）Mbf→Qbf→Nbf→Xb→YbbΣMo=0–Mfb–30×4=0ΣX=0Qfb–30=0ΣY=0Nfb+35=0得：Mfb=–120kN.mQfb=30kN

Nab=–35kN

4m→Xb=30kN→Yb=35kN→NbfMbf→QbfbfΣMo=0–Mfc–30×4=0ΣХ=0Qfc+35=0ΣY=0–Nfc–30=0Mfc=–120kN.mQfc=–35kNNfc=–30kNMfc→Qfc→Nfc4mbf→Xb=30kN→Yb=35kNM图(kN.m)1201202020120120bacdefQ图(kN)303020535bacdefN图(kN)bacdef253035用简捷法作刚架的内力图用简捷法作刚架内力图的步骤:一.确定内力图的基本图形二.确定控制截面三.计算控制截面的内力值四.描点作内力图1、无均布荷载作用区段：Q图水平线M图斜直线2、有均布荷载作用区段：Q图斜直线M图抛物线3、有集中力作用处：Q图有突变M图有尖点4、有集中力偶作用处：Q图无影响M图有突变20kN/m10kN12kN.m4m4m6mabcd作刚架的内力图解：1分析各段杆的内力图形。ab段:M图为直线Q图为直线N图为直线cd段:M图为二次抛物线Q图为斜直线N图为直线bd段:M图为直线Q图为直线N图为直线应用举例2.作M图Mcb=0Mbc=20×4×2=160kN.m(上拉)Mdb=12KN.m(上拉)Mbd=12+10×4=52kN.m(上拉)Mba=160–52=108kN.m(右拉)Mab=160–52=108kN.m(右拉)1605212108M图(kN.m)20kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd3.作Q图Qcb=0Qbc=–20×4=–80kNQdb=10kNQbd=10kNQba=0Qab=020kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd8010Q图(kN)bcd20kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd4.作

N图Ncb=Nbc=0Ndb=Nbd=0Nba=Nab=90kNN图（kN)90q=20kN/m10kN4m2m2mabcde→Ya→Yb→Xa作刚架的内力图解：1.求支座反力Xa=–10kNYa=35kNYb=45kN2.分析各段杆的内力图形。ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb3.作M图Mae=0Mea=Mec=10×2=20kN.mMce=10×4–10×2=20kN.mMcd=10×4–10×2=20kN.mMdb=0Mbd=020202050M图(kN.m)

ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb4510Q图(kN)

35Qae=10kNQea=10kNQec=Qce=0Qcd=35kNQdc=–45kNQbd=

Qdb=

04.作Q图ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb5.作N图Nae=Nea=–35kNNec=Nce=–35kNNcd=Ndc=0Nbd=Ndb=–45kNN图(kN)

3545→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.m解：1.求支座反力ΣХ=0Xa–Xb=0ΣMb=0–Ya×16+60+40×12+10×8×4=0ΣMa=0Yb×16+60–40×4–10×8×12=0得：Ya=53.75kN(↑)Yb=66.25kN(↑)Xa=XbΣMc=0Xa×4+40×4+60–53.75×8=0Xa=52.5kN(→)2.分析各段杆的内力图形。210M图(kN.m)210520210210bacdef120M图(kN.m)120520210210bacdef3.作M图Mad=0Mda=–52.5×4=–210kN.mMde=–52.5×4=–210kN.mMed=–52.5×4+53.75×4=5kN.mMed=–52.5×4+53.75×4–60=–55kNmMce=Mcf=0Mbf=0Mfc=-52.5×4=–210kNmMfb=-52.5×4=-210kN.m4.作Q图Qad=Qad=–52.5kNQde=Qed=53.75kNQec=Qce=13.75kNQfc=–66.25kNQad=Qad=52.5kN→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.mQ图(kN)bacdef52.552.553.7513.7566.255.作FN图Nad=Nda=–53.75kNNde=Ned=–52.5kNNec=Nce=–52.5kNNcf=Nfc=-52.5kNNbf=Nfb=–66.25kN→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.mN图(kN)bacdef66.2553.7552.566.25第三节静定平面桁架一、理想桁架的三个假设：1、组成桁架各杆均为等截面直杆，且两端光滑铰结。2、杆自重忽略不计。3、所有荷载(包括支座反力)都作用在结点上。对于平面桁架应为：1)所有杆轴线都在同一平面内；2)所有荷载都作用在杆轴线所在的平面内。二、桁架的名称上弦杆跨度桁高端杆腹杆竖杆斜杆节间上弦杆三、桁架的分类1、按桁架的外形分：a、三角形桁架b、梯形桁架d、抛物线桁架c、矩形桁架2、按几何组成规则分：a、简单桁架b、联合桁架c、复杂桁架3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分：a、梁式桁架b、拱式桁架四、桁架的内力计算1、结点法：以结点作为研究对象来计算结构内力的方法。结点法的计算特点：一个结点在平面内有二个自由度，可以建立二个方程，可求二个未知量。应用举例：己知：a=3m，P=10kN。试用结点法求各杆的内力.解：1.求支反力由对称性可知Ya=3.5P=35kNYb=3.5P=35kN2.用结点法求各杆的内力截取结点的顺序依次为：ACDEFG6a3aABCDEFGH→P→P→P→P→P→P→P结点A：ΣХ=0NADcosα–NAC=0ΣY=0NADSinα+3.5P–P=0NAD=–3.536P=–35.36kNNAC=2.5P=25kN→P

→3.5P→NAD→NACAC6a3aABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P结点C：ΣХ=0NCE–2.5P=0ΣY=0NAD=0NCE=2.5P=25kNNCD=06aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a→

2.5P→NCD→NCEC结点D：ΣX=0NDF+3.536P–Pcosα

=0ΣY=0–NDE–Psinα=0NDF=–2.829P=–8.29kNNDE=–0.707P=–7.07kN→P→NDEyx→NDF→

3.536PD6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a结点E：ΣY=0NEH=2P=20kNΣX=0NEH–2.5P+0.707Pcosα=0NEF–0.707Psinα=0NEF=0.5P=5kNE→2.5P→0.707P→NEF→

NEH6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a结点F：ΣX=0NFHsinα+NFGcosα+2.829Pcosα

=0ΣY=0(NFG+2.829P)sinα–1.5P–NFHcosα=0NFH=–1.118P=–11.18kNNFG=–1.5F=–15kN→

0.5P→NFG→NFH→

2.829PF→P6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a结点G：ΣY=0NGH+2×1.5Pcosα–P=0

=0NGH=1.121P=11.21kN→P→NGH→1.5PG→1.5PCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P–35.36–28.29252525252020–28.29–35.36–15–15–7.07–7.075511.21–11.18–11.18N图(kN)→P→P→PDEFGHIJBAC4aa例2：己知：a=4m，P=10kN。用结点法求各杆的内力？解：1.求支反力由对称性可知YA=1.5P=15kNYB=1.5P=15kN2.用结点法求各杆的内力截取结点的顺序依次为：AFGCD→P→P→PDEFGHIJBAC结点A：ΣX=0NAC=0ΣY=0NAF+1.5P=0NAC=0NAF=–1.5P=–15kNA→NAF→NAC→1.5P→P→P→PDEFGHIJBAC结点F：ΣX=0NFG+NFCcosα=0ΣY=0–NFCSinα+0.5P=0NFC=0.707P=7.07kNNFG=–0.5P=–5kNF→P→NFG→NFC→NFA结点G：ΣX=0NGH+0.5P=0ΣY=0NGC=0NGH=–0.5P=–5kN→

0.5P→NGC→NGHG→P→P→PDEFGHIJBAC结点C：ΣX=0NCD+NCHcosα–0.707Pcosα=0ΣY=0NCHSinα+0.707PSinα=0NCH=–0.707P=–7.07kNNCD=P=10kNC→

0.707P→NCH→NCD→P→P→PDEFGHIJBACN图(kN)7.07–15–5–5–157.07–5–51010–7.07–7.07J→P→P→PDEFGHIBAC特殊结点的应用：1、二杆结点无荷载。N1=N2=02、三杆结点无荷载。N1=N2N3=03、二杆结点作用一个荷载。N1=FN2=012312→F21特殊结点的应用：4、四杆结点无荷载。

N1=N2N1=F1N3=N4N2=F25、四杆结点无荷载。N3=－N4

N3=－N1N1≠N2

N1≠N2123412→F2→F11234123→F1用截面法求桁架的内力1.定义：截面法是截取桁架一部分作为研究对象计算桁架内力的方法。2.要求：截面法将桁架截成二部分，每一部分至少有一根完整的杆件。3.要点：一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研究对象时。在平面内可以建立三个方程，可求三个未知量，故可同时截断三根未知内力的杆。→P→P→PDEFGHIJBACa4a123ⅠⅠ应用举例1己知：F=10kN，a=4m。解：1.求支座反力，由对称性知：YA=YB=1.5F2.用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架切开取左边作为研究对象画出受力图。3.列方程：ΣMc=0–N1.a–0.5F.a=0ΣY=00.5F+FN2sinα=0ΣMH=0N3.a–0.5F.2a=04.解方程：N1=–0.5F=–5kNN2=–0.707F=–7.07kNN3=F=10kNaaFGAC→P→1.5P→N1→N2→N3G4m4m1m3mBADEC→P→PF例2：己知P=10kN，求各杆内力？解：1.求支反力，由对称性知：YA=YB=P2.求各杆的内力A.先取特殊结点C为研究对象可知：NCE=NCD=0C.取结点A或取结点FΣХ=0－NAGcosα－NAC=0ΣY=0NAGsinα+P=0cosα=0.707sinα=0.707NAG=NBF=－1.414P=－14.14kNNAC=NBC=NFG=P=10kN→P→NAG→NACA→P→P→P→P→PBAC→Xa→Ya→Xb→Yb4×8=32m4×2=8m例3：己知F=10KN，判别结构中的零杆，求1.2.3杆内力？解：1.求支反力：由对称性知：YA=YB=2.5PHA=HB=－0.5P2.判别结构中的零杆(如图示)→Xa→Ya→P→PA→N1→N2→N3..CD2.求1.2.3杆的内力ΣMD=0－N1×4－(YA－P)×4+P×12－HA×4=0ΣMC=0

N2sinα×8－(YA－P)×8+P×16－HA×8=0ΣME=0N3cosα×8+P×8－HA×8=0N1=P=10kNN2=0N3=－0.707P=－7.07kN例4：己知P=10kN，求1.2.3.4杆内力？解：1.求支反力，由对称性知：YA=YB=3.5P→YA→YB4×6=24m3×2=6m→P→P→P→P→P→P→P1324ⅠⅠAB→YA→P→P→P→N1→N5→N6→N42.用Ⅰ-Ⅰ截面求1.4杆的内力ΣMc=0－N1×6－(YA－p)×8+P×4=0ΣMD=0N4×6－(YA－P)×8+P×4=0N1=－2.67P=－26.7kNN4=2.67P=26.7kN1324ⅡⅡ4×6=24m→YA→YB3×2=6m→P→P→P→P→P→P→P3.用Ⅱ-Ⅱ截面求2.3杆的内力→YA→P→P→P→N1→N2→N3→N4A.有特殊结点可知：N3=－N2ΣY=0YA-3P-N3sinα+N2sinα=0N2=－0.354P=－3.54kNN3=0.354P=3.54kN例5：己知F=30KN，判别结构中的零杆,求1.2.3杆内力？解：1.用Ⅰ-Ⅰ截面求1.2.3杆的内力ΣХ=0N2=0ΣMD=0N1×3a+F×a=0ΣMC=0–N3×3a–F×2a=0N1=–F/3=–10kNN2=0N3=–2F/3=－20kN2.判别结构中的零杆(如图示)CD→N1→N2→N3→F321ⅠⅠaaa1.5a1.5a→F例6：图示结构为二个正三角形，大三角形边长为3a，小三角形边长为a，且对称放置如图示。己知、F=30kN试判别结构中的零杆,并求各杆内力？解：1.求支反力，由对称性知：YA=YB=0.5FABC→FABC→FⅠⅠ2.判别结构中的零杆N1=N2=N3=0→N1→N2→N3ABC→F→0.5F→0.5FA→0.5F→NAC→NAB结点AΣX=0

NAB+NACcosα=0ΣY=0NACsinα+0.5F=0NAC=NBC=－0.577F=－17.32kNNAB=0.289F=8.67kN静定结构的基本特性静定结构有静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架等类型。虽然这些结构形式各有不同，但它们有如下的共同特性：1.在几何组成方面，静定结构是没有多余联系的几何不变体系。在静力平衡方面静定结构的全部反力可以有静力平衡方程求得，其解答是唯一的确定值。2.由于静定结构的反力和内力是只用静力平衡条件就可以确定的，而不需要考虑结构的变形条件，所以，静定结构的反力和内力只与荷载、结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所用的材料、截面的形状和尺寸无关。3.由于静定结构没有多余联系，因此在温度改变、支座产生位移和制造误差等因素的影响下，不会产生内力和反力，但能使结构产生位移。4.当平衡力系作用在静定结构的某一内部几何不变部分上时，其余部分的内力和反力不受其影响。5.当静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的内力和反力均保持不变。所谓等效变换是指将一种荷载变为另一种等效荷载。

第四节三铰拱一、

概述拱结构通常有三种常见的形式：图7.23（a）、b）所示的无铰拱和两铰拱是超静定结构。图7.23（c）所示的三铰拱为静定结构。拱结构的特点：杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产生水平力。拱结构最高的一点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常是安置在拱顶处。拱的两端与支座联结处称为拱趾，或称拱脚。两个拱趾间的水平距离l称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为拱高，或称拱矢。如图7.25（a）所示。拱高与跨度之比f/l称为高跨比或矢跨比。二、三铰拱的计算1.支座反力的计算公式：推力H等于相应简支梁截面C的弯矩MC除以拱高f。当荷载和拱的跨度不变时，推力H将与拱高f反比，即f愈大则H愈小，反之，f愈小则H愈大。2.内力的计算公式：（1）弯矩的计算公式（2）剪力的计算公式（3）轴力的计算公式所求内力与相应简支梁的反力及内力比较得到三铰拱的内力计算公式为：例11有为一三铰拱其拱轴为一抛物线，当坐标原点选在左支座时，拱轴方程为：试绘制其内力图。解：1.先求支座反力2.几何尺寸计算3.截面的内力计算三、拱的合理轴线合理轴线是选取一根适当的拱轴线，使得在给定荷载作用下，拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零的拱轴线。有各截面弯矩都为零的条件：例12：试求图示对称三铰拱在均匀荷载q作用下的合理轴线。解：作出相应简支梁如图所示，其弯矩方程为：第十四章静定结构的位移计算

14．1概述一、结构位移的定义结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。二、位移的分类位线位移：截面形心的直线移动距离移角位移：截面的转角绝对位移相对位移位移广义位移三、刚架的位移举例A点的线位移⊿A水平线位移⊿AH竖向线位移⊿AV截面A的角位移C、D两点的水平相对线位移为：

(⊿CD)H=⊿C+⊿DA、B两个截面的相对转角四、引起位移的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、制造误差等。五、计算位移的目的

有以下三个方面：1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。14.2虚功原理和单位荷载法一、变形体的虚功原理功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度。实功：力在自身引起的位移上所作的功。例：当静力加载时，下图中力P1在位移⊿11上作实功，其值为:W1=0.5P1⊿11这是因为：P1由0增加至P1时，竖向位移⊿也由0增加至⊿11。虚功：力在其他因素引起的位移上作的功，其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变。梁弯曲后，再在点2处加静力荷载P2，梁产生新的弯曲。位移⊿

12为力P2引起的P1的作用点沿P1方向的位移。力P1在位移⊿12上作了功，为虚功，大小为：

W12=P1⊿12在小变形条件下，⊿12由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，P1单独作用的状态为虚功计算的力状态。当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。二、单位荷载法1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。2、计算结构位移的一般公式式中：E----弹性模量；G----剪切模量；A----横截面积；I-----惯性矩；K----截面形状系数。

矩形截面：k=6/5;

圆形截面：k=10/9。令F=1，则：经进一步推导，可得：14.3静定结构在荷载作用下的位移计算一、静定结构在荷载作用下的位移公式如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移Ci＝0，则位移公式为:对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为：弯矩的影响轴力的影响剪力的影响曲率的影响图a所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载P作用下的竖向线位移由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：⊿BP=⊿M+⊿N+⊿Q+⊿r设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数κ=1.2，计算结果为:表明：⊿BP中弯矩、轴力、剪力、曲率影响对应比值为：⊿M：⊿N：⊿Q：⊿r=1200：1：3：2二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度。（2）桁架各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式：（3）组合结构既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项。（4）拱一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计。三、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力。4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶。5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d，每一力的大小为1/d力和力偶统称为广义力，单位广义力用表示；线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示单位广义力有截然相反的两种方向，计算出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同。负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反。四、静定桁架的位移计算计算步骤为（1）设虚拟状态；（2）计算（3）用桁架的位移计算公式计算位移。例14-1

图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移⊿vc

。解:（1）设虚拟状态（如上图b所示）（2）计算(如图所示)（3）代公式求C点的竖向位移例14-2

图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位cm2

）。许可挠度[w]与跨长l的比值为1:800，试校核桁架的刚度。解：对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。（1）建立虚拟状态（如图b所示）（2）计算(如图所示)（3）求3点的竖向位移，进行刚度校核计算半个桁架的列表如下:N

/(1/mm)

/mm1420000003-7

竖杆002-6竖杆312500+0.62525000025000100003-6斜杆500000-0.625-10000000.812500100001-6斜杆270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦NP/NA/mm2编号杆件根据上表，得所以，桁架满足刚度条件五、梁的位移及刚度校核1、梁的位移挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用w表示，规定w向下为正。转角：横截面的角位移θ，规定顺时针转为正在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表14.1所示），可供计算时查用。表14.1梁的挠度与转角公式2.悬臂梁：弯曲力偶作用在自由端1.悬臂梁：集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型续表3.悬臂梁：均匀分布荷载作用在梁上4.简支梁：集中荷载作用跨中位置上续表5简支梁：均匀分布荷载作用在梁上6简支梁：弯曲力偶作用在梁的一端2．梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作。对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度[w]与梁跨长l之比为标准。在工程上，吊车梁的[w/l]＝1/600铁路钢桁梁的[w/l]

＝1/900梁的刚度条件为：wmax：l=[w/l]

例14-3：图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处承受集中载荷F。已知F=40kN，跨度=3m，许用应力[σ]=160MPa，许用挠度[w]=l/500，弹性模量E=2×105MPa，试选择工字钢的型号。解:（1）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：按弯曲正应力强度条件选截面:查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4。（2）校核梁的刚度梁的刚度足够所以，选用20a工字钢3、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度L、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：

（1）增大梁的抗弯刚度EI增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I。（2）减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L值：①增加中间支座②两端支座内移

如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。(3)改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。14.4图乘法一、图乘法原理1、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度EI为常数。（3）MP图和图中至少有一个直线图形。直梁和刚架的位移公式则为：

２．图乘法原理图乘法求位移的一般表达式为注意：[1].yc应取自直线图中[2].若A与yc在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。[3].如图形较复杂，可分解为简单图形。3.图乘法的步骤:(1).设虚拟状态；(2).画MP图、图(3).图乘求位移。下面介绍几个规则图形的面积和形心位置4.图形的分解当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。梯-梯同侧组合：同侧组合：异侧组合由区段叠加法作的弯矩图，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加。曲-折组合阶梯形截面杆二、图乘法计算直梁和刚架的位移

下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移例14.4试求图a所示外伸梁C点的竖向位移⊿CV梁的EI=常数。解：MP、图分别如图(b).(c)所示。BC段：MP图是标准二次抛物线；AB段：MP图可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。由图乘法得：代入以上数据,于是例14.5：

试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移⊿cv。设EI=1.5×105kN.m2解:

荷载弯矩图和单位弯矩图如图b、c所示。在AB段，MP和图均是三角形；在BC段，MP图可看作是由B、C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图[即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。将上述各部分分别图乘再叠加，即得：例14.6试求图(a)所示刚架结点B的水平位移⊿BH。设各杆为矩形截面，截面尺寸为bxh，惯性矩l=bh/12,E为常数，只考虑弯矩变形的影响。解:

先作出MP图和图,分别如图(b)(c)所示。应用图乘法求得结点B的水平位移为：14.5静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图a所示静定结构,其支座发生水平位移C1、竖向位移C2和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移⊿K。这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式：因为从实际状态中取出的微段ds的变形为d=d=d=0，上式可简化为：这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中：

为虚拟状态图b的支座反力。Ci为实际状态的支座位移，.Ci为反力虚功。其中虚设反力与实际支座位移C的方向一致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。例14.7图(a)所示静定刚架，若支架A发生图示的位移：a=1.0cm,b=1.5cm。试求C点的水平位移⊿CH、竖向位移⊿CV。解：在C点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座反力如图(b)(c)所示。⊿CH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm(←)⊿CV=-1.5×1=-1.5cm(↓)14.6互等定理一、功的互等定理图示结构的两种状态，分别作用P1和P2，称之为第一状态和第二状态。虚功W12为：虚功W21为：可见，W12=W21，即:推广到多个力的两个状态，得功的互等定理一般形式为:表明：第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。

二、位移互等定理条件：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，且为单位荷载。单位荷载所引起的位移称为位移系数，用δij表示（图a.b）。根据功的互等定理：1.δ12

=1.δ12即，δ12

=δ12这就是位移互等定理：即：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。δ12

与δ12可能含义不同，但二者数值相等。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用rij表示。根据功的互等定理，有：r21×1=r12×1r21=r12

这就是反力互等定理，它表明支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座1的反力。应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应，可能r12与r21一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等。小结本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算的目的是为了验算结构刚度，又是分析超静定结构的基础。因此，掌握好本章内容，有着重要意义。1．虚功与虚功原理是结构位移计算方法的理论依据。在虚功中，力与位移是两个彼此独立无关的因素。对于杆系结构变形体系的虚功原理，简单地说即为外力虚功等于变形虚功，可写为：W外=W内，虚功原理在具体应用时有两种方式：一种是对给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功原理求力状态中的未知力；另一种是给定位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程求解位移状态中的未知位移。本章讨论的结构位移的计算，就是虚设一个力状态的方式。2．单位荷载法计算位移的一般公式是3．荷载作用下的位移计算对弹性材料，变形表达式为：则位移计算公式成为这里：FNP、

MP、

FQP为实际荷载作用的内力。然而，根据不同类型结构的内力特点，其位移计算公式可以作进一步简化4.计算荷载作用下梁和刚架的位移时，可用图乘法代替积分计算。注意图乘法的适用条件，掌握好图乘的分段和叠加技巧。5.支座移动影响的结构位移的计算与荷载作用下的位移计算有所不同，但原理是相同的。难度在于正、负号的判断，学习中要加以注意。6.位移计算中遇到的符号及正负号确定较多。一方面是计算过程中确定正负号；另一方面是计算结果的正负来确定位移的方向，在学习中一定要弄懂弄透。7.线性变形体系的三个互等定理在静定结构和超静定结构分析中可得到具体应用，要从原理和概念上搞清楚。第十五章力法15．1超静定结构的概念静定结构：支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。是没有多余联系的几何不变体系。超静定结构：支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。是有多余联系的几何不变体系。静定刚架超静定刚架有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性15．2力法的基本原理一、力法的基本结构去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为：按力法计算的基本结构。二、力法的基本未知量现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。三、力法的基本方程

用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件。若以δ11表示X1为单位力（即1=1）时，基本结构在X1作用点沿X1方向产生的位移，则有⊿11=δ11X1,于是上式可写成：式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变形协调方程，即为力法基本方程。为了具体计算位移δ11和⊿1p，分别绘出基本结构的单位弯矩图1（由单位力X1=1产生）和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图(a)、(b)所示。用图乘法计算这些位移因此可解出多余力X1多余力X1求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的M1和Mp图按叠加原理绘出，即应用上式绘制弯矩图时，可将M1

图的纵标乘以X1倍，再与Mp图的相应纵标叠加，即可绘出M图如图(c)所示。综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。15．3超静定次数的确定与基本结构超静定次数：多余联系的数目或多余未知力的数目确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系，直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原结构的超静定次数。

从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：（1）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，如图(a)(b)所示；（2）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如图(c)(d)所示。（3）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系，如图(e)所示；（4）将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支座，相当于去掉一个联系，如图(f)所示。对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后。为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中的某些联系是不能去掉的。

如图(a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰接，即相当于去掉一个联系得到图(b)所示静定结构；当去掉B支座的水平链杆则得到图(c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。但是，若去掉A支座的竖向链杆或B支座的竖向链杆，即成瞬变体系[图(d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。图(a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结构内部去掉多余联系得基本结构，如图(b)所示。对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如图(a)所示结构的超静定次数等于3x8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个单铰减少一个超静定次数。图(b)所示结构的超静定次数等于：3x8-5=19。15．4力法典型方程用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程，以求解多余力。对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。图(a)所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余联系，并以相应的多余力X1、X2

和X3代替所去联系的作用，则得到图(b)所示的基本结构上，也必须与原结构变形相符，在C点处沿多余力X1、X2

和X3

方向的相应位移⊿1、⊿2和⊿3

都应等于零。根据叠加原理，可将基本结构满足的位移条件表示为：这就是求解多余力X1、X2和X3所要建立的力法方程，其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余联系得到静定的基本结构，在去掉的n个多余联系处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余联系处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移条件：据此可以建立n个关于求解多余力的方程：⊿i=0(i=1,2,…,n)

在上列方程中，从左上方至右下方的主对角线（自左上方的δ1

1至右下方的δnn）上的系数δii称为主系数。δij称为副系数，它可利用单位弯矩图图乘求得。根据位移互等定理可知副系数δij=δji。该方程称为力法的典型方程。按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，即可解得多余力Xi。然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力。或按下述叠加公式求出弯矩再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。15．5力法的计算步骤和举例

力法计算超静定结构的步骤

1.去掉原结构的多余联系得到一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。2.建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程。3.求系数和自由项4.解典型方程，求出多余未知力。5.绘出原结构最后内力图。例15.1

试分析图(a)所示刚架，EI=常数。解：1、确定超静定次数，选取基本结构。此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C即为静定结构，并用X1代替支座链杆C的作用，得基本结构如图(b)所示。2、建立力法典型方程原结构在支座C处的竖向位移⊿1=0。根据位移条件可得力法的典型方程如下：3.求系数和自由项首先作X1=1单独作用于基本结构的弯矩图图如图(a)所示，再作荷载单独作用于基本结构时的弯矩图Mp图如图(b)所示.然后利用图乘法求系数和自由项。4.求解多余力

将δ11、⊿1p代人典型方程有：解方程得：X1=5kN（↑）（正值说明实际方向与基本结构上假设的X1方向相同，即垂直向上）。5.绘制最后弯矩图各杆端弯矩可按以下叠加公式计算，最后弯矩图如图(c)所示。至于剪力图和轴力图，在多余力求出后，可直接按作静定结构剪力图和轴力图的方法作出，如图(a)(b)所示。例15.2

试分析图(a)所示刚架，EI=常数解：确定超静定次数，选取基本结构此刚架是两次超静定的。去掉刚架B处的两根支座链杆，代以多余力X1和X2

，得到图(b)所示的基本结构。2.建立力法典型方程3.绘出各单位弯矩和荷载弯矩图，如图(a)、(b)、(c)所示。利用图乘法求得各系数和自由项

4.求解多余力将以上系数和自由项代人典型方程化简后得：解联立方程，得：5、作最后弯矩图及剪力图、轴力图，如图(d)(e)(f)所示。15-6对称性的利用用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，我们可利用结构的对称性，适当地选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零，从而使计算工作得到简化。当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等均对称于某一几何轴线时，则称此结构为对称结构。如图a所示刚架为对称结构，可选取图b所示的基本结构，即在对称轴处切开，以多余未知力X1、x2、x3来代替所去掉的三个多余联系。相应的单位力弯矩图如图c,d,e所示。其中x1和x2为对称未知力；x3为反对称的未知力，显然图是对称图形；是反对称图形。由图形相乘可知：故力法典型方程简化为:由此可知，力法典型方程将分成两组：一组只包含对称的未知力，即X1、X2；另一组只包含反对称的未知力X3。因此，解方程组的工作得到简化。非对称的外荷载可分解为对称的和反对称的两种情况的叠加（如图f.a.b）＝＋（1）外荷载对称时，使基本结构产生的弯矩图，MP’是对称的，则得:从而得x3=0。这时只要计算对称多余未知力x1和x2。（2）外荷载反对称时,使基本结构产生的弯矩图MP”是反对称的，则得:

从而得：X1=X2=0这时，只要计算反对称的多余未知力X3.

从上述分析可得到如下结论：1.在计算对称结构时，如果选取的多余未知力中一部分是对称的，另一部分是反对称的。则力法方程将分为两组：一组只包含对称未知力；另一组只包含反对称未知力。2.结构对称，若外荷载不对称时，可将外荷载分解为对称荷载和反对称荷载，而分别计算然后叠加。这时，在对称荷载作用下，反对称未知力为零，即只产生对称内力及变形；在反对称荷载作用下，对称未知力为零，即只产生反对称内力及变形。例15-3

利用对称性，计算图a)所示刚架，并绘最后弯矩图。解：（1）此结构为三次超静定刚架，且结构及荷载均为对称。在对称轴处切开,取图(b)所示的基本结构。由对称性的结论可知X3=0，只须考虑对称未知力X1及X2。（2）由切开处的位移条件，建立典型方程：（3）作单位弯矩图和荷载弯矩图（如图c、d、e），利用图形相乘法求系数和自由项。将各系数和自由项代人典型方程，解方程得：X1=120kNX2=-15kN（4）由叠加公式求各杆杆端弯矩值，绘最后弯矩图M，如图f所示。小结1、力法的基本原理力法是计算超静定结构的基本方法之一。超静定结构的主要特点是有多余联系，力法解题的基本原理是：首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力。以去掉多余联系后得到的静定结构作为基本结构，以多余未知力作为力法的基本未知量，利用基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的变形条件建立力法方程（称为力法的基本方程），从而求解多余未知力。求得多余未知力后，超静定问题就转化为静定问题，可用平衡条件求解所有未知力。2、确定基本未知量和选择基本结构一般用去掉多余联系使原超静定结构变为静定结构的方法。去掉的多余联系处的多余未知力即为基本未知量。去掉多余联系后的静定结构即为基本结构。所以基本未知量和基本结构是同时选定的。同一超静定结构可以选择多种基本结构，应尽量选择计算简单的基本结构，但必须保证基本结构是几何不变且无多余联系的静定结构。3、建立力法方程基本结构在荷载（或温度变化、支座移动等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构在相应处的位移相等，据此列出力法方程。要充分理解力法方程所代表的变形条件的意义，以及方程中各项系数和自由项的含义。因此，力法计算的关键是：确定基本未知量；选择基本结构；建立基本方程。4、力法方程的系数和自由项的计算系数和自由项的计算就是求静定结构的位移。因此，要使系数、自由项的计算准确，必须保证静定结构的内力（或内力图）的正确和位移计算的准确。力法方程中的主系数(δii)恒大于零；副系数和自由项可能小于零、等于零，也可能大于零，且副系数δij=δji。5、超静定结构的内力计算与内力图的绘制通过解力法方程求得多余未知力后，可用静力平衡方程或内力叠加公式计算超静定结构的内力和绘制内力图。对梁和刚架来说，一般先计算杆端弯矩、绘制弯矩图，然后计算杆端剪力、绘制剪力图，最后计算杆端轴力、绘制轴力图。6、对称性的利用如果结构对称，可选择对称的基本结构，利用荷载对称或反对称作用时的内力和变形特性，可使计算得以简化。第十六章位移法16.1位移法的基本概念位移法是以节点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。一、位移法基本变形假设：各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；

刚性节点所连各杆端的截面转角是相同的。二、位移法的基本未知量力法的基本未知量是未知力，位移法的基本未知量是节点位移。

(节点是指计算节点)。节点位移分为节点角位移和节点线位移两种。每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。角位移数为6角位移数为1对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为独立节点线位移。独立节点线位移为位移法一种基本未知量。独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法)。“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。独立节点线位移数为1独立节点线位移数为2三、位移