《高等数学练习》课件

高等数学练习课件欢迎来到高等数学练习课件！本课件旨在帮助大家巩固高等数学的基础知识，熟悉各种题型，提高解题能力。通过本课件的学习，相信大家能够更加轻松地应对高等数学的考试和应用。课程简介与目标1课程简介本课程系统回顾高等数学的核心概念和方法，通过精选例题和练习，加深理解，培养解决实际问题的能力。内容涵盖函数、极限、导数、积分等核心模块。2学习目标掌握高等数学的基本概念、理论和方法；能够运用所学知识解决相关问题；培养逻辑思维和分析能力；为后续课程的学习打下坚实基础。3适用人群本课程适用于高等数学的初学者、需要复习巩固基础知识的学生、以及对高等数学感兴趣的自学者。无论您是大学生还是工程师，都能从中受益。预备知识回顾：函数什么是函数？函数是一种描述变量之间关系的数学工具。简单来说，一个函数就是一种“规则”，它接受一个输入值（自变量），并根据这个规则产生一个输出值（因变量）。函数的重要性函数是高等数学的基础，也是理解和应用高等数学的关键。无论是极限、导数还是积分，都离不开函数的概念。掌握函数，才能更好地理解高等数学。函数的回顾回顾函数的定义、表示方法、性质和图像，为后续学习打下坚实基础。包括定义域、值域、奇偶性、单调性等重要概念。函数的定义与表示函数的定义函数是一种关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素唯一地映射到另一个集合（值域）中的一个元素。即，对于定义域中的每一个x，都有唯一确定的y与之对应。函数的表示方法函数有多种表示方法，包括解析式、图像法、表格法等。解析式是用数学公式表示函数关系的方法，如y=f(x)。图像法是用图像直观地表示函数关系的方法。定义域与值域定义域是函数自变量x的取值范围，值域是函数因变量y的取值范围。确定函数的定义域和值域是研究函数的重要步骤。例如，y=1/x的定义域是x≠0。函数的性质：奇偶性，单调性，周期性奇偶性奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。例如，y=x是奇函数，y=x^2是偶函数。单调性单调递增函数：在定义域内，x增大，y也增大。单调递减函数：在定义域内，x增大，y减小。单调性可以用导数来判断。导数大于0则单调递增。周期性周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为周期。周期函数在一定间隔内重复出现相同的函数值。例如，y=sin(x)是周期函数，周期为2π。函数图像及其变换平移变换函数图像的平移变换包括左右平移和上下平移。左右平移改变自变量x，上下平移改变因变量y。例如，y=f(x-a)表示将y=f(x)向右平移a个单位。伸缩变换函数图像的伸缩变换包括水平伸缩和垂直伸缩。水平伸缩改变自变量x的比例，垂直伸缩改变因变量y的比例。例如，y=af(x)表示将y=f(x)垂直伸缩a倍。对称变换函数图像的对称变换包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。关于x轴对称的图像是将y变为-y，关于y轴对称的图像是将x变为-x。极限的概念极限的定义极限描述了当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。极限是微积分的基础，也是理解导数和积分的关键。1极限的重要性极限是解决微积分问题的核心工具。通过极限，我们可以定义导数、积分、连续性等重要概念，从而解决各种实际问题。2极限的理解理解极限需要掌握其精确定义、几何意义和运算规则。通过例题和练习，可以加深对极限的理解，提高解题能力。3数列极限1数列极限的定义当数列的项数趋向于无穷大时，如果数列的值趋向于一个确定的常数，则称该常数为数列的极限。2数列极限的性质唯一性、有界性、保号性等。3数列极限的计算利用数列极限的定义和性质，计算数列的极限。函数极限1函数极限的定义当自变量趋向于某个值时，如果函数的值趋向于一个确定的常数，则称该常数为函数的极限。2函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性等。3函数极限的计算利用函数极限的定义和性质，计算函数的极限。无穷小与无穷大无穷小的定义当自变量趋向于某个值时，如果函数的值趋向于零，则称该函数为无穷小。无穷小不是一个很小的数，而是一个变化趋势。无穷大的定义当自变量趋向于某个值时，如果函数的值趋向于无穷大，则称该函数为无穷大。无穷大也不是一个很大的数，而是一个变化趋势。无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大互为倒数关系。如果f(x)是无穷小，则1/f(x)是无穷大；如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。极限的运算法则法则1lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)法则2lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)法则3lim[f(x)*g(x)]=limf(x)*limg(x)法则4lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)(limg(x)≠0)法则5lim[c*f(x)]=c*limf(x)(c为常数)两个重要极限1重要极限一lim(sinx/x)=1(x->0)。这个极限在三角函数的极限计算中非常常用，是求解许多三角函数极限的基础。2重要极限二lim(1+1/x)^x=e(x->∞)。这个极限定义了自然常数e，在指数函数和对数函数的极限计算中非常常用。3应用通过这两个重要极限，可以求解许多复杂的极限问题。掌握这两个极限，可以提高解题效率和准确性。例如，求解lim(sin2x/x)(x->0)可以转化为2*lim(sin2x/2x)(x->0)=2。极限存在准则：夹逼定理与单调有界定理夹逼定理如果存在函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A。夹逼定理常用于求解难以直接计算的极限。单调有界定理单调有界数列必有极限。即，如果一个数列是单调递增或单调递减的，并且有上界或下界，则该数列必有极限。这个定理常用于证明数列极限的存在性。应用夹逼定理和单调有界定理是判断极限存在性的重要工具。掌握这两个定理，可以解决许多复杂的极限问题。例如，证明数列x_n=(1+1/n)^n的极限存在性，可以使用单调有界定理。函数的连续性连续性的定义函数f(x)在点x_0处连续，如果满足三个条件：(1)f(x_0)有定义；(2)limf(x)存在(x->x_0)；(3)limf(x)=f(x_0)(x->x_0)。间断点如果函数f(x)在点x_0处不满足连续性的三个条件，则称x_0为函数的间断点。间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和振荡间断点。连续函数如果函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称f(x)为连续函数。连续函数的图像是一条连续的曲线，没有间断点。连续函数的性质：介值定理介值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于任意的c在f(a)和f(b)之间，存在至少一个x_0在(a,b)内，使得f(x_0)=c。推论如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个x_0，使得f(x_0)=0。这个推论常用于证明方程根的存在性。应用介值定理是证明方程根的存在性的重要工具。通过介值定理，可以判断方程在某个区间内是否存在实根。例如，证明方程x^3-3x+1=0在(0,1)内存在实根。导数的概念导数的定义导数是描述函数在某一点处变化快慢的数学工具。导数是微积分的核心概念，也是理解和应用微积分的关键。1导数的重要性导数可以用于求解函数的极值、判断函数的单调性、描述物理量的变化率等。掌握导数，可以解决各种实际问题。2导数的理解理解导数需要掌握其精确定义、几何意义和计算规则。通过例题和练习，可以加深对导数的理解，提高解题能力。3导数的定义1导数的定义设函数y=f(x)在点x_0处有定义，如果极限lim(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在(Δx->0)，则称f(x)在点x_0处可导，并称该极限为f(x)在点x_0处的导数，记为f'(x_0)。2导数的记法f'(x_0)、dy/dx|x=x_0、y'|x=x_0等。3导数的理解导数是函数在某一点处切线的斜率，表示函数在该点处的变化率。导数的几何意义1导数的几何意义导数f'(x_0)表示函数y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的斜率。切线是函数图像在某一点处的最接近的直线。2切线方程函数y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)。3应用导数的几何意义可以用于求解曲线的切线方程、判断曲线的切线方向等。例如，求解曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程，首先求出导数f'(x)=2x，则f'(1)=2，切线方程为y-1=2*(x-1)。基本求导公式常数函数如果f(x)=c(c为常数)，则f'(x)=0。幂函数如果f(x)=x^n(n为实数)，则f'(x)=n*x^(n-1)。指数函数如果f(x)=a^x(a>0且a≠1)，则f'(x)=a^x*lna。特别地，如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。对数函数如果f(x)=log_ax(a>0且a≠1)，则f'(x)=1/(x*lna)。特别地，如果f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。三角函数如果f(x)=sinx，则f'(x)=cosx；如果f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx；如果f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。反三角函数如果f(x)=arcsinx，则f'(x)=1/√(1-x^2)；如果f(x)=arccosx，则f'(x)=-1/√(1-x^2)；如果f(x)=arctanx，则f'(x)=1/(1+x^2)。导数的四则运算法则1[u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x)法则2[u(x)-v(x)]'=u'(x)-v'(x)法则3[u(x)*v(x)]'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)法则4[u(x)/v(x)]'=[u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/[v(x)]^2(v(x)≠0)复合函数求导法则1复合函数设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))为复合函数。其中，u为中间变量，x为自变量。2复合函数求导法则如果y=f(u)，u=g(x)均可导，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。即，复合函数的导数等于各层函数导数的乘积。3应用复合函数求导法则是求解复杂函数导数的重要工具。例如，求解y=sin(x^2)的导数，首先令u=x^2，则y=sinu，dy/du=cosu，du/dx=2x，dy/dx=cosu*2x=2x*cos(x^2)。反函数求导法则反函数如果函数y=f(x)存在反函数x=g(y)，则称g(y)为f(x)的反函数。反函数的图像关于直线y=x对称。反函数求导法则如果函数y=f(x)可导，且f'(x)≠0，则其反函数x=g(y)也可导，且g'(y)=1/f'(x)。即，反函数的导数等于原函数导数的倒数。应用反函数求导法则是求解反三角函数导数的重要工具。例如，求解y=arcsinx的导数，首先令x=siny，则dx/dy=cosy，dy/dx=1/cosy=1/√(1-sin^2y)=1/√(1-x^2)。隐函数求导法则隐函数由一个方程F(x,y)=0确定的函数称为隐函数。隐函数通常不能直接写成y=f(x)的形式。隐函数求导法则对F(x,y)=0两边同时对x求导，将y看作x的函数，利用复合函数求导法则，解出dy/dx。即，dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)。应用隐函数求导法则是求解隐函数导数的重要工具。例如，求解x^2+y^2=1的dy/dx，对两边同时对x求导，2x+2y*dy/dx=0，dy/dx=-x/y。参数方程求导法则参数方程如果x和y都是参数t的函数，即x=φ(t)，y=ψ(t)，则称该方程为参数方程。参数方程求导法则如果x=φ(t)，y=ψ(t)均可导，且φ'(t)≠0，则dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ'(t)/φ'(t)。应用参数方程求导法则是求解参数方程导数的重要工具。例如，求解x=t^2，y=sint的dy/dx，dx/dt=2t，dy/dt=cost，dy/dx=(cost)/(2t)。高阶导数高阶导数的定义如果函数f(x)的导数f'(x)仍然可导，则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。类似地，可以定义三阶导数、四阶导数等。1高阶导数的记法f''(x)、y''、d^2y/dx^2等。2高阶导数的应用高阶导数可以用于研究函数的凹凸性、拐点等。例如，二阶导数大于0表示函数是凹的，二阶导数小于0表示函数是凸的。3微分的概念1微分的定义设函数y=f(x)在点x_0处可导，则Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)可以表示为Δy=f'(x_0)*Δx+o(Δx)，其中o(Δx)是Δx的高阶无穷小。称f'(x_0)*Δx为函数y=f(x)在点x_0处的微分，记为dy=f'(x_0)*Δx。2微分的记法dy、df(x)等。3微分的理解微分是函数增量的线性主要部分，表示函数在某一点处变化的近似值。微分的定义与几何意义1微分的定义微分dy=f'(x)*dx，其中dx是自变量x的微分，dy是因变量y的微分。2微分的几何意义微分dy表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的增量。当Δx很小时，dy可以近似表示Δy。3应用微分可以用于近似计算函数的增量、误差估计等。例如，近似计算√4.01，令f(x)=√x，x_0=4，Δx=0.01，f'(x)=1/(2√x)，f'(4)=1/4，dy=(1/4)*0.01=0.0025，√4.01≈√4+dy=2+0.0025=2.0025。微分的运算法则加法法则d(u+v)=du+dv减法法则d(u-v)=du-dv乘法法则d(u*v)=u*dv+v*du除法法则d(u/v)=(v*du-u*dv)/v^2(v≠0)常数法则d(c*u)=c*du(c为常数)导数与微分的关系1导数的定义导数f'(x)=lim(Δy/Δx)(Δx->0)。2微分的定义微分dy=f'(x)*dx。3导数与微分的关系dy=f'(x)*dx，f'(x)=dy/dx。导数是微分的商，微分是导数的乘积。导数表示函数的变化率，微分表示函数的增量。微分在近似计算中的应用近似计算公式f(x_0+Δx)≈f(x_0)+f'(x_0)*Δx。当Δx很小时，可以用微分来近似计算函数的值。误差估计Δy≈dy=f'(x_0)*Δx。可以用微分来估计函数值的误差。应用例如，近似计算sin30.5°，令f(x)=sinx，x_0=30°=π/6，Δx=0.5°=π/360，f'(x)=cosx，f'(π/6)=√3/2，dy=(√3/2)*(π/360)≈0.0075，sin30.5°≈sin30°+dy=0.5+0.0075=0.5075。中值定理：罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个ξ，使得f'(ξ)=0。几何意义如果函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x轴。应用罗尔定理是证明其他中值定理的基础，也可以用于判断方程根的存在性。例如，证明方程f'(x)=0在(a,b)内至少存在一个根，可以使用罗尔定理。中值定理：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。几何意义如果函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于连接(a,f(a))和(b,f(b))的直线。应用拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理，可以用于估计函数值的范围、判断函数的单调性等。例如，估计sinx的范围，可以使用拉格朗日中值定理。中值定理：柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)和g(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一个ξ，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)。1几何意义柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。当g(x)=x时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。2应用柯西中值定理可以用于证明洛必达法则、求解参数方程的导数等。例如，证明洛必达法则，可以使用柯西中值定理。3洛必达法则1洛必达法则如果limf(x)=0，limg(x)=0，或limf(x)=∞，limg(x)=∞(x->a)，且lim(f'(x)/g'(x))存在(x->a)，则lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x))(x->a)。2洛必达法则的条件0/0型或∞/∞型不定式，且导数之比的极限存在。3应用洛必达法则是求解不定式极限的重要工具。例如，求解lim(sinx/x)(x->0)，可以使用洛必达法则。函数的单调性与极值1单调性的定义如果函数f(x)在区间I内满足f'(x)>0，则f(x)在I内单调递增；如果f(x)在区间I内满足f'(x)<0，则f(x)在I内单调递减。2极值的定义如果函数f(x)在点x_0处满足f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内，f'(x)的符号发生变化，则称x_0为f(x)的极值点，f(x_0)为f(x)的极值。3应用单调性和极值可以用于研究函数的性质、求解优化问题等。例如，求解函数的最大值和最小值，可以使用单调性和极值。函数单调性的判别判别方法求解函数f(x)的导数f'(x)，判断f'(x)的符号。如果f'(x)>0，则f(x)单调递增；如果f'(x)<0，则f(x)单调递减。步骤(1)求解f'(x)；(2)求解f'(x)=0的根；(3)判断f'(x)在根之间的符号。应用例如，判断函数f(x)=x^3-3x的单调性，首先求解f'(x)=3x^2-3，f'(x)=0的根为x=±1。当x<-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。函数的极值与最值1极值的定义如果函数f(x)在点x_0处满足f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内，f'(x)的符号发生变化，则称x_0为f(x)的极值点，f(x_0)为f(x)的极值。2最值的定义函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值称为f(x)在[a,b]上的最值。最值可能在极值点或端点处取得。3求解方法(1)求解f'(x)=0的根；(2)判断f'(x)在根之间的符号；(3)求解端点值；(4)比较极值和端点值，确定最值。函数的凹凸性与拐点凹凸性的定义如果函数f(x)在区间I内满足f''(x)>0，则f(x)在I内是凹的；如果f(x)在区间I内满足f''(x)<0，则f(x)在I内是凸的。拐点的定义如果函数f(x)在点x_0处满足f''(x_0)=0，且在x_0的邻域内，f''(x)的符号发生变化，则称x_0为f(x)的拐点。几何意义凹的函数图像是向下弯曲的，凸的函数图像是向上弯曲的，拐点是函数图像凹凸性发生变化的转折点。函数凹凸性的判别判别方法求解函数f(x)的二阶导数f''(x)，判断f''(x)的符号。如果f''(x)>0，则f(x)是凹的；如果f''(x)<0，则f(x)是凸的。拐点的判别求解f''(x)=0的根，判断f''(x)在根之间的符号是否发生变化。如果发生变化，则该根为拐点。应用例如，判断函数f(x)=x^4-6x^2的凹凸性，首先求解f''(x)=12x^2-12，f''(x)=0的根为x=±1。当x<-1或x>1时，f''(x)>0，f(x)是凹的；当-1<x<1时，f''(x)<0，f(x)是凸的。拐点为x=±1。函数图像的描绘描绘步骤(1)确定函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性和周期性；(3)求解函数的一阶导数和二阶导数；(4)确定函数的单调性、极值、凹凸性和拐点；(5)求解函数与坐标轴的交点；(6)绘制函数图像。注意事项注意函数图像的对称性、渐近线等。利用导数可以更精确地描绘函数图像。应用描绘函数图像可以更直观地了解函数的性质，解决实际问题。例如，描绘函数f(x)=x^3-3x的图像，可以了解函数的单调性、极值、凹凸性和拐点。不定积分的概念不定积分的定义设F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x)+C为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。1原函数的定义如果F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。2不定积分的性质∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx，∫cf(x)dx=c∫f(x)dx(c为常数)。3不定积分的定义与性质1不定积分的定义设f(x)是一个定义在某区间上的函数，如果存在一个可导函数F(x)，使得在该区间上，F'(x)=f(x)成立，那么就称F(x)为f(x)的一个原函数。函数f(x)的所有原函数构成的集合称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx。2不定积分的性质∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx；∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k为常数)；(∫f(x)dx)'=f(x)；∫F'(x)dx=F(x)+C(C为任意常数)。3不定积分的几何意义不定积分表示一族曲线，这些曲线在同一点的切线斜率相同，只是在y轴上的截距不同。基本积分公式1幂函数∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C(n≠-1)2指数函数∫a^xdx=(a^x)/ln(a)+C；∫e^xdx=e^x+C3三角函数∫sin(x)dx=-cos(x)+C；∫cos(x)dx=sin(x)+C；∫sec^2(x)dx=tan(x)+C；∫csc^2(x)dx=-cot(x)+C4反三角函数∫1/√(1-x^2)dx=arcsin(x)+C；∫1/(1+x^2)dx=arctan(x)+C5其他∫1/xdx=ln|x|+C换元积分法第一类换元积分法∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f(u)du，其中u=g(x)。通过引入中间变量u，将复杂的积分转化为简单的积分。第二类换元积分法∫f(x)dx=∫f[g(t)]g'(t)dt，其中x=g(t)。通过引入中间变量t，将复杂的积分转化为简单的积分。应用例如，求解∫sin^2(x)cos(x)dx，令u=sin(x)，则du=cos(x)dx，∫sin^2(x)cos(x)dx=∫u^2du=(u^3)/3+C=(sin^3(x))/3+C。分部积分法1分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。通过选择合适的u和dv，将复杂的积分转化为简单的积分。2选择u和dv的原则选择u使得du比u简单，选择dv使得v容易求得。3应用例如，求解∫xsin(x)dx，令u=x，dv=sin(x)dx，则du=dx，v=-cos(x)，∫xsin(x)dx=-xcos(x)-∫(-cos(x))dx=-xcos(x)+sin(x)+C。定积分的概念定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，将[a,b]分成n个小区间[x_(i-1),x_i]，在每个小区间上任取一点ξ_i，作和∑f(ξ_i)Δx_i，当n趋向于无穷大时，如果该和的极限存在，则称该极限为f(x)在[a,b]上的定积分，记为∫abf(x)dx。几何意义定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上与x轴围成的面积。当f(x)<0时，面积取负值。定积分的性质∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx；∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx(k为常数)；∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx；∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx(a<c<b)。定积分的定义与几何意义定义将区间分割成小段，计算黎曼和，取极限。几何意义表示曲线下方的面积。注意面积有正负，取决于函数值正负。定积分的性质性质1∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx(积分的线性性质)性质2∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx(k为常数)性质3∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx(交换积分上下限，积分值反号)性质4∫abf(x)dx=∫ac