高考数学第二轮专题第1讲-函数的图像与性质的简单应用

第1讲函数的图像与性质的简单应用真知真题扫描

考点考法探究教师备用习题

模块一

真知真题扫描ABCD图M1-1-1A

真知真题扫描2.[2020·浙江卷]已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(

)A.a<0 B.a>0C.b<0 D.b>0C[解析]方法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则方程f(x)=0存在三个根x1=a,x2=b,x3=2a+b.当三个根都小于0时,如图①所示,当x≥0时,f(x)≥0恒成立,符合题意.当存在实数根大于0时,要使得当x≥0时,不等式恒成立,则三个根一定是两个相等的正根和一个负根,如图②所示.当a=b>0时,2a+b>0,不符合题意,舍去;当a=2a+b>0时,a=-b>0,b<0,符合题意;当b=2a+b时,a=0,不符合题意,舍去.综上所述,当满足条件时,b<0.故选C.真知真题扫描2.[2020·浙江卷]已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(

)A.a<0 B.a>0C.b<0 D.b>0C方法二:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,则ab(2a+b)≤0.若b>0,则当a>0时,ab(2a+b)>0,与ab(2a+b)≤0相矛盾;当a<0时,由ab(2a+b)≤0,得2a+b≥0,故a+b>0,f(a+b)=(a+b-a)(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,与当x≥0时,f(x)≥0恒成立相矛盾.故b<0.故选C.真知真题扫描3.[2020·全国卷Ⅱ]若2x-2y<3-x-3-y,则 (

)A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0A[解析]方法一:设f(x)=2x-3-x,则f(x)在R上单调递增.由题知2x-3-x<2y-3-y,即f(x)<f(y),得x<y,则y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.方法二:取x=0,y=1,可排除选项B,C,D.故选A.真知真题扫描4.[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (

)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]D[解析]方法一:由题意可得y=f(x)的图像可如图①所示,∵y=f(x-1)的图像可由y=f(x)的图像向右平移一个单位得到(如图②),∴满足xf(x-1)≥0即满足f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3].真知真题扫描4.[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (

)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]D方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x-1)而言,当x∈(-∞,-1)∪(1,3)时,f(x-1)>0;当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f(x-1)<0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围为[-1,0]∪[1,3].故选D.真知真题扫描5.[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(

)A.a<b<c

B.b<a<cC.b<c<a

D.c<a<bA

真知真题扫描

C

考点考法探究

分段函数求值或范围A

考点考法探究

考点考法探究【规律提炼】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决.(3)求f{f[f(a)]}的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则.考点考法探究

BCD

考点考法探究

考点考法探究

函数的图像与判断D

图M1-1-2考点考法探究

B

图M1-1-3考点考法探究【规律提炼】已知解析式判断函数图像问题,首先要确定函数的定义域,进而确定函数图像是否有渐近线,过何定点,然后判断函数的奇偶性、周期性等,最后确定函数的图像.考点考法探究自测题1.已知函数f(x)=x2-ln|x|,则函数f(x)的大致图像是 (

)A[解析]由题意知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=x2-ln|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,排除D;又f(1)=12-ln1=1>0,所以排除B,C.故选A.图M1-1-4考点考法探究

C

图M1-1-5考点考法探究

C

考点考法探究

基本初等函数的性质与图像D

考点考法探究

A

考点考法探究

A

考点考法探究(4)[2020·全国卷Ⅰ]若2a+log2a=4b+2log4b,则 (

)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2B[解析]由题知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),又函数y=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,所以a<2b,故选B.考点考法探究【规律提炼】与函数性质有关的问题,注意考虑简单函数的性质以及复合函数的性质.有关函数不等式的求解,关键是函数单调性和奇偶性的确定,可利用单调性“穿脱f”,利用周期性将大值转化为小值计算,利用对称性解决多变量求和问题等.考点考法探究自测题1.若a=log23,b=lg5,c=log189,则(

)A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>b>aC

考点考法探究2.已知三个二次函数为fi(x)=ai(x+1)(x-2)-1(i=1,2,3,ai≠0),若它们对应的正零点记作xi(i=1,2,3),则当a1>a2>a3>0时,必有(

)A.x1<x2<x3 B.x1>x2>x3C.x1=x2=x3 D.x1,x2,x3的大小不确定A

考点考法探究

B

考点考法探究

(-∞,0]

考点考法探究例4(1)已知函数f(x)是偶函数,y=f(x+1)为奇函数,且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是(

)A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)>0B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)<0C.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)>0D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)<0函数性质的综合应用C[解析]因为函数y=f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,即f(-x)+f(2+x)=0.因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),于是f(x)+f(2+x)=0,用x+2替换x,可得f(x+2)+f(4+x)=0,所以f(x+4)=f(x).当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=x-1.当x∈(-3,-2)时,x+4∈(1,2),f(x)=f(x+4)=(x+4)-1=x+3,所以f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)>0.故选C.考点考法探究

D[解析]由①知f(x)在[4,8]上单调递增;由②知f(x)的周期为8;由③知直线x=4是f(x)的图像的对称轴.则a=f(-7)=f(8-7)=f(1)=f(8-1)=f(7),b=f(11)=f(11-8)=f(3)=f(8-3)=f(5),c=f(2020)=f(2020-252×8)=f(4),因为4<5<7<8,所以f(4)<f(5)<f(7),故c<b<a.故选D.考点考法探究【规律提炼】(1)设x1,x2∈[a,b],x1≠x2那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0等价于f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0等价于f(x)在[a,b]上是减函数.(2)①若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x);若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),且函数f(x)的图像关于直线x=a对称.②若函数y=f(x)是奇函数,则-f(x)=f(-x);若函数y=f(x+a)是奇函数,则-f(x+a)=f(-x+a),且函数f(x)的图像关于点(a,0)对称.考点考法探究③若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则该函数是周期函数,且周期T=2|a|;若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则该函数是周期函数,且周期T=4|a|.考点考法探究

D考点考法探究

考点考法探究2.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2020f(2),若函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且f(-1.67)=2,则f(2021.67)= (

)A.2 B.3C.-2 D.-3A[解析]∵函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,∴函数f(x)的图像关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故f(-x)=f(x).∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2020f(2),∴f(-2+4)=f(-2)+2020f(2),即2020f(2)=0,可得f(2)=0,∴f(x+4)=f(x)+2020f(2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,∴f(2021.67)=f(4×505+1.67)=f(1.67)=f(-1.67)=2.故选A.考点考法探究

ABD

考点考法探究

ABD

考点考法探究

ACD考点考法探究

考点考法探究例5(1)为了抗击新型冠状病毒,保障师生安全,某校决定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比(0<t<0.5);药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=0.25t-a(a为常数,t≥0.5),如图M1-1-7所示.据测定,当空气中的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进教室,则学校应安排工作人员至少提前多长时间进行消毒工作(

)A.0.5h B.0.6h C.1h D.1.5h函数建模与信息题C图M1-1-7考点考法探究

图M1-1-7考点考法探究

①②③图M1-1-8考点考法探究

图M1-1-8考点考法探究在t2时刻,甲企业与乙企业的污水排放量相等,但此时甲企业污水排放量的瞬时变化率的绝对值比乙企业大,表示甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量,所以甲、乙两企业的污水排放量都已达标,故③正确;图M1-1-8考点考法探究

图M1-1-8考点考法探究【规律提炼】高考中常见的应用题有:与经济有关即以利润最大化和成本最小化为背景的应用题,以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题,与数学文化结合的应用题等,要引起足够重视.主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等,难度以中档题为主.考点考法探究

D图M1-1-9考点考法探究

图M1-1-9考点考法探究

A考点考法探究

教师备用例题

教师备用例题

教师备用例题

D

教师备用例题例2

[配例3使用]已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+x,则不等式f(x)>2的解集为 (

)A.(2k+1,2k+3),k∈Z B.(2k-1,2k+1),k∈ZC.(4k+1,4k+3),k∈Z D.(4k-1,4k+1),k∈ZC[解析]因为f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4.因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x)的图像关于直线x=2对称,当x∈[0,2]时,f(x)>2的解集为(1,2],又因为f(x)的图像关于直线x=2对称,所以当x∈[0,4]时,f(x)>2的解集为(1,3),所以当x∈R时,f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3),k∈Z.故选C.教师备用例题例3

[配例3使用]已知f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(x-1)为偶函数,且函数f(x)的图像与直线y=x有一个交点(1,f(1)),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)+f(2019)=(

)A.-2