《计算方法》课件1第7章

第七章数值积分及数值微分7.1数值积分的基本概念7.2牛顿—柯特斯求积公式7.3复化求积方法7.4龙贝格求积公式7.5高斯型求积公式7.6二重积分的求积公式*7.7数值微分习题7

7.1数值积分的基本概念

7.1.1数值求积的基本思想

建立数值积分公式的途径比较多，其中最常用的有

两种：

(1)当函数f(x)为已知时，讨论如何计算定积分

为了避开求原函数时的困难，一般是通过被积函数f(x)的值来求定积分的值的。由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在［a,b］内存在一点ξ，使得

ξ的具体位置一般是未知的，因而难以准确计算f(ξ)的值，称f(ξ)为f(x)在［a,b］上的平均高度。若能对f(ξ)提供一种近似算法，相应地就可得到一种数值求积公式。按照这种思想，可构造一些求积分值的近似公式。例如取左端点函数值f(a)作为f(ξ)的近似值，可得到左矩形公式：

取右端点函数值f(b)作为f(ξ)的近似值，可得到右矩形公式：取中点函数值作为f(ξ)的近似值，可得到中矩形公式：

取f(a)和f(b)的加权平均值作为f(ξ)的近似值，可得到梯形公式：取函数f(x)在a，b，这三点的函数值f(a)，f(b)，

的加权平均值

作为f(ξ)的近似值，可得到辛普森公式(或称抛物线公式)：

(2)当函数f(x)为未知，仅仅知道它在部分点处的函数值时，先用某个简单函数φ(x)近似逼近f(x)，用φ(x)代替原被积函数f(x)，即

以此构造定积分的数值算法。从数值计算的角度考虑，函数φ(x)应对f(x)有充分的逼近程度，并且容易计算积分。由于多项式能很好地逼近连续函数，且又容易积分，因此常常

将φ(x)选取为插值多项式，这样，f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替了。7.1.2插值型求积公式

用n次拉格朗日多项式Ln(x)作为f(x)的近似函数,设［a,b］上的节点为

a=x0<x1<x2<…<xn=b

则有

其中,。计算定积分时，f(x)可由

Ln(x)代替，则有

记，则有下列公式：

其中，Ai只与插值节点xi有关，而与被积函数f(x)无关。此公式被称为插值型求积公式，

Ai称为求积系数。由拉格朗日插值余项可知，此求积公式的截断误差为7.1.3代数精度

数值求积法是近似方法，而衡量一个近似求积公式好坏的标准之一就是代数精度。

定义7.1

(代数精度)若求积公式

对所有次数不超过m的代数多项式都有等式成立，即Rn［f］≡0，而对于某一个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

定理7.1对给定的n+1个(互异)节点x0，x1，…，

xn∈［a,b］，总存在求积系数Ai(i=0，1，…，n)，使得求积公式

至少具有n次代数精度。

证明设求积公式对f(x)=1，x，x2，…，xn均准确成立，则有此式是关于A0，A1，…，An的线性方程组，其系数矩阵的行列式为范德蒙行列式。当xi互异时，其行列式不为零，由Gram法则得存在唯一解(A0，A1，…，An)。因此，存在求积系数A0，A1，…，An，使求积公式对f(x)=1，x，x2，…，xn都成为等式，从而求积公式至少具有n次代数精度。

定理7.2

n+1个节点的求积公式

至少具有n次代数精度的充要条件为该公式为插值型求积公式。

证明

(充分性)若求积公式是插值型求积公式，则求积系数又由于f(x)=Ln(x)+Rn(x)，其中，

当f(x)为次数不高于n的多项式时，有f(x)=Ln(x),故

即插值型求积公式至少具有n次代数精度。

(必要性)若求积公式至少具有n次代数精度，则对于插值基函数lk(x)，当k=0，1，2，…，n时,它是x的n次多项式，且

故取f(x)=lk(x)(k=0,1,2,…，n)时，有故有

即至少具有n次代数精度的求积公式为插值型求积公式。

例7.1设积分区间［a,b］为［0,2］，取f(x)=1，x，x2，x3，x4，ex时，分别用梯形和辛普森公式

计算其积分结果，并与准确值进行比较。

解梯形公式和辛普森公式的计算结果与准确值比较如表7.1所示。从表中可以看出，当f(x)是x2，x3，x4时，辛普森公式比梯形公式更精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式具有1次代数精度，辛普森公式具有3次代数

精度。下面以梯形公式为例进行验证。

对于

当取f(x)=1时，

两端相等；当取f(x)=x时，

两端相等；

当取f(x)=x2时，

两端不相等，所以梯形公式只有1次代数精度。

例7.2试确定一个至少具有2次代数精度的公式：

解要使求积公式具有2次代数精度，则对f(x)=1，x，x2，求积公式准确成立，即得如下方程组：

解之得。所以得到求积公式为

由定义可知，所得公式至少具有2次代数精度。

例7.3求下列求积公式的代数精度，并确定它是否是插值型求积公式。

解

(1)当f(x)=1时，

两端相等；当f(x)=x时，两端相等；当f(x)=x2时，

两端相等；当f(x)=x3时，两端相等；当f(x)=x4时，

两端不等，因此求积公式(1)具有3次代数精度，而它只有3个节点，故它是插值型求积公式，即为辛普森求积公式。

(2)当f(x)=1时，

两端相等；当f(x)=x时，

两端相等；当f(x)=x2时，

两端不等，因此求积公式(2)具有1次代数精度，而它有3个节点，故它不是插值型求积公式。

例7.4对积分构造一个至少具有3次代数精度的求积公式。

解因为4个节点的插值型求积公式至少有3次代数精度，故在［0，3］上取节点0，1，2，3，有由于

因此所以

因为求积公式有4个节点，所以至少有3次代数精度，只要将f(x)=x4代入以验证其代数精度即可。由于

故该插值型求积公式只有3次代数精度。7.1.4收敛性与稳定性

定义7.2如果

其中,，则称求积公式

是收敛的。一个求积公式首先应该是收敛的；其次，由于计算函数值f(xi)时可能产生舍入误差εi，因而必须考虑εi对计算结果产生的影响，即稳定性问题。易知上式当求积系数Ai全正时是稳定的。

7.2牛顿—柯特斯求积公式

7.2.1牛顿—柯特斯公式

在插值型求积公式

中，当求积节点在［a,b］内等距分布时，该公式就被称为牛顿—柯特斯公式，其求积系数为

其中,lk(x)是插值基函数。下面给出该公式的具体形式。

将［a,b］划分为n等份，步长，求积节点为xk=a+kh(k=0,1,2,…，n)。现计算求积系数Ak。由于

xk－xi=(k－i)h，因此

(xk－x0)…(xk－xk－1)(xk－xk+1)…(xk－xn)

=(－1)(n－k)k！(n－k)！hn作变量代换x=a+th。当x∈［a,b］时，有t∈［0,n］，于是可得引入记号

(k=0，1，2，…，n)

则有

Ak=(b－a)Ck

(k=0，1，2，…，n)

代入插值型求积公式有

这就是牛顿—柯特斯公式，Ck称为柯特斯系数。显然Ck是不依赖于积分区间［a,b］以及被积函数f(x)的常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数，譬如当n=1时，当n=2时,

表7.2给出n为1～8的柯特斯系数。容易验证柯特斯系数有如下性质：

(1)。因为Ak=(b－a)Ck，而,

所以。

(2)柯特斯系数具有对称性，即Ck=Cn－k。

(3)柯特斯系数有时为负。

从表7.2可见，当n=8时出现负系数，从而影响稳定性和收敛性,因此实用的只是低阶公式。7.2.2几个低阶求积公式

在牛顿—柯特斯求积公式中，当n=1,2,4时，就分别得到了下面的梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式。

1) 梯形公式

当n=1时，牛顿—柯特斯公式就是梯形公式，即

定理7.3

(梯形公式的误差)设f(x)在［a,b］上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差(余项)为

证明由于插值型求积公式的余项为

其中，

ξ∈(a,b),

ω(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn)(η∈［a,b］)所以梯形公式的误差为

由于(x－a)(x－b)在［a,b］上不变号，f″(x)在［a,b］上连续，因此由广义积分中值定理得，存在一点η∈［a,b］，使得

因此(η∈［a,b］)

2)辛普森公式

当n=2时，牛顿—柯特斯公式就是辛普森公式(或称抛物线公式)，即

定理7.4

(辛普森公式的误差)设f(x)在［a,b］上具有连续的四阶导数，则辛普森求积公式的误差为

证明从略。(η∈［a,b］)

3)柯特斯公式

当n=4时，牛顿—柯特斯公式为

定理7.5

(柯特斯公式的误差)设f(x)在［a,b］上具有连续的六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为

(η∈［a,b］)

证明从略。

例7.5分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算定积分

的近似值(计算结果取5位有效数字)。

解

(1)用梯形公式计算有

(2)用辛普森公式计算有

(3)用柯特斯公式计算有积分的准确值为

可见，三个求积公式的精度逐渐提高。

例7.6用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分

的近似值，并估计其误差(计算结果取5位小数)。

解用辛普森公式计算得

由于f(x)=x3－2x2+7x－5，f(4)(x)=0，因此辛普森公式的余项为

(η∈［a,b］)

知其误差为R(f)=0。用柯特斯公式计算得

其误差为R(f)=0。这个积分的精确值就为62/3，这是因为辛普森公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度，它们对被积函数为3次多项式的积分当然是精确成立的。

7.3复化求积方法

7.3.1复化求积公式

由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时牛顿—柯特斯公式开始出现负值的柯特斯系数，根据误差理论的分析研究知，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计，因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。一般实用的方法是：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。

1.复化梯形公式

将积分区间［a,b］划分为n等份，步长，求积节点为xk=a+kh(k=0，1，…，n)，在每个小区间［xk，xk+1］(k=0，1，…，n)上应用梯形公式求出积分值Ik，然后将它们累加求和，用作为所求积分值I的近似值。记

此式称为复化梯形公式。当f(x)在［a,b］上有连续的二阶导数时，在子区间

［xk,xk+1］上,梯形公式的余项为

在［a,b］上的余项为设f″(x)在［a,b］上连续，由介值定理得，存在η∈［a,b］,使得

(η∈［a,b］)

因此，复化梯形公式的余项为

(η∈［a,b］)

2.复化辛普森公式

将［a,b］进行n等分(偶数份)，步长，每两个子区间使用一次辛普森公式，然后相加得复化辛普森公式。记

此式称为复化辛普森公式。

类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为(η∈［a,b］)

3.复化柯特斯公式

将［a,b］进行4n等分，步长,每个子区间上有5个节点，使用一次柯特斯公式，然后相加得复化柯特斯公式。记

此式称为复化柯特斯公式。

求积余项为

(η∈［a,b］)

例7.7用n=4的复化梯形公式计算定积分

，并估计误差。

解

下面估计误差，取，则,x∈(0,1),所以f″(x)单调增加，这时有

又区间长度b－a=1，于是复化梯形公式的余项不超过7.3.2变步长求积公式

复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长，若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，计算量又太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中，通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，反复利用复化求积公

式，直至所求积分值满足精确度要求为止。下面以复化梯形公式为例，介绍变步长的求积公式。设Tn表示区间［a,b］进行n等份后使用复化梯形求积公式求得的积分近似值，而，则有

(η1∈［a,b］)

再把每个小区间二等分，则有

(η2∈［a,b］)

如果f″(x)在［a,b］内变化不大，则f″(η1)≈f″(η2)。以上两式相除有

从此式中解出I,得上式说明用T2n作为积分I的近似值时，误差约为

，因此实际计算时常用

|T2n－Tn|<ε

是否满足作为计算精确度的要求条件。如果满足，则取T2n作为I的近似值；如果不满足，则再将区间分半进行计算，直到满足误差要求为止。为了便于在计算机上编写程序，常用如下递推公式：

(n=2k-1

；k=1，2，…)

这样，由Tn计算T2n时只需计算新增加节点处的函数值即可。类似地，对于复化辛普森公式，假定f(4)(x)在［a,b］上变化不大，则有

对于复化柯特斯公式，假定f(6)(x)在［a,b］上变化不大，则有

此处Sn与Cn分别表示区间n等份时复化辛普森公式和复化柯特斯公式计算的积分近似值。

例7.8用变步长梯形公式计算。

解设，f(0)=1，f(1)=0.8414710。先对区间［1,0］用梯形公式,有

然后将区间［0,1］二等分，由于,

因此有再二等分一次，并计算新分点上的函数值为

故有再二等分一次，新分点上的函数值为

故有

这样不断二等分下去，计算结果如表7.3所示。表中，k代表二等分次数，区间等分数n=2k。

由表可知，积分的近似值为0.9460831,用变步长二等分10次可得此结果。

7.4龙贝格求积公式

7.4.1龙贝格(Romberg)求积公式的推导

变步长梯形求积法的算法简单，但精度较差，收敛速度较慢。我们可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格求积公式又称为逐次分半加速法。设Tn，T2n分别表示区间［a,b］进行n等分和2n等分后使用复化梯形求积公式求得的积分近似值，由7.3节得到

由此式可知，当用T2n近似I

时，其误差近似地为

因为Tn，T2n之前已经算出，所以不要把近似误差

丢掉，用整个右端项

去近似I比用T2n

近似I的效果更好。。譬如当n=1时，有

易知这正是［a,b］上辛普森求积公式的结果，记

，用S1作为计算I的近似值当然比用

计算效果好。事实上，容易验证，这说明用二分前、后的两个梯形公式值Tn和T2n按上式作简单的线性组合，就可以得到精度更高的辛普森法的近似值Sn，从而加速了逼近的效果。

称为梯形加速公式。类似地，由复化辛普森公式的误差公式，如果将步长折半，则误差减至1/16，即有由此得到

可以验证，上式右端的值其实就是［a,b］区间n等分后，在每个小区间上用柯特斯公式得到的具有更高精确度的复化柯特斯公式的积分值Cn，即有

上式称为抛物线加速公式。用同样的方法，根据复化柯特斯公式的误差公式，可以进一步推出

此式称为龙贝格求积公式。

在变步长的过程中，运用上述三个加速公式修正三次，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的龙贝格值Rn，或者说将收敛缓慢的梯形值序列{Tn}加工成收敛迅速的龙贝格序列{Rn}，这种加速方法称为龙贝格算法。7.4.2龙贝格求积算法的计算步骤

龙贝格求积算法的计算步骤如下：

(1)准备初值。用梯形公式计算积分近似值：

(2)求梯形序列{Tn}。将区间二等分，令,

计算(n=2i；i=0，1，2，…)

(3)求加速值。

梯形加速公式

抛物线加速公式

龙贝格求积公式

(4)精度控制。如果相邻两次积分值R2n，Rn满足

|R2n－Rn|<ε(其中ε为允许误差限)

则终止计算并取R2n作为积分的近似值；否则继续对区间进行二等分，重复第(2)步到第(4)步的计算过程，直到满足精度要求为止。

例7.9应用龙贝格求积算法计算积分。

解首先用区间分半法算出T1，T2，T4，T8：然后逐次应用三个加速公式，计算出

计算结果列于表7.4中。由表7.4知，有

I≈R1=0.9460831

这就是龙贝格方法得到的I的近似值。

7.5高斯型求积公式

在前面建立牛顿—柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式的节点xk限定为等分的节点，然后再确定求积系数Ak，这种方法虽然简单，但求积公式的精度却受到限制。已经知道n+1个插值节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度，那么要问：具有n+1个节点的插值型求积公式的代数精度最高能达到多少？下面将详细讨论。7.5.1高斯型求积公式的理论

定义7.3如果n+1个节点的插值型求积公式

(7.1)

的代数精度达到2n+1，则称上式为高斯求积公式，并称相应的求积节点xk为高斯点，系数Ak称为高斯系数(k=0，1，…，n)，其中，可以证明，高斯型求积公式是具有最高代数精度的插值型求积公式。这是因为，如果插值型求积公式为

其中，,则截断误差为

令为2n+2次多项式，则可得公式左端为

右端为所以截断误差

由此可得插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2，也就是说,高斯型求积公式是具有最高代数精度的插值型求积公式。

对于高斯公式，下面讨论如何确定高斯点xk和高斯系

数Ak。

定理7.6插值型求积公式的节点xk(k=0,1,…，n)为高斯点的充要条件是在区间［a,b］上以这些点为零点的n+1次多项式ωn+1(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn)与任何次数不超过n的多项式p(x)关于权函数ρ(x)正交，即

证明

(必要性)设xk(k=0，1，…，n)是高斯点，故插值公式

对任意次数不超过2n+1的多项式精确成立。于是,对任意次

数不超过n的多项式p(x)，f(x)=ωn+1(x)p(x)是次数不超过2n+1的多项式，故有

即ωn+1(x)与任何次数不超过n的多项式p(x)关于权函数ρ(x)正交。

(充分性)设条件

成立，记P2n+1(x)={p(x)|p(x)为次数不超过2n+1的多项式}，任取f(x)∈P2n+1(x)，则f(x)可表示为

f(x)=p(x)ωn+1(x)+q(x)

(p(x),q(x)∈Pn(x))

而

(7.2)由条件可知，(7.2)式右端第一项为零,且插值型积分公式

对q(x)∈Pn(x)精确成立；(7.2)式右端第二项为即式对f(x)∈P2n+1(x)精确成立，从而节点xk(k=0，1，…，n)是高斯点。

该定理表明，在［a,b］上与权函数ρ(x)正交的n+1次多项式的零点就是高斯求积公式中的高斯点。当高斯点确定后，由高斯型求积公式的定义可知，高斯系数Ak(k=0，1，…，n)可由线性方程组：

唯一确定，也可由插值型求积公式中的系数公式确定。7.5.2几个常用高斯求积公式

由于正交多项式的零点就是高斯点，因而取不同的正交多项式就能得到不同的高斯求积公式。

1.高斯—勒让德求积公式

勒让德多项式Pn+1(x)是［－1，1］上关于权函数ρ(x)≡1的正交多项式,因此高斯—勒让德求积公式为其中，

xk(k=0,1,…,n)为勒让德多项式Pn+1(x)的n+1个零点。可证明系数Ak可表示为(k=0，1，…，n)余项公式为

(ξ∈［－1,1］)

表7.5给出了部分高斯—勒让德求积公式的节点和系数，以备查用。对于一般区间［a,b］上的积分，可通过变量代换

化为［－1，1］区间上的积分：

从而可使用高斯—勒让德公式进行计算。

例7.10用高斯—勒让德求积公式计算积分。

解

a=0，b=1，做变换,

可把［0，1］上的积分变为［－1，1］上的积分，从而有用两个节点(即n=1时)的高斯—勒让德公式：

查表知节点和系数为x0=－0.5773502692,

x1=0.5773502692A0=1,

A1=1从而有

用三个节点(即n=2时)的高斯—勒让德公式:查表知节点和系数为

x0=－0.7745966692,

x1=0,

x2=0.7745966692

A0=0.5555555556,

A1=0.8888888889,

A2=0.5555555556

从而有

2.高斯—切比雪夫求积公式

切比雪夫多项式是［－1,1］上关于权函数

的正交多项式,因此高斯—切比雪夫求积公式为

其中,节点xk(k=0,1,…，n)是n+1次切比雪夫正交多项式的n+1个零点，即(k=0，1，…，n)系数

(k=0,1,…，n)

截断误差为(ξ∈［－1，1］)

3.高斯—拉盖尔求积公式

拉盖尔多项式是［0，+∞)上关于权函数ρ(x)=e－x正交的正交多项式，因此高斯—拉盖尔求积公式为其中，节点xk(k=0，1，…，n)是n+1次拉盖尔正交多项式的n+1个零点，系数

截断误差为

(ξ∈(0，+∞))

表7.6给出了部分高斯—拉盖尔求积公式的节点与系数。

4.高斯—埃米尔特求积公式

埃米尔特多项式

是(－∞,+∞)上关于权函数

正交的正交多项式,因此高斯—埃米尔特求积公式为其中,节点xk(k=0,1,…，n)是n+1次埃米尔特正交多项式的n+1个零点，系数

截断误差为

(ξ∈(－∞，+∞))

表7.7给出了部分高斯—埃米尔特求积公式的节点和系数。应该指出，利用正交多项式的零点构造高斯型积分公式，这种方法只针对某些特殊类型的区间和特殊类型的权函数才有效。对于一般的权函数，要构造正交多项式是不容易的，即使有了表达式，要求它的根也比较困难。因此，一般的高斯型求积公式常常还是从最基本的代数精度的定义出发进行构造的，但这要求解非线性的方程组，计算也较麻烦。

例7.11构造形如

的高斯型求积公式。

解分析：这里指明要构造一个高斯型求积公式，并给出了2个节点，这样就应当构造2n－1=3次代数精度的公式，须以f(x)=1，x，x2，x3

获得方程组。由题设应构造有3次代数精度并以为权函数的高斯型求积公式，故对任意3次多项式f(x)，有精确等式：

将f(x)=1，x，x2，x3

代入上式，得方程组：由(2)式得

将(1)式代入上式，得

由(3)式得将(2)式代入上式，得

类似上述做法，有

由(6)式得代入(7)式并整理得

由(5)式得

代入(6)式并整理得由(8)、(9)式解出

解之得x1=0.821162,x2=0.289949，将结果代入原方程组，解得A1=0.389111，A2=0.277556，于是所求的高斯型求积公式为

它至少有3次代数精度。

7.6二重积分的求积公式*

前面所给出的求定积分的求积公式经过适当改造，可用于对多重积分的近似计算。这里仅给出二重积分的近似计算公式，其他重积分的求积公式是类似的。

考虑在矩形区域R={(x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d}上的二重积分的求积公式，以二维复化抛物线公式为例。假设x方向的步长为，y方向的步长为

，此处n和m是用来选择步长大小的正整数。

由于首先用一维复化抛物线公式来求积分的值。先把x看做常数，令y0=c，yj=c+jk(j=1，2，…，2m)，则有

(7.3)其中，μ∈［c,d］。因此有对此式右端的每一个积分使用一维抛物线公式，令x0=a，xi=a+ih(i=1，2，…，2n)，则对j=1，2，…，2m，有

(7.4)其中，ξj∈［a,b］。可导出下述二维复化抛物线公式：(7.5)误差余项为

若及在区域R上连续，则误差项可化为

其中，和均在区域R内。事实上，可把(7.4)式写成如下形式：

而把(7.3)式写成则Ak(k=0，1，2，…，2n)依次为1，4，2，4，2，…，2，4，1；Bk(j=0，1，2，…，2m)依次为1，4，2，4，2，…，2，4，1，从而(7.5)式可写为

其中,λkj如表7.8所示。以上推导出了二维复化抛物线公式，使用相同的技巧，可把其他牛顿—柯特斯公式推广

到二维情形。

例7.12分别用二维复化抛物线公式和二维高斯公式求二重积分:

解

(1)用二维复化抛物线公式求解。

令n=2,m=1，则以h=0.15,k=0.25对区域进行划分后的节点坐标(xk,yj)(其中k=0,1,2,3,4；j=0,1,2)如表7.9所示。由表7.8可得λkj的值，则有

由于，，则误差估计为在10位精确数值下，我们有此二重积分的精确值:

故近似积分值的实际误差为2.1×10-6。

(2)用高斯公式计算。

通过线性变换0.6u=(2x－3.4)，0.5v=(2y－2.5)把区域［1.4,2.0］×［1.0,1.5］化为标准区域［－1,1］×

［－1,1］。应用此变换后,有

在标准区域上分别对u,v使用三点高斯公式,此时节点坐标为

u1=v1=0,

u0=v0=－0.7745966692,

u2=v2=0.7745966692对应的系数

A1=0.8888888889,

A0=A2=0.5555555556

从而有

在此我们只用了9个节点处的函数值，但这个结果的误差只有4.8×10-9,比用复化抛物线公式的结果好得多。因此，在多维情况下，用高斯公式可提高效率。在一般形状积分区域上计算二重积分的近似值，可通过分块调整为下列形式:

或

的有限和。这两种形式的积分，均可用复化抛物线公式或高斯公式来求近似值。下面仅对第一式的二维抛物线公式进行推导。对使用x方向步长为，y方向步长为x的函数，则可导出二维抛物线公式为基于上述求积公式，通过对双曲矩阵的进一步剖析，可导出相应的复化抛物线公式，详细过程略。7.7数值微分

在高等数学中，当函数可用基本初等函数的有限次复合及四则运算来表示时，该函数的导数可用导数的定义或求导法则来求出。然而，当函数是用表格给出时，只能用数值的方法给出节点上的导数的近似值。数值微分方法在微分方程数值解方法中有很大用处。下面介绍几种数值微分方法。7.7.1计算数值微分的插值法

已知函数y=f(x)的离散值(xk,f(xk))(k=0,1,2,…，n)，要计算f(x)在节点xk处的导数值。

用插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似函数f(x)≈Pn(x)，由于多项式的导数容易求得，取Pn(x)的导数Pn′(x)作为f′(x)的近似值，这样建立的数值公式

f′(x)≈Pn′(x)称为插值型的求导公式,其截