数学答案及评分细则参考：联盟校2023届高三大联考

绝密★启用前试卷类型：A

名校联盟全国优质校2023届高三大联考

数学试题参考答案与评分参考

、单项选择题：

题号12345678

答案DCACBBDA

二、多项选择题：

题号9101112

答案BDBCACABD

12.若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线.已知直

线为曲线=*和C2：），=—i3>0）的公切线，则下列结论正确的为

A.G和关于直线y=彳对称

B.当。=1时，^'=1

C.若b=0,则a=g

D.当。=1时，G和。2必存在斜率为’的公切线

解析：不妨设/与G：y=e"和。2：），=等依次相切于点8（.,必），

（1）考查选项A：已知函数y=（e。）'和y=log/X互为反函数，则G和G关于直线丁二彳对

称，故选项A正确；

“nx2=kXy+b,

⑵考查选项B：当〃=1时，白/与C,相切可知〈J__,/.b=—1—Ink,

R

・•・如印=能一出=匕：=1,故选项B正确：

「二K,a

③考查选项C：若6=0,则/：y=h,不难知道，有〈①，且（②,

⑹“，IJ।_=4,

OXy

由②可得叫£=Ax,=~,又a>0,Inx,=1,即x»=e,k=—>

na

高三数学参考答案及评分标准第I页共11页

由①可得成T|二k,显然上士0,otj=1,：,ac=k,

・•・讹=」■，即以=」，故选项C错误：

Ic*=h]+b,

(4)考查选项D：由/与G相切可知〈Axi=\nk,b=k—k\nk,

上、=A.

由(2)可触二一1—\nk=k—klnh/.攵+1+(1—幻lnk=0,

设函数g(x)=x+1+(1—x)Inx,依题可得g(©:0,

3^^二)=-+1+(I)In-="―+1~~Ink+二仁—0»

1

・・・G和。2亦存在斜率为，的公切线，故选项D正确；

K

综上所述，应选ABD.

三、填空题：

13.2；14.—10；15.3；16.(V2,+W).

2

Yv2

16.在平面直角坐标系xQy中，0为坐标原点，记居为双曲线。:1一1(。>0力>0)的

Jb‘

左焦点，以。居为直径的圆与C的一条渐近线交于0,A两点，且线段A居与。交于

点B，若可=入率(A>则C的离心率的取值范围为.

2

解析：易知心|二8，•・•云Z=阳5，工厂⑸二Ab,

记C的右焦点为尸2,连接班7，旧例二为+人〃，

14

愿中，cosm2K8二/“*"]。任十人次二耳一治,

€Ae

AOFfA为直角三角形，，cos三F"=cos三OR二一，，“”=2,化简得人二，一，

cAeca+b

,•,线段*与C交于点8,且A>—»/.—<——,即a<6,，/<斤=c—/,即2^<<?»

>，a+b

/.r>2,:.e=(JI,+w),故应填(枝，+w).

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)

设数列｛q｝的前几项和为S”，若见=1,Sn=4r.i—1.

(1)求｛%｝的通项公式；

府三数学参考答案及评分标准第2页共11页

(2)设b”=,求数列｛b“｝的前〃项和

解：⑴=号=4+]—1

:.5|=a2-I,解得出=2•..............................................................................................1分

当〃>2时，S“_]=a”一I,

•・a”=S,—，_]=见+]—〃“，.............................................................................................2分

:.2凡=an+,,即N=2....................................................................................................3分

•・•幺=2也满足上式，......................................................4分

•••｛《J是首项为1，公比为2的等比数列，

・,・4=21........................................................................................................................5分

⑵由⑴知凡+1=2"，・•・bn=n.T,

・•・0=1x2+2x22+3x23+…+“x2”①，

贝]I2，=]x22+2x23+…+（〃一I）x2“+〃x2"i②，........................................................6分

①一额，

23<<,

—Tn=24-2+2+...+T-nx2....................................................................................7分

-2X<1-，2川.....................................................8分

I—2

=（1—八）x2^—2,......................................................................................................9分

ATtl=2+（n—1）x2^*........................................................................................................10分

18.（12分）

sinAsinBac

设△ABC的三个角4,B,C的对边分别为a,b,c,且sinc+匕.

（1）求B：

（2）已知b=3,且AC边上存在点。，使得3。平分EABC.当80=2时，求△ABC

的面积.

sinA_sinBa。aJ?ac

解：（1）•・•———=一,由正弦定理得=—,..................1分

sinCa+bca+b

化简得从=a2+c2-ac».....................................................................................................2分

高三数学参考答案及评分标准第3页共11页

...由余弦定理得cosB=孑+广T

3分

lae

又；840,几），:.8=]................................................................................................4分

（2）如图所示

三

（第18题图）

•S“BC=S38D+S、CBD'..................................................................................................5分

即^BA.BC.sinEABC=-BA.BD.sinEABD+-BC.BD.sin三CBD,.......................7分

222

由BQ平分HABCf可化简得BA+BC=^-BA.BC①，.......................8分

2

又由余弦定理得4^二加？+BC2—2B4XBCXCOSB②，........................10分

联立①，②，解得BA.BC=6,..................................................................................11分

:.S5^BCr=-）BA.BC.sinEABC=—）........................................................................12分

19.（12分）

某校筹办运动会，设计了方案一、方案二两种方案.为了解对这两种方案的支持情况,

在校内随机抽取100名同学，得到数据如下：

男女

支持不支持支持不支持

方案一20人40人30人10人

方案二35人25人25人15人

假设校内所有同学支持何种方案互不影响.

(1)依据所给数据及小概率值"=0.001的独立性检验，能否认为支持方案一与性别有

关？

(2)以抽取的100名同学的支持率高低为决策依据，应选择哪种方案？

高三数学参考答案及评分标准第4页共11页

(3)用频率估计概率，从全校支持方案一的学生中随机抽取3人，其中男生的人数记为X,

求随机变量X的分布列和数学期望.

附：B2=，其中n=a+b+c+d.

(a+bMr♦dNa+Qb+d)

n0.10.050.010.0050.001

X

■2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)易得如下列联表:

方案一

性别支持不支持合计

男204060

女301040

合计5050100

...................................................................1分

零假设为H。：支持方案•与运动员的性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

2

-2100x(20x10-30x40)50inQ_o。益

==--------，16.667>10.828=A-0()01，...........................................3分

50*50*40x603

依据小概率值4=0.001的独立性检验，可以推断“。不成立，即认为支持方案一与运动员的

性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001...............................................................4分

(2)由题设表格中的数据可知，

支持方案一的频率为----独02—=~,

20+40+30+102

支持方案二的频率为—域②—=-,

35+25+25+155

•・•L・•・本次运动会应选择方案二.........................................6分

75

(3)男生支持方案一的概率为云3=],女生支持方案一的概率为‘04J：；,

则X〜X的可能取值为0,1,2,3,...........................................................8分

P(X=0)=提(：)3=总,P(X=1)=C]，P(X=2)=xg=1,

高三数学参考答案及评分标准第5页共11页

28

P(X=3)=C(二)3=，................................................................................................10分

・•・X的分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

......................................................................11分

26

:.£(X)=3x-=-.................................................................................................................12分

20.(12分)

在四棱锥P-4BCO中，侧楂PAJ平面ABCD,且平面尸4。」平面PCD.

(1)证明：ADJCD；

(2)若AD//BC,且BC=2AP=2AO=2,记平面8PC与平面PC。的夹角为9,当

解：(1)证明：如图1,过4作AE」产。，且垂足为E,

•・•平面PAD]平面PCD,平面PWn平面PCD=PD,

••・AE1平面PCD,.............................................................................................................1分

又CO仁平面PCD,・•・AEJCD,.......................................................................................2分

VPAJ平面ABCD,CO仁平面ABCD,

JPAJCD,.............................................................................................................................3分

又PAUAE=A,仁平面PAD,

・•・CDJ平面PAD,......................................................................................................4分

又AD仁平面PAD,:.ADiCD.........................................................................................5分

(2)设BC的中点为F,连接AF,

•・•AD//BC,AD=^BC=FC,AD1CD,

，四边形AFCD为平行四边形，

又,:AD]CD,:.AD]AF,............................................................................................6分

高三数学参考答案及评分标准第6页共11页

设CO=《/>0),以A为原点，AF,40,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如

图2所示的空间直角坐标系，则R0,0,1),D(0,1,0),C(/,l,0),B(f.—1,0),E(0，:，:),

Pr=(r,l,—1),衣=(0,2,0)，7?=(0,1,1),...............................7分

由⑴知AE」平面PCD,・•・平面PCO的一个法向量为〃二(0,1,1),................8分

设.机=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量，则

(「2-r•°；・.卜—即《zrx,,令g,得,二(皿)，...........9分

|m-0.12v-0,V«0,

—-I

:.cos</«,n>=-----；-----，.................................................10分

J2x/?+1

•・•平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为如，|-,，|二四，解得f=2,

・•・CD=2.....................................................................12分

21.(12分)

在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A,B分别为椭圆C:£+二=l(a>b>0)

a2b'

的上、下顶点，直线/:工二2与C有且仅有一个公共点，设点。在C•上运动，且。不在坐标

轴上，当直线8。的斜率为J3时，C的右焦点恰在直线3£)上.

(1)求。的方程；

(2)设直线交入轴于点尸，直线AO交/于点Q,直线PQ交C于M,N两点.

(i)证明：直线P。的斜率为定值：

(ii)求40MN面积的取值范围.

解：(1)二•/与C有且只有1个公共点，.・.«=2,.................................1分

记C的右焦点为Re,0),由题可知当直线8。的斜率为Jj时，F恰在直线8。上，

・•・E.OFB=60.,:.tan=OFB=-=Ji，......................................2分

/•

又,•方+r=a2=4,:•b=A,c=\,

••・椭圆C的方程为三+匚=1.................................................3分

43

(2)⑴设ZXx0,%),显然与丰0,且直线A。，BD的斜率存在，不妨依次设为匕，b,

・・・占=，一"，七=21121................................................4分

知JU

高三数学参考答案及评分标准第7页共11页

・•・直线A。，8。的方程分别为），=%一"x+J5,），=%♦牝_&

•・•直线A。交/:x=2于点Q,且直线80交x轴于点P,

・32,*3*必-2^）0）...............................................................5分

《小N3

易知一"殳F丰Z否则P（2,0）在椭圆C上，即点。与P垂合，这与。不在坐标轴上矛盾，

五十J3

工直线PQ的斜率存在，不妨设其为自，

2%.24

.“二”.—6...................................................

海—J5V3.%'

z-B

“+3

,**5加,％）在c上，*,•:+与=1，即为?=3一士，代入上式得，

434

一44'42

・・・直线PQ的斜率为Q,即直线PQ的斜率为定值..............................8分

2

(ii)不妨设直线PQ的方程为y=tgx+in,

y=8_x+m

出(,：2得，6x-2+W3zrir+W—12=0........................................................9分

,—+y=1

l|41

由编=48（6-〃，）>0得，，

显然。不在直线MN上（否则不存在△OMN）,即O不在直线PQ上，・•・〃?丰0,

不难知道用丰土J5,否则将与。不在坐标轴上矛盾，

综上可知，一<〃2<K，且/M丰土Ji,〃?丰0,..................................................10分

功M%,%），易知M+与二-；1n,且心■㈤？6,

:.\MN\-Jl♦：.|x,-七|二4.«入♦土尸”册与二-而,a一二，

设O到直线MN的距离为d,即。到直线PQ的距离为d,易知d二，

高三数学参考答案及评分标准第8页共11页

记△OMN的面积为S,

.c।।AmiJ।v21/6-m*2|m|v3/i~7~~.4

••S=TMN1d二------------------------T­!=—v-m+6/rr，..................u分

223h3

•:—J6<fn<Jb»且〃7w士Yj,wxO,/.triw(0,3)U(3,6)，

*,•-=—(z?/2-3)24-9G(0,9)>:•S='J-m44-6/w*t(0,>

■3

•••△OMN面积的取值范围为(O,JJ).................................................................................12分

22.(12分)

已知函数/(%)■e"Inx-or42〃(a£R).

（1）判断/（x）在区间（e,+，）上的单调性；

（2）若/（X）恰有两个不同的零点再，&，且再＜“2，证明：再+3%＞4.

C

解：（1）易知f（x）=c-a=©R»....................................................................................1分

xx

若。40,则/。）＞0恒成立，・•・f（x）在区间（e,，g）上单调递增，................2分

若。＞0,当xfQ—）时，ra）＞o,・•・/（力在区间（0,一）上单调递增,

ua

当XWp-,+8）时，/（（X）＜0,・'・/（X）在区间（♦B）上单调递减,3分

nn

下面判断5与e的大小关系，

L—1)

令函数g(a)=—3>0),则g'(d)=------；——(a>0),

a。一

・•・当。£（0,1）时，『3）＜0,Jg（a）在区间（0,1）上单调递减,

当a£（l-oe）时，g'3）＞0,:.3（a）在区间（1,$8）上单调递增.

：•g（a）=-Ag（a）min=g（D=e，

a

・•・与e,即（*）,等号当且仅当。=1时取得，..........................4分

六当a＞0,且awl时，f（x）在区间（e,—）上单调递增，在区间（J,+工）上单调递减；当a=1

aa

时，f（x）在区间（e,♦ae）上单调递减，

综上所述，若。40,则/⑶在区旬（e,+，）上单调递增；若。=1,则/⑴在区间（e,♦a）上

单调递减；若〃＞0,且awl,贝J/（x）在区间（a匚）上单调递增，在区间（£■,♦/）上单调

aa

递减.............................................................................5分

高三数学参考答案及评分标准第9页共II页

(2)由(1)可知若f(x)有两个不同的零点，贝ija>0,且极大值/(一)>0,

da

易知/(£_)=eln(—)—e"+2a=e[ln(—)—1]+2a,

ann

ac9

由不等式(*)可知一c>e,:.ett[ln(一)—I]>0>

aa

・••当a>0时，/(-)>0恒成立，..............................................6分

a

a

显然有elnX1—axt+2a=0,且e"In/一+2a=0,

两式相减可得巧一'|=—,................................................7分

InJr,-Inxta

不妨设r=i,则t>1,且马二跖,

.什—1*4.C*onC'Inf.C*t

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