中考数学六大专题突破【学霸笔记、状元学案、名师教案、资源】

中考专题突破——目录

・:♦1.实际应用

❖2.几何证明

o3.中考新题

4.思想方法

・：・5.中考压轴

A北京师范大学出版集团

北京舞比大学出亚社

嬲触曩敏热

实际应用题是近年中考的热点试题，这类题来源于生活

和生产实践，贴近生活，具有较强的操作性和实践性.所以）

参考条件多，思维有一定的深度，解答方法灵活多样，解决

问题时要慎于思考.题型主要包括：根据实际意义建模；利/

用方程（组八不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案

进行比较等.\

»热考一关于不等式（组）的方案设计题

例1[2012•遂宁]我市新都生活超市准备一次性购进人

B两种品牌的饮料100箱，这两种饮料每箱的进价和售价如下

表所示.设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部

卖出，获得的总利润为J元.（

⑴求y关于”的函数关系式；I

（2）由于资金周转原因，超市用于购进4.B两种饮料的总

费用不超过5600元，并要求获得利润不低于1380元，则从两

种饮料箱数上考虑，共有哪几种进货方案？（利润=售价■进

价）X

品牌AB

进价（元/箱）6549

售价（元/箱）8062

解：(l)j与x函数关系式是：j=(80-

65)x+(62-49)(100-x)=2x+1300，即y二

2x+1300.

2x+1300N1380,

(2)由题意f得

解这个不等燔5博%9襄7*56。。,

43.

4

它的整数解是x=40.41、42,43,

则该超市购进4B两种品牌饮料，共有4种进货方案，分别是：

方案1:购进A品牌饮料4。箱，5品牌饮料60箱；

方案2：购进A品牌饮料41箱，〃品牌饮料59箱；

方案3：购进4品牌饮料42箱，"品牌饮料58箱；

方案4：购进4品牌饮料43箱，3品牌饮料57箱.

方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问

题情境包含实际问题情境和数学问题情境，设计目标有图形

设计问题.测量方案问题.经济方案问题等，它一般包括

〃问题情境一模型建立一解释、应用和拓展”等具体求解

过程.通常在实际问题中通过建立不等关系，再利用不等关

系得一个变量的特殊值，从而确定方案及最佳方案确定问题

的求解，可先根据题设条件确定函数关系和自变量的不等式

（组），再利用函数的性质确定方案和最佳选择.

»热考二关于不等式（组）与方程（组）综合题

例2[2012•自贡]暑期中，哥哥和弟弟二人分别编

织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成

而哥哥单独编织不到一周就已完成，哥哥平均每天比弟

弟多编2个.

求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？

（答案取整数）

（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥

工作几天，两人所编中国结数量相同？

解：(1)设弟弟每天编X个，则哥哥每天编(X+2)个，那

f7x<28,

/(x+2)>28,解得2<x<4•

「X取整数，・.x=3.

x+2=5f故哥哥每天编5个,弟弟每天编3个.

(2)设哥哥工作加天，两人所编数量相同，

贝U3(m+2)=5m,

解得m=3.

答：⑴哥哥平均每天编5个，弟弟平均每天编3个；

(2)若弟弟先工作2天，则哥哥工作3天时，两兄弟所编

中国结数量相同.

在实际问题中找出等量关系或不等关系,建立方

程（组）和不等式（组）模型,进而求解.

»热考三关于函数应用题

例312鸡西］黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富，一天某渔

船离开港口前往该海域捕鱼，捕捞一段时间后，发现一艘外国舰艇进入我国水域向

黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港

口出发赶往黄岩岛,图Z1-1是渔政船及渔船与港口的距离S和渔船离开港口

的时间，之间的函数图象.（假设渔政船及渔船沿同一航线航行）.

⑴直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间r的函数关系式;

⑵求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离；

⑶在渔政船驶往黄岩岛的过程中•求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船

相距30海里？

解：(1)当0q45时，S=30Z；

当5VH8时，S=150；

当8</<13时，S=-30E+390.

(2)渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系

式设为S=kt+b.

=8k+br缶二45,

34解得《

[150=3k+b.[b=-360,

.S=45/-360.

产45£-360,解得卜=90r

由

[5=-301+390.10.

答：渔船和渔政船相遇时，两船离黄岩岛的距离为90海里

(3)S鱼=-30,+390,

=

S渔政45%-360.

分两种情况：

①当S渔-5渔政二30时，

霸噌：招3阳4。)=3。，

②当S渔政-S渔二30时，

胎”他声卷挪。)=3。，

答：渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相

距30海里.

在实际问题或数学问题中建立函数模型后,

利用函数的最大（小）值可求最大利润.最大面

积,最佳方案等问题.

A热考四关于解直角三角形应用题

例42012•扬州］如图Zl-2r一艘巡逻艇航行至海面

B处时，得知正北方向上距5处20海里的。处有一渔船发

生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知

C处位于A处的北偏东45。的方向上，港口A位于B处的北

偏西30。的方向上.求A.C两处之间的距离.(结果精确到

0.1海里.参考数据：产L41,干L73)

芈

Z1-2

解：过点A作ADrBC,垂足为D.

由题意可知”二30。，ZACD=45°f得△4DC是等腰

9

直角三角形fDC=4。.设AD=x,贝1]DC=x.

在Rt^ADB中.tanBAD

=DB

：DB=4°=---=3x.

tanBtan30O3

u10.3（海里）.

答：A.C间的距离为10.3海里.

在实际问题或数学问题中建立直角三角形模型

后，利用直角三角形的边角关系等知识解决问题.

二热考五关于统计概率应用题

例512012•安阳一模］某校为了了解今年九年级400名

学生体育加试成绩情况，体育老师从中随机抽取了40名学

生，图Z1-3为体育老师没有绘制完成的这40名学生的体

育加试成绩（满分为30分，成绩均为整数）的频数分布直方

请结合图形解答下列问题：

⑴求被抽取的这40名学生中体育加试成绩在27.5〜30.5

这一小组的频数并补全频数分布直方图；

⑵若在所抽取的这40名学生中随机访问一名学生，被

访问的学生成绩在25分以上（含25分）的概率是多少？

⑶如果成绩在25分以上（含25分）的同学属于优秀，请

你估计全校九年级约有多少学生达到优秀水平？

解：(1)12

补全后的图形如图：

(2).•抽查的25分以上现人数再16+12=28(A).

・・/(成绩25分以上)二空二二.

~40~10

(3)估计全校优秀人数约为400x4.=280(A).

统计概率的应用，首先要仔细观察.阅读题目所提供

的材料，从中捕捉有关信息（如数据间的关系与规律,

象的形状特点.变化趋势等）■然后对这些信息进行加工

处理，并联系相关的数学知识，从而实现信息的转换，使

问题顺利获解.

探究性几何证明题是一种新题型，主要有下列两种描述:

⑴答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题；（2具有多种

不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.

探究性几何证明题的特点是：⑴条件多余需选择，条件不

足需补充；⑵答案不固定；⑶问题一般没有明确的结论，没有

定的形式和方法，需要自己通过观察.分析.比较.概括.

推理.判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，因

而解题的策略是将其转化为封闭性问题.

探究性几何证明题常见的类型有：⑴以三角形为载体的条

件探究题；⑵以四边形为载体的条件探究题；（3）代数与几何综

合的条件探究题.

»热考一以三角形为载体的条件探究题

例1[2012•义乌1如图Z2-1f在△ASC中，点O

是BC的中点，作射线AD,在线段AD及其延长线上分

别取点E.F,连接CE.区足添加一个条件，使得包。尸

、△CDEf并加以证明.你添加的条件是

.（不添加辅助线）

图Z2-1

解：添fi由渊隹：DE=或CEIIBF或NECD

=乙DBF或乙DEC=NDFB

等）.证明：在包。尸和

&CDE中，

^BD=CD,

・・4ZEDC=ZFDBf

[DE=DF,

,CBDF2CDE.

解以三角形为载体的条件探究题的一般思路

是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即

从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索.

逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者

善于从问题的结论出发，逆向追索,多途寻因.

»热考二以四边形为载体的条件探究题

例22012♦绥化已知，点E是矩形A笈CO的对角线8。上一

点,且BE=BCtAB=3,BC=4，点尸为EC上的一动点,且PQ

于点。，PR上BD于点R.

（1）如图Z2-2（甲），当点尸为线段EC中点时,易证：PR+PQ

12

■

"5'

⑵如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点反点C重

合）时,其他条件不变，贝!1（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

予证明；若不成立，请说明理由；

⑶如图（丙）.当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条

件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的

猜想.

解：(2)图乙中结论PR+PQN仍成立.

5

证明：如图1连接BP,过C点作CKLBD于点K,

.四边形4ECQ为矩形，二NECQ=90。，..6。二5.

\S-HCD=-BC-CD=IRDCK，二3X4=5CK，,CK=—.

225

十%Q・BC.

方法--SJCES严SHCP,.LBE,CK-PR-BE

1jj222

文；BE=BC，.-CK--PQr

212

,CK-PR^PQ雪N.

即u

方法二：如图2,过点尸作PMLCK于M,

四边形PAKW为矩形，.DKIIPA/,PMWRKf

,/BEC=^MPC.

又\BE-BCt.ABEC=AECB-AMPC.

=zLCQP=90°.PC=PC.

・.△PMC2CQP,

.MC=PQr

12

CK=KM+MC=PR+PQ=;

(3)尸K-PQ—

=5*

解以四边形为载体的条件探究题时要充分利用已知条

件或图形特征，进行猜想■归纳.类比，透彻分析出给定

条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，

这是一种归纳类比型思维.它要求解题者充分利用条件进

行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要

考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力•

»热考三代数与几何综合的条件探究题

例312012•乌鲁木齐］如图Z2-3，已知点4(•12,0)fB(3,0)

点C在y轴的正半轴上，且NACE=90°.(1)

求点C的坐标；

⑵求Rt-ACB的角平分线CD所在卓线I的解析式；

⑶在/上求点P,使其满足S=、S；

△PBC2&AriC

(4)已知点W在/上，在平面内是否存在点N,便以O.C.M

N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接

写出点N的坐标；若不存在.请说明理由.

图Z2-3

解：(l)^AOC-^COB,可得Oa=OAxOV=36f

.\\OC\=6.

又点。在y轴的正半轴上，故点C的坐标是(0,6).

又由|。4|>|。困，知点。在线段04上，。的二3,所以|。。|=2.故点

D(-2,0)；

设直线I的关系式为：y二奴+。，把C(0,6)和D(-2,0)代入y=Ax+b中

得"6，解之，得H=3,

故直线/的关系式为j=3x+6<

I-2&+力=0.tb=6,

⑶①取AB的中点网-4.5,0），过点尸作BC的平行线交直线

，于点P,连接CF.

易知S△尸仍。==一S.，点Pi为符合题意的点.

直线PxF可由直线BC向左平移波方|个单位得到（即向左平移

7.5个单位）

而直线6C的关系式为y=-2x+6,

即直线P1F的关系式为j=-2(x+7.5)+6,

fj=-2x-9,

即y=2-9,由］得点必(-3,-3).

Ly=3x+6.

②在直线i上取点Pl使CP2=CP1,此时wsA,P1BC°"QC

1

=2s-ACB1,.点B符合题意♦

由CPz=CP\,可得点Pi的坐标为(3J5)，,二点P(-3

-3)或P(3J5)可使S=kS♦

△PBC2-AVC

(4)存在点N分别为(1,3),］赞，-铛，

代数与几何综合的条件探究题，题目一般是融代数.几

何为一体的综合性问题，注重对数学思想方法.探索性思维

能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多.这种类型

的试题的处理方法一般需要几何题的处理方法，代数的计算

手段，创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从

而使问题得以解决.解题方法一般不惟一或解题路径不明确

要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解

题方案和过程.

W釉藕题

中考的新题型是近几年中考试题的一个考试热点之一，这

类试题取材广泛，题目的灵活性较大，它要求学生在较短的

时间内，在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法,

从而加以运用，解决实际问题.试题呈现形式有纯文型（全部

用文字展示条件和问题）.图文型（用文字和图形结合展示条

件和问题）,表文型（用文字和表格结合展示条件和问题）.改

错型（条件.问题.解题过程都已展示，但解题过程可能要改

正）.这类题型常出现的类型有：规律探索.阅读理解和图形

变换与动手操作等，它很好的考/学生适应新情况，探究新

方法.解决新问题的学习潜能与创新精神.

»热考一规律探索

例1[2012•宁波]用同样大小的黑色棋子按如图Z3

-1所示的规律摆放：

⑴第5个图形有多少颗黑色棋子?

(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.

第R个第2个第3个第4个

图Z3-1

［解析］(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其

中的规律，即可得出答案；

(2)根据⑴所找出的规律，列出式子，即可求出答案

解：(1)第一个图需根子6颗，第二个图需棋子9颗,

第三个图需棋子12颗，第四个图需棋子15颗,

第五个图需祖子18颗，…

第〃个图需棋子35+1)颗.

⑵第670个图形有2013颗黑色棋子.理由如下：

设第，i个图形有2013颗黑色棋子，

根据⑴得3(n+1)=根据,解得w=670f

答：(1)第5个图形有18颗黑色棋子.

⑵第670个图形有2013颗棋子.

规律探索常见类型：（1）数字猜想型；（2）数式规律

型；（3）图象变化猜想型；（4）数形结合猜想型；（5）坐

标变化型.要求通过观察，分析，推理,探求其中所蕴

含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.

A热考二阅读理解

例22。1。咸宁］如图Z3-2①，矩形MNPQ中，点&F、G、H分别在

NP.尸。、。林MN上.gzl=z2=z3=z4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ

的反射四边形・图②、图③，图④中，四边形43co为矩形，且48=4,BC=8.

［理解与作图］

(1)在图②.图③中，点E,万分别在5C.CD边上，试利用正方形网格在图

上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH；

［计算与猜想］

⑵求图②、图③中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边

形的周长是否为定值?

［启发与证明1

⑶如图④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长G/交8c的延长线于M,

试利用小华同学给我们的启发证明⑵中的猜想.

rj：br->

解：⑴作图如下：

⑵在图②中.EF=FG=GH=HE=^22+42=20=2vM,

!1!边形EFGH的周长为875.

江图③中,EF=GH=J22+I2=5.FG=HE=^32+62=\;，45

=3后

四边形EFG//的周长为2x75+2x3^5=875.

猜想：矩形ABCZ?的反射四边形的周长为定值.

(3)证法一：延长GH交CB的延长线于点N.

.N1=N2,Nl=N5,

「.N2=N5.

而FC=FCf,Rt^FCE^Rt^FCM.

.EF=MF,EC=MC.

同理:NH=EH.NB-EB.

,,MN=2BC=16

•/ZM=90O-Z5=90°-Z1,NN=90。~N3,

.NAf=Z7Vr.GM=GN.[

过点G作GK_L3C于K,贝UKAf-MN=

一2

,GM=\JGK2+KM2=\J42+82=4M,

!1!边形EFGH的周长为2GM=875.

证法二:.21=N2,Nl=N5,..N2=N5.

而FC-FC,.Rt△产CEMRt△尸C/.

：EF=MF,EC=MC.

•••ZM=90°-N5=90°-Z1.匕HEB=90O-Z4r

而N1=N4，.=NA/=NHEB,

・•.HEHG尸.同理：GHWEF.

•・四边形EFGH是平行四边形•

/FG=H£：.rT0Zl=Z4f

/Rt△FDG^Rt△HBE.：DG-BE.

过点G作GKLBC于K.贝!]KNl-KC^CM=GD+CM=BE+EC=8.

2222

/.GM=yjGK+KM=\；4+8=W5y

••四边形EFGH的周长为2GM=875.

＞热考三图形变换与动手操作

例32012•资阳如图Z3-3，在公4笈。中/C二90。

将△AHC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点

D处，已知MNWAB,MC=6,NC=冲，贝!J四边形M4笈N

的面积是（C）

A.6电12^3C.183D•243

［解析］连接CD,交MN于E,

.将沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在A夕边上的点。处.

.MN_LCDt^CE=DEt.CD=2CE,

2

S^CMNCE』

MN\\AB,.CD±AB,.△CMN-△C4〃，二--------=-----2=-

CD

••在△CMN中,"=90。.MC=6.NC=lj3

SACMN-一CM・CN--x6x2

22

===

•••SACAB4sAeMN4x6\b24A/5T

S四边形=S^CAB-$4即=24小-64=18G.

在已有知识的基础上，设计一个全新的数学情景，通

过阅读解题过程，领悟它所运用的数学知识,思想、方法

再模仿运用来解决问题.解题关键是吃透材料中体现的解

题策略，探索新的问题的解题方法.

)ill幡撇频

数学思想是数学知识的进一步提炼和升华，数学方法是

实施有关数学思想的一种方式,途径.解决数学问题除了需

要有扎实的基础知识外，还需要一定的方法和技巧，更需要

灵活运用数学方法和数学思想，才能使问题化难为易，变繁

为简，准确把握各种数学思想和方法，可以拓宽解题的思

路.纵观河南省近年中考试题中每一类题都有数学思想方法

的渗透.

常见的教学思想方法有：分类讨论，数形结合，化归转

化，函数思想，方程思想等.

»热考一分类讨论

例1[2012•三门峡实验中学一模]如图Z4•1,一次函数j

m

=fcx+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=一的图象的一

个交点为A(2,3).

(1)分别求出反比例函数和一次函数的关系式；

⑵过点A作ACrx轴，垂足为C,若点尸在反比例函数图象

上，旦△尸5C的面积等于18,求尸点的坐标.

图Z4-1

解：⑴把代入

A(2J)y=-得m=6.

.•该反比例函数表达式商工

吟理坡借盘齿装送次为复驾岗3•解得k={

(2)令%+2=0,解得x=・J即6(-4,0).

VAC-LxSf,..C(2,0)・.1。=6.设P(x,y)f

；S=^-BO\y\=18f：.y=6或,=-6.

△PRC[\2

分别代入产，得用=1或X2=-1.

.尸点的坐标为(1,6)或(■1,-6).

分类讨论的因素较多，归纳有以下几个方面：①与数

学概念.定义有关的分类讨论；②涉及数学运算法则或定

理.公式的适用范围的分类讨论；③由数学变形所需要的

限制条件所引起的分类讨论；④由于图形的不确定性引起

的分类讨论；⑤由于题目含有字母而引起的分类讨论.解

决这些问题时，要认真审题，全面考虑，根据其数量差异

与位置逐一讨论,做到不重不漏，条理清晰.

»热考二数形结合

例212,海南1如图Z4・2.顶点为尸(4,•4)的二次函数图象经过原

点0(0,0),点A在该图象上，OA交其对称轴/于点M,点M、N关于点尸对

称.连接AN、ON.

⑴求该二次函数的关系式；

⑵若点A的坐标是(6,・3),求AANO的面积；

(3)当点A在对称轴/右侧的二次函数图象上运动，

请解答下列问题：

①证明：NANM二

②认NO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐

标，如果不能，请说明理由.

解：(1)=二次函数图象的顶点为P(4,-4)r

.・设二次函数的关系式为j=a(x-4产一4.

又•.二次函数图象经过原点代,。)1

I,即―

.・.0=a(0・4)2・4,解得。=-

二次函数的关系式为y=K-4)

kx,将A(6,4-3)代入得-3=6k,

⑵设弯线OA的函数关系式为j=

解得k=1

••直线的函数关系式为9=，［把*=4代入户-工得-2.

12

/.Af(4,-2).

又..点A/,N关于点尸对称，/V(4,-6),MN=4.

•c__——*6x4-12»

⑶①证明：作AH±x轴于H,如图1,

(12)

设A点坐标为m,m-2m{m>4)

I4)f

则==12

一m，

4

由AOMD-OAH,得

DM^AH'

得DM=8-m..M(4,m-8).

••点M、N关于点P对称.，券(4,-m),

则直线4N的函数关系式为y--2m.

4"

,.直线AN与x轴交于点3(8,0),

..OD=〃£>=4：.DN±OB.

•.ON=BN.・•・乙ANM=4ONM.

②能.由题意可知NANO不可能为直角.

当ZAON=90。时,如图2,此时M(4,m-8),

..点MN关于点P系秋^,「N(4,m).一.DN=m.

^ilE△OMD-△NOD,「.---=12^L.・.i6=〃z(j〃-8)r

DMOD

解得mi=4+4A/1,mi=4-4\2(不合题意舍去)，

/.A(4+4A/2.4)一

当,O4N=90°时・作4早_Lx轴于NE±AH^E.

2

则OH=mfAH=2m--〃产.N(4,-m).：.AE二一-m,

44

NE=m-4.易证△04〃〜AA/VE.

OHAE

N/T解得nll=’吸=4（不合题意舍去）.

「.△ANO能为直角三角形，此时A（4+4电，4）.

用数形结合思想解答的题目常常有利用几何图形直

观表示数的问题；解决函数与图象的问题；运用数量关

系来研究几何图形问题等；这些问题要把代数式的精确

刻画与几何图形的直观描述相结合，进而探求解题思路.

.

热考三函数思想

例32()12•乌鲁木齐］如图Z4-3是一个抛物线形拱桥

的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的

立柱，相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细)，其

中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米.

(1)求正中间的立柱的高度；

⑵是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说

明理由.

AFOB

图Z4-3

解：⑴根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O.

以点O为原点.以AB所在的直线为x轴，建立直角坐

标系.

问题转化为求点C的纵坐标.

\OF\=OA-FA=40(米),故8(50,0),E(-40,3.6).

设抛物线的关系式为J=f/+cj]

502a+c=0f

解得《a250

2+c=

[40a3.6,1c=10.

-y=-嗜产+10f当X=0时，y=10.

即正中间的立柱OC的高度是10米.

(2)设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立

柱的高度是5米.

则有5=-志工2+10.解得：X=±25隹

•.相邻立柱之间的间距为10米，最中间的立柱OC

在y轴上，

根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，

/.x=±25而与题意不符，

.不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半.

函数思想就是用运动.变化的观点来观察.分析问

题，把所研究的问题纳入某个变化过程中，根据问题的

条件及所给的数量关系，构造函数关系，使问题在函数

关系中实现转化.

二热考四方程思想

期。42包头|如图Z4-4,在RBABC中，zC=90°fAC=4cmfBC

=5cmr点。在8c上■且C£>=3cm.现有两个动点尸、Q分别从点A和点B同

时出发，其中点P以1厘米做的速度沿AC向终点C运动，点。以1.25厘米解

的速度沿BC向终点C运动.过点尸作PEIIAC交4。于点E.连接EQ.设动点运

动时间为，秒”>0).

⑴连接。乙出1秒后，四跻EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由

⑵连接PQ,在运动过程中，不论1取何值时,总有线段PQ与线段AB平行

为什么？

(3)当，为何值时，△EDQ为直角三角形?

4r

解：（1）能•理由如下：经过1秒后，。。=5-3-1.25

=0.75.0ZJEPWBC,所以〜△4£>CAP

,所以〉二

EP1EP

EP

℃,所以4=3，又因为=0,75.所以EP=DQt所以

!1!边形EQDP是平行四边形.

(2)CQ=5-L25t,CP=4-tCO5-1.25/

，所以Y一1

JDC0

4-ZCP4-ZCQCP

T，U二1’所以旅=恁，所以△C0P-C..

所以NPQC=NABC,所以P0IIAR故不论，取何值时,

总有线段PQ与线段AB平行.

4r

⑶由题意可知，当。位于C。之间时，A£。。切解力直角三角形.

若NEQD为直角，贝必瓦DQ相似于AAOC.即空二匹一

EQAC=4'

列出方程：3・(5・L25f)3

4-/=4.得，=25

DE

若NDEQ为直角，贝！|△EQQs△CrM.艮口—DC.3

^DQ-AD5*

圻以"="=",AD=5AE=l.25t.

因为JOC相似于乂律，ff

ADAC4

所以DE-AD-AE=5-1.：251,£＞。=3-(5-1.250.

列出方程：5-1.25/=；3,得j=3.l.

3-(5-L25r)

经脸证，f=2.5和f=3.1都符合题意・

综上所述，当，=2,5或/二；11时，△E。。为直角三角形.

方程思想就是根据题设设定合适的未知数，并

通过列方程（组）来求解的思维方法，可使问题简单

明了，易于解决.

中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是

融代数,几何为一体的综合性问题,运动型问题，此类

题注重对数学思想方法，探索性思维能力和创新思维能

力的考蛰，涉及的知识点比较多，信息量大，题目灵活

多变，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力.它

符合课标对学生能力提高的要求.

--n

»热考动点问题与图形运动问题

例1⑵枣庄1如图Z5・1,在平面直角坐标系中.将一块等腰直角三角板

45c斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为(-1,0).3点在抛物线

J：%、9.2上.过点方作轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.

⑴求证：^BDC^COA；

(2)求所在直线的函数关系式；

⑶抛物线的对称轴上是否存在点P,使MCP是以AC为直角边的直角三角

形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图Z5-1

解：⑴证明：^^BCD+^ACO=90°,NACO+NOAC=90。，

../3。。=/。4。・・243。为等腰直角三角形,.BC=AC.

j，EDC=，CO4=900,

在△BDC左口ACYM中，〈N#CO=NOAC,.QBD84c

[BC=ACR

（2）・.・C点坐标为（-1,0）■.BD=CO=1.

・B点的横坐标为-3一.B点坐标为（・3,1）.

r-Ar+A=0,

设HC所在直线的函数关系式为y=kx+b.则有4

1-3A+力=1.

解之，得f.BC所在直线的函数关系式为j=_2X_I

⑶存在.（、

二次函数表达式为y=I*+4-2=+Dp一旦,

22212）8

.・对称轴为直线七1

--2-

若以AC为直角边，点。为直角顶点，对称轴上有一点G.使CPxA.AC.

1

.BC±AC，，点为直线与对称轴直线

Pi3Cx_）的交点.

111

y=■r.一，Xi=

222

由题意，得＜]解之，得

x=-1fJl=-

24

LT

J若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有7点Pi,

使AP±ACt过点A作APIIBC.交对称轴直线工二■一于点PJ

2

2

.CD=OAf/.A(0,2)・

易求得直线AP的关系式为y=-2+2,

22

□1

了=-，+2,X2=.),

由彳得

72=2.

〔，2、

/I2)

\24；

,・满足条件的点有两个坐标分别为Pil-i-巩?3

例2012*连云港|如图Z5■2,抛物线y=-x2+frx+c与x轴交

于43两点，与y轴交于点C,点O为抛物线的顶点，点E在抛物线上

点?在x轴上!1!边形OC£尸为矩形，且O尸=2,EF=3.

⑴求该抛物线所对应的函数关系式；

⑵求△A5D的面积；

⑶将三角形AOC绕点C逆时针旋转90。，点A对应点为点G,问点

G是否在该抛物线上？请说明理由.

［解析］(1)在矩形OCE尸中，已知OF.商尸的长，先

表示出GE的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的

关系式.

⑵根据⑴的函数关系式求出A.反。三点的坐标,

以45为底。点纵坐标的绝对值为高，可求出MHO的

面积.

⑶首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G

的坐标代入抛物线的函数关系式中直接进行判定即可.

解：因为四边形为矩形,

(1)OCEWOF=2,EF=3f

所以点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).把“二0“二3；"2,‘二3分别

代入J=--+床+c中得卜=3’解之得.c=3,

(3=-4+2。+c,b=2,

所以抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+2r+3.

(2)因为y=•r2+2》+3=・(x•+4,所以抛物线的顶点坐标为(1,4).

所以△43D中AB边上的高为4,

令尸得3+解之得x\=所以

0.2*+3=0f-1,x2=3fAfi=3-(-1)=4.

于是一笈。的面积为:x4x4=8.

⑶切。。绕点。逆时针旋转90。，C。落在CE所在的直线上，又由⑵可知，OA

=1,所以点A对应点G的坐标为(3,2).

当*=3时，产-32+2x3+3=0^2,所以点G不在该抛物线上.

例312•钦州］如图Z5-3甲，在平面直角坐标系中，点A.3

的坐标分别为(4,0).(03),抛物线y_③2+纵+，经过点B,且对称轴是

-4X

直线仁-

--T

图Z5■3

⑴求抛物线对应的函数关系式；

⑵将图甲中的△人笈。沿x轴向左平移得到△£>(%：(如图乙)，当四边

形ABCD是菱形时，请说明点