中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷（附答案）

学校:班级：姓名：考号：

（30题）

一、单选题

1.（2023・江苏无锡・统考中考真题）如图，“8C中，ZfiAC=55°,将“8。逆时针旋转a（00＜。＜55。）,得

到VA/）*.QR交AC干F.当仪=40。时.点。恰好落在月。卜.此时灰等干（）

A.80°B.85°C.90°D,95°

2.（2023・天津・统考中考真题）如图，把58C以点4为中心逆时针旋转得到VAOE,点8,C的对应点分

别是点。，E,且点E在8c的延长线上，连接30,则下列结论一•定正确的是（）

B.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.12023•四川宜宾・统考中考真题）如图，「ABC和一AOE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把3AOE

以A为中心顺时针旋转，点”为射线3。、CE的交点.若A8=G，AD=l.以下结论：

①BD=CE；②BD上CE；

③当点E在创的延长线上时，〃。=匕叵：

2

④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为:.

其中正确结论有（）

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Ei

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.12023•山东聊城•统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC,ZACB=90°,AB=正，点、C是矩形ECGF

与,ABC的公共顶点，且CE=I,CG=3；点。是C8延长线上一点，且6=2.连接8G,OF,在矩形ECGF

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段。/对应的氏度分别为〃?和〃,

c.MD.V13

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得

新五边形A'BCUE的顶点ZX落在直线8c上，则正五边龙旋转的度数至少为。.

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，A。为/B4C的平分线，且N84C=50。，将四边形A30C绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形4用。。，且NOAC'=100。，则四边形A30C旋转的角度牯.

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7.（2023・湖南常德・统考中考真题）如图1,在中，N/WC=90。，A3=8,BC=6,。是A8上一

点，且AO=2,过点。作。七〃BC交AC于E,将V4OE绕4点顺时针旋转到图2的位置.则图2中g2

的值为__________

?k

8.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线金。2分别是函数y=——（xvO）,y=—（攵＞。，1＞0）的图像，边

XX

长为6的正，A8C的顶点A在丁轴正半轴上，顶点6、C在X轴上（6在。的左侧），现将工8C绕原点。顺

时针旋转，当点B在曲线G上时，点A恰好在曲线。2上，则攵的值为.

9.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，线段48=8,点C是线段上的动点，将线段8C绕点8顺时针旋转

120。得到线段8。，连接CQ,在人4的上方作RtADCE,使NOCE=90,NE=30,点尸为。石的中点，连

接AF,当■最小时，ABCO的面积为.

10.（2023・江西・统考中考真题）如图，在YA8CD中，/8=60。，BC=2AB,将/W绕点A逆时针旋转角。

（0。＜。＜360。）得到4P,连接PC,PD.当//CO为直角三角形时，旋转角夕的度数为.

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D

11.（2023・上海・统考中考真题）妇图，在中，ZC=35°,将“绕着点人旋转a（00<a<180。）,

旋转后的点8落在3。卜.，点3的对应点为。，连接ADAO是N84。的角平分线，则a=.

12.（2023•湖南郴州•统考中考真题）如图，在RtZ\ABC中，Zfi4C=90°,AB=3cm,N8=60。.将

绕点A逆时针旋转，得到△AB'C,若点〃的对应点8,恰好落在线段8C上，则点。的运动路径长是

cm（结果用含乃的式子表小）.

13.（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，在R【Z\A8C中，4CB=90。,AC=3,8C=1,将一ABC绕点A逆

An

时针方向旋转90。，得到△AB'C'.连接8B',交AC于点、D,则』的值为.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰Z4=120°,A8=2.现将"SC以点8为旋转中

心旋转45。，得到△A7JC,延长CW交直线BC于点D则AO的长度为.

15.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）一副三角板A8C和OE尸中，

ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=\2.将它们叠合在一起，边8c与石尸重合，CO与A4相

交干点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将」）£尸绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,

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边E尸与4B相交于点”，连结。，，在旋转0。到60。的过程中，线段扫过的面积是

三、解答题

16.（2023•北京・统考中考真题）在."C中、ZB=ZC=a（0°<cr<45°）,/VW_LBC于点。是线段MC

上的动点（不与点M,C重合），将线段绕点。顺时针旋转2a得到线段。

（1）如图1,当点£在线段AC上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段8M上存在点尸（不与点从M重合）满足Ob=OC,连接AE,EF,直接写出NAM

的大小，并证明.

17.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,N分别是斜

边DE,力3的中点，OE=2.4B=4.

CEB］）/

图1图2

⑴将C龙绕顶点。旋转一周，请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;

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⑵瘠COE绕顶点C逆时针旋转120。（如图2）,求MN的长.

18.（2023・四川达州・统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,A8C的顶点均在小正方形

的格点上.

⑴将..A8C向下平移3个单位长度得到△/1）珞G,画出；

⑵将.ABC绕点、C顺时针旋转90度得到△4%G，画出△&；

⑶在（2）的运动过程中请计算出..A8C扫过的面积.

19.（2023•辽宁•统考中考真题）在RtAABC中，ZACB=90°,C4=CB,点O为A4的中点，点。在宜线A3

上（不与点4B重合），连接CD,线段。。绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,过点4作直线/J.3C,

过点E作垂足为点尸，直线E尸交直线。。于点G.

⑴如图，当点。与点。重合时，请直接写出线段A。与线段E/的数量关系;

（2）如图，当点。在线段人8上时，求证：CG+BD=yf2BCi

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(3)连接OE,.OE的面积记为S,.ABC的面积记为邑，当炉:比=1:3时，请直接写出今的值.

20.(2023・四川乐山・统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活

动

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第⑵页“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板J18C绕点A逆时针旋转。到达△AB'C的位置，那么可以得到：=

AC=AC,BC=B'CxABAC=AC,ZABC=ZABC,ZACB=ZACB,()

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图

形旋转的关键；故数学就是一门哲学.

【问题解决】

(1)上述问题情境中“()”处应填理由：；

(2)如图，小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板AAC绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板

AB'C的位置..

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①请在图中作出点o；

②如果38'=6cm,则在旋转过程中，点8经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在增上，使得一边位于水平位置，另

一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重:叠部分的面积是

多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题.

21.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）在平行四边形A3CZ）中（顶点4氏C。按逆时针方向排列）,

4

A8=12,4O=10,N8为锐角，且$in8=g.

（1）如图I,求/W边上的高C”的长.

（2）P是边A3上的一动点，点同时绕点P按逆时针方向旋转90。得点U。'.

①如图2,当点C落在射线C4上时，求呼的长.

②当△4C77是直角三角形时，求8P的长.

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22.（2023•四川南充•统考中考真题）如图，正方形A8C。中，点"在边8c上，点E是的中点，连接ED,

（1）求证：ED=EC；

⑵将肘T绕点E逆时针旋转，使点3的对应点9落在AC上，连接当点M在边8C上运动时（点M不

与6,。重合），判断二CM后的形状，并说明理由.

⑶在（2）的条件下，已知44=1,当N£）E"=45。时，求的长.

23.（2023.江苏扬州.统考中考真题）【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两块三角板

分别记作^ADB和AA'。。,ZADB=N/TOC=90。,ZB=ZC=30°,设A8=2.

【操作探究】

如图1,先将..4汨和AA'Q'C的边A。、AD重合，再将-A'Q'C绕着点A按飒咳的方向旋转，旋转角为

。（0。＜。＜360。），旋转过程中二4）8保持不动，连接5c.

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（2）当a=90。时,画出图形，并求两块三角板重替部分图形的面积：

⑶如图2,取8c的中点凡将_4万。绕着点A旋转一周，点尸的运动路径长为.

24.（2023・湖南•统考中考真题）（1）［问题探究］

如图1,在正方形力8。中，对角线AC、8。相交于点。.在线段4）上任取一点尸（端点除外），连接产。、PB.

②将线段OP绕点夕逆时针旋转，使点。落在川的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变

化时，NQPQ的大小是否发生变化？请说明理由：

③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由.

（2）［迁移探究］

如图2,将正方形ABCO换成菱形ABCQ,且NABC=60。，其他条件不变.试探究4Q与CP的数量关系，

并说明理由.

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25.(2023•湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(I)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和"三角形两边之和大于笫三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到..AFC,连接户P,

PA+PB+PC=PA!+PB+PP之代B,

由②可知,当3,P,尸，A在同一条直线上时，A4+P4+PC取最小值，如图2,最小值为48,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有乙4，。=/40。=44尸4=包；

已知当有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若N5ACZ120。，

则该三角形的“费马点''为迎点.

(2)如图4,在中，三个内隹均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知点P为」的“费

马点“，求必+尸B+PC的值；

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AA

(3)如图5,设村庄4,B,。的连线构成一个三角形,且已知AC=4km,BC=26km,ZACB=60°.现欲

建一中转站。沿直线向A,B,。三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,。的铺设成本分别为〃

元/km,。元/km,V2«7E/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含〃的式子表示)

26.(2023・四川・统考中考真题)如图I,已知线段人4C,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接3C,

以BC为边在BC上方作Rt_BDC，且ZDBC=30°.

⑴若N80G900,以48为边在AB上方作RtZkBAE,且44£6=90。，ZEBA=30°,连接。E,用等式表

示线段4。9/)月的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DEJ.AB,A3=4,AC=2,求BC的长：

(3)如图3,若/BCD=90。,A4=4,AC=2,当AO的值最大时，求此时tan/CBA的值.

27.(2023•湖北黄冈•统考中考真题)【问题呈现】

△C48和&CDE都是直角三角形，^ACB=ZDCE=90°,CB=mCA.CE=mCD,连接A。，BE,探究AO,

班:的位置关系.

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（2）如图2,当〃?HI时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出讦明：若不成立，说明理由.

【拓展应用］

（3）当阳二#,AB=4a,DE=4时，将二CDE绕点。旋转，使ARE三点恰好在同一直线上，求加的长.

28.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三

角尺放在正方形A8CO中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点。旋转三角尺时，45。角的两

边CM,CN始终与正方形的边AO,AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得一CMN.

\/图②图③

V图①

【探究一】如图②，把VCZW绕点C逆时针旋转90。得到一C8H,同时得到点，在直线A8上.求证：

/CNM=/CNH：

【探究二】在图②中，连接80，分别交CM,CN于点、E,F.求证：ACEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线8。与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连

接AC交3。于点。，求黑的值.

NM

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29.（2023・湖南•统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：

在正方形48c。的小上仔煮取一点G,以3G为山长向外作正方形"EPG,将正方形用沂7绛点4顺时针

旋转.

图①图②图③

特例感知：

（1）当AG在4c上时，连接OEAC相交于点P,小红发现点夕恰为。尸的中点，如图①.针对小红发现

的结论，请给出证明；

（2）小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是O尸中点P,如图②，根据小红发现的结论，

请判断VAPE的形状，并说明理由；

规律探究：

（3）如图③，将正方形跳尸G绕点8顺时针旋转。，连接。尸，点尸是。尸中点，连接”，EP,AE,VAPE

的形状是否发生改变？请说明理由.

30.（2023・贵州・统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究,

在等腰直角三角形A8C中，C4=Cfi,ZC=90°,过点8作射线瓦＞4AB,垂足为8,点。在CB上.

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图①图②

（1）【动手操作】

如图②，若点。在线段。5匕画出射线P4,并将射线P4绕点夕逆时针旋转90。与A。交干点用，根据题

意在图中画出图形，图中NP3E的度数为度;

（2）【问题探究】

根据（1）所画图形，探究线段外与尸石的数量关系，并说明理由;

⑶【拓展延伸】

如图③，若点尸在射线CB上移动，将射线以绕点夕逆时针旋转90。与8。交于点石，探究线段射,8。,3£之

间的数星关系，并说明理由.

参考答案

一、单选题

1.（2023・江苏无锡•统考中考真题）如图，..ABC中，ZBAC=55°,将工8C逆时针旋转。（0。<a<55。）,得

到VADE,OE交AC于足当。=40。时，点。恰好落在3c上，此时NA庄等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根据旋转可得々==再结合旋转角a=40。即可求解.

【详解】解：由旋转性质可得：N84C=ND4E=55。，AB=AD,

・.・a=40。，

A^DAF=i5°,ZB=ZADB=ZADE=70°,

・•・ZAFE=ZDAF+ZADE=85°，

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故选：B.

【点睛】本题考查/几何一旋转问题，掌握旋转的性质是关键.

2.（2023・天津•统考中考真题）如图，把乂3c以点4为中心逆时针旋转得到VAOE,点8,C的对应点分

别是点。，E,且点E在8C的延长线上，连接30,则下列结论一定正确的是（）

B.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得A8=AO,AC=AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意,

ZABC=ZADE

•••伊CE=ABC+?BAC

.••行1CE=ADE+?BAC,故C选项不符合题意，

彳为CB=AED

C4E+7CE4

]y\ED=CEA+?BED

WAE=BED,故A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

3.：2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，一48c和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE

以A为中心顺时针旋转，点M为射线B/）、CE的交点.若AB=g,AD=\.以下结论：

①BD=CE；②BDtCE；

③当点E在8A的延长线上时，MC=上更；

2

④在旋转过程中，当线段M3最短时，，加8c的面积为

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其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明.84注..04七即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明/OCMS/EGA得出

华二正1,即可判断③；以A为圆心，A。为半径画圆，当CE在：A的下方与（4相切时，MB的值最

62

小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt中MC=」BC?―MB?=0+1,然后根据三角形的面积公式

即可判断④.

【详解】解：•・,.ABC和“IDE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

BA=CA,DA=EA,NBAC=4DAE=90°,

・•・ABAD=ZCAE,

BAD^CAE,

A^ABD=ZACE,BD=CE,故①正确；

设乙4BO=NACK=a,

，ZDBC=45°-a,

/EMB=/DBC+NBCM=NDBC+NBCA+ZACE=45。-a+45。+a=90。，

：.BD工CE,故②正确；

当点E在丛的延长线上时，如图所示

VZDCM=ZECA,ZDMC=ZEAC=90°,

・•・/DCMs/ECA

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.MCCD

**AC-EC

■:入B=6AD=\.

•\CD=AC-AD=>/3-\,CE=jAE2+AC2=2

.MCG-1

.卞丁

.♦・=3一二,故③正确；

2

④如图所示，以A为圆心，A。为半径画圆，

/BMC=900,

；・当C£在QA的下方与0A相切时，力仍的值最小，ZADM=/DAE=ZAEM=90°

，四边形AEA/O是矩形，

又AE=4),

；・四边形AEMD是正方形，

:，MD=AE=\,

,•*BD=EC=ylAC2-AE2=V2，

:・MB=BD-MD=4i-\，

在RtMBC+,MC=yjBC2-MB2

••・阳取得最小值时，MC=4AB2+AC2-MB?=,3+3_(&_l「=V2+1

・•・S丽=!小欣?=；(拒一l)(&+l)=g

故④正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形

的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.12023•山东聊城•统考中考真题》如图，已知等腰直角“WC,乙48=90。，AB=无，点、C是矩形ECGF

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与.ABC的公共顶点，且CE=I,CG=3；点。是C5延长线上一点，且8=2.连接BG,。尸，在矩形ECGF

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段8G达到最长和最短时，线段尸对应的氏度分别为〃?和〃，

C.x/ioD.V13

【答案】D

【分析】根据锐角三角函数可求得AC=8C=1,当线段8G达到最长时，此时点G在点C的下方，且乩C,

G三点共线，求得8G=4,7X7=5,根据勾股定理求得。尸=疡，即机=回，当线段8G达到最短时,

此时点G在点C的上方，且??,C,G三点共线，则的=2,OG=1,根据勾股定理求得。"=e，即〃=&,

即可求得生二日.

n

【详解】为等腰直角三角形，人8=夜，JAC=BC=A8-sin45o=及x巫=1,

2

当线段8G达到最长时，此时点G在点。的下方，且8,C,G三点共线，如图：

DG=DB+BG=5,

在RtADG尸中，DF=ylDG2+GF2=yj52+\2=>/26»

即m=V26，

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当线段BG达到最短时，此时点G在点C的.上方，且8,C,G三点共线，如图:

DG=BG—DB=1,

在RtADG尸中，DF=y)DG2+GF2=>/12+12=>/2»

RJn=5/2»

故巴岑=屈,

〃V2

故选：D.

【点睛】本题考查了锐角一角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段8G最长和最短时的位置是解题的关键.

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形A8C7后的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得

新五边形ZB3E的顶点ZX落在直线BC1:,则正五边48a龙旋转的度数至少为。.

【答案】72

【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到N7X尸的度数，进而得出旋转的角度.

【详解】解：•••五边形A8CDE是正五边形，

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・•・ZDCF=360°-5=72°,

・••新五边形A'B'CDE的顶点以落在直线8C1:,则旋转的最小角度是72。，

故答案为：72.

【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用.

6.(2023・湖南张家界•统考中考真题)如图，A。为/R4C的平分线，且NK4C=50。，将四边形AAOC绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形面。。，且NQ4C=1(X)。，则四边形A8OC旋转的角度是.

【答案】750

【分析】根据角平分线的性质可得N84O=NOAC=25。，根据旋转的性质可得N84C==50。,

ZB,A(y=Z(yAC,=25°,求得NQ4O'=75。，即可求得旋转的角度.

【详解】•・•A。为NB4C的平分线，ZBAC=50°,

・•・ZBAO=ZOAC=25°,

:将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形A/r()V,

・•・/BAC=ZB'AC=50°,="AC=25°,

；・ZOACX=ZOAC-/CMC=100°-25。=75。，

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

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7.(2023・湖南常德・统考中考真题)如图1,在RlZ\A8C中，ZABC=90°,A8=8,BC=6,D是AB上

点、,且4)=2,过点。作。E〃BC交AC于E,将VAOE绕A点顺时针旋转到图2的位置..则图2中受

CE

的值为__________

_________AnAF

【分析】首先根据勾股定理得到AC=JA)+4C2=10,然后证明出得至1」三=罢，进

ABAC

而得到空=空，然后证明出-ABO-ACE,利用相似三角形的性质求解即可.

AEAC

【详解】•・•在RtZ\A4C中，ZABC=9O°,AB=8,BC=6,

・•・AC=y/AB2+BC2=10

,/DE//BC

/.ZADE=ZABC=9()%ZAED=ZACB

，XADEsAABC

.ADAE

**4^-7C

.ADAB

't~AE~~AC

'：/BAC=NDAE

ZB/4C+ZC4D=ZDAE+ZCAD

:.4BAD=NCAE

・•.ABDACE

.BDABS4

••布一就一记一丁

4

故答案为：T.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

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?k

8.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、。2分别是函数y=-±（x＜0），y=2（&＞。》＞0）的图像，边

XX

长为6的正,ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点8、。在X轴上（8在C的左侧），现将58C绕原点。顺

时针旋转，当点8在曲线C1上时，点A恰好在曲线G上，则々的值为

【答案】6

【分析】画出变换后的图像即可（面4AOB即可），当点人在丁相上，点、B、C在x轴上时，根据为等

（）B।

边三角形M.A013C,可得=二而，过点A、〃分别作工轴量线构造相似，则々8尸。so。，根据相似

OAV3

三角形的性质得出SO°E=3,进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解.

【详解】当点A在〉轴匕点8、。在x轴上时，连接AO.

•.“A8C为等边三角形且A0_Z8C,则N84O=30。，

•.tanZBAO=tan30。=空=立，

OA3

如图所示，过点AB分别作x轴的垂线，交x轴分别于点区产，

AOLBO,NBFO=ZAEO=ZAOB=琳,

ZBOF=90°-ZAOE=ZEAO,

.BFO^OEA,

.』二闽」，

S侬VOA）3

.5-H-j

',0BFO~2一''

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三侑形的性质与判定，正确作出辅助线构造相

似三角形是解题关键.

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9.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，线段A8=8,点C是线段上的动点，将线段8C绕点8顺时针旋转

120。得到线段8。，连接C。，在人8的上方作RtADC£,使/QCE=90,/E=30,点/为力上的中点，连

接AF,当心最小时，MCZ）的面积为.

【答案】73

【分析】连接C凡BF、即,6P交于点P,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得3尸垂直平分。尸，

乙48/=60。为定角，可得点F在射线8户上运动，当人户_LB/时，AF最小，由含30度角直角三角形的性

质即可求解.

【详解】解：连接C凡BF,BF,09交于点P,如图，

：NQCE=90,点尸为OE的中点，

・•・FC=FD,

,/NE=30,

JNFDC=60。，

二是等边三角形，

・•・ZDFC=ZFCD=60°；

•••线段BC绕点、B顺时针旋转120c得到线段BD,

：.BC=BD,

*/FC=FD,

・・・M垂直平分CF,ZABF=60°,

・•・点/在射线3户上运动，

，当4尸_1_8尸时，A尸最小，

此时ZFAB=90°-ZABF=30°,

JB/'=-A/?=4；

2

•・•ZBFC=-ZDFC=30°,

2

・•・士FCB=NBFC+/LABF=90°,

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:.BC=LBF=2,

2

•・,PB，BC=1,

2

由勾股定理得PC={BC2-PB?=J5，

JCD=2PC=2g,

・•・SARCD=-CDPB=-x2V3xl=V3；

故答案为：上.

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平

分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点尸的运动路径是关键与难点.

10.（2023・江西•统考中考真题）如图，在YA8C。中，ZB=60°,BC=2AB,将4B绕点A逆时针旋转角〃

（0。＜。＜360。）得到4P,连接PC,PD.当二PCD为直角三角形时，旋转角。的度数为.

【答案】90。或270。或180。

【分析】连接AC,根据已知条件可得NN4C=90°,进而分类讨论即可求解.

【详解】解：连接AC,取的中点E，连接A£，如图所示，

•；在YABCD中,ZB=60°,BC=2AB,

:.BE=CE=LBC=AB,

2

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•••-ABE是等边三角形,

A^BAE=ZAEB=a)°,AE=BE,

：.AE=EC

?.AEAC=NECA=-NAEB=30°,

2

；・ZBAC=90°

:.ACA.CD,

如图所示，当点尸在AC上时，此时N8AP=N8AC=90。,，则旋转角。的度数为90。,

1号

B*'------C

当点P在C4的延长线上时，如图所示，则。=360。-90。==270°

\/W

--------C

当P在阴的延长线上时，则旋转角。的度数为180。,如图所示,

VPA=PB=CD,PB//CD,

・•・四边形PACQ是平行四边形，

,?ACA./\B

・•・四边形PAC。是矩形，

ZPZX=90°

即△PDC是直角三角形，

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综上所述，旋转角a的度数为90。或270°或180。

故答案为：90。或270°或180。.

【点睛】本题考杳了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性

质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.（2023・上海・统考中考真题）如图，在A8C中，ZC=35°,将一A8C绕着点A旋转a（00<180。），

旋转后的点8落在8C上，点8的对应点为。，连接ADA£>是“8AC的角平分线，则。=.

【分析】如图，AB=AD,』BAD=a,根据角平分线的定义可得/。。=/84。=。，根据三角形的外角

性质可得乙408=35。+。，即得/8=乙4£>8=35。+。，然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：如图，根据题意可得：AI^AD,/BAD=a,

•・•AO是28AC的角平分线，

NC4O=NR4O=a,

VZA£>B=ZC+ZC4D=35°+a,AB=AD,

・•・/8=ZAO8=350+a,

则在58C中，•・•ZC+ZC4B+ZB=180°,

J35°+2tz+35°+a=18O°,

解得：a-

故答案为:用。

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EC

D

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟

练掌握相关图形的性质是解题的关键.

12.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在中,ZfiAC=90°,AB=3cm,4=60。.将

绕点A逆时针旋转，得到△4EC,若点？的对应点夕恰好落在线段上，则点C的运•动•路•径•长•是

cm（结果用含乃的式子表示）.

【答案】丛兀

【分析】由于4c旋转到AC,故C的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

则BC=2AB=2x3=6(cm).

；・AC=ylBC2-AB2=V62-32=3后(cm).

由旋转性质可知，人"=人"‘，又"8=60°,

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・••一人防'是等边三角豚

・•・ZK4/r=60°.

由旋转性质知，ZG4C=60°.

故弧CC的长度为：，x2x/rxAC=gx3g=JLr(cm)；

3603

故答案为：x/3TT

【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确。点的运动轨迹.

13.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在RtZ\ABC中，NACB=90。,AC=3,4C=1,将..ABC绕点A逆

时针方向旋转90。，得到△48'C.连接3B',交AC于点Q,则坐的值为.

【分析】过点。作_LA8于点忆利用勾股定理求得AB二M，根据旋转的性质可证4A8"、ADFB是

等腰直角三角形，可得DF=B产，再由SA.=gxBCxAO=gx。尸xAB,得人。=加£)尸，证明

I.AFD,可得空=空，即A/；=3。/"再由4/=而一。尸，求得。尸=巫，从而求得人力=],

BCAC42

CZ)=1,即可求解.

【详解】解：过点。作O^_LA3于点F,

VZ4CB=90°,AC=3,BC=\,

•*-'8=5/32+，=M,

•・•将一ABC绕点A逆时针方向旋转90。得到△AB'C,

AAB=AB,=y/\0,N8/B=90°,

是等腰直角三角形，

・•・ZAB£T=45°,

又：DFLAB,

・•・/FDB=45c,

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是等腰直角三角形，

DF=BF,

,/SAl)B=-xBCxAD=-xDFxABtB|JAD=MDF,

ZC=ZA/7)=90°,Z.CAH=ZFAD,

/.^AFD-A.ACB,

.DFAF

UPAF=3DF,

回

M-

4

M回

55

瓜3

-=----

42CD2

5

A2-

_-2刃-

cT

2-

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰一ABC,Z4=120°,AB=2.现将.工以点“为旋转中

心旋转45。，得到△A8C',延长CW交直线8C于点D则AQ的长度为.

【答案】4+26或4-26

［分析］根据题意，先求得AC=26，当以点8为旋转中心逆时针旋转45。，过点4作交AD

于点E,当“3C以点B为旋转中心顺时针旋转45。,过点。作。尸JL8C交8c于点尸，分别画出图形,

根据勾股定理以及旋转的性质即可求解•.

（详解］解：如图所示，过点A作AM±BCF点M,

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•・•等腰”BC,NBAC=120。，AB=2.

:.ZABC=ZACI3=30°,

：,AM=^AB=\,BM=CM=y]AB2-AM2=73,

:.BC=26，

如图所示，当..ABC以点3为旋转中心逆时针旋转45。，过点3作8E_LA8交4。于点E，

VZBAC=120°,

AZDAZB=60°,ZA'£3=30。，

在Rt3A'BE中，AE=2AB=4，=炉-A0=2百，

•・•等腰一ABC,ZBAC=120°,AB=2.

：.ZABC=ZACB=30°,

•IJSC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，

NAB4'=45。，

=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

在&A8O中，ZD=I800-ZDA^-ZA//?D=1800-600-1050=I5°,

:./D=/ERD,

・•・EB=ED=26,

，A,D=A,E+DE=4+2y/3,

如图所示，当ABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作。尸_L8C交8C于点尸,