专题08 特殊平行四边形计算与证明（测试）-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

专题08特殊平行四边形计算与证明

目录

・题型特训•精准提分

题型01利用矩形的性质与判定求解

题型02与矩形（或正方形）有关的折叠问题

题型03根据矩形的性质与判定解决多结论问题

题型04根据菱形的性质与判定求解

题型05根据正方形的性质与判定求解

题型06正方形与函数的相关问题

题型07与特殊四边形有关的新定义问题

中考逆袭•高效集训

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题型特训•精准提分

题型01利用矩形的性质与判定求解

1.（2023・胶州市二模）如图,在RtZkABC中,NBAC=90°,48=3,AC/，D为BC边上一点，DE

LAB,DF1AC,垂足分别是E,F,连接EE则EF的最小值为（）

5同B痂运

A3CD.V14

1414,15

【答案】B

【解析】解：连接AD，如图：

'：EEVAB,DFVAC,

••・N4ED=/4=90°,

VZBAC=90°,

・•・四边形人尸。石是矩形，

：.EF=AD,

要使Er最小，只要A。最小即可，

当4QJ_3C时，A。最短，

VZBAC=90°,AB=3,AC=遥，

ABC=7AP+AC2=V9+5=V14，

,:ZX/WC的面积=』xJ^X3=1xJl^X4。，

22

：.AD=

14

・・・敏的最小值为2迤，

14

故选：B.

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A

2.（2023•丽水模拟）如图，NAOB=90°,。。平分NAOB,PE工OA于点E,尸FJ_OC于点F,PGA.OB

于点G,则感迪的值是（）

A.\B.2C.V2D.V3

【答案】C

【解析】解：过点G作GM_LOC于点M,过点P作PN_LMG于点M

VZAOB=90°,PEA.OA,PG上OB,

・•・四边形OEPG为矩形，

：,OE=PG,

，：PNIMG,PFIOC,MG1,OC,

：・4PNM=4PFM=/NMF=90°,

，四边形/MNP为矩形，

PN=MF,

VZAOB=90°,OC平分N408,

，/MOG=45°,

：.OG=&OM,

同理PG=&PM

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*：ZEAH=6O0,

ZAEH=30°,

•••△AM是等边三角形，

：.AH=FH=^AE,

2

设AH=x,AE=AF=2x,

A£H=VAE2-AH2=V3X，

•・•等边三角形AQ的面积=iOCh/3cm2>

AyX2x-V3x=10°V3>

乙

解得x=10,

・"产的长为20cm,

故选:D.

5.（2024•深圳模拟）如图，在矩形A8CO中，AB=2,对角线AC与4。相交于点。，垂直平分04于

【答案】B

【解析】解：•••四边形ABC。是矩形,

：.AO=BO=CO=DO,

••YE垂直平分（用，

：.AB=AO,

：.AB=AO=BO,

••.△AOB是等边三角形,

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••・/B4C=60°，

：.BC=^3AB=2^3,

故选:B.

6.（2024•东安县一模）如图矩形ABC。的边4。在），轴上，点8的坐标为（屏,-2）,将矩形ABCD绕

点4逆时针旋转得到矩形AEFG此时，点8的对应点E与点。的对应点G均落在x轴上，则点尸的坐

C.(-2心2)D.(-275,V5)

【解析】解：如图，过点尸作/7/_Lx轴于点从

AC，£=VAE2-OA2=I>

•・•矩形ABCD绕点八逆时针旋转得到矩形AEFG,

:.AB=AE=FG=y[^>,ZAEF=90a,AE//FG,

・•・ZAEO=NFGH,

VZAOE=ZFHG=90°,

在aAE。和△产GH中,

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rZAOE=ZFHG=90°

ZAEO=ZFGH，

IAE=FG

且△R7"（/US）,

：,FH=0A=2,GH=OE=\,

•：/FHE=/EFG=90°,

・•・/FEH+NEFH=NGFH+NEFH=90°,

1/FEH=NGFH,

AtanZEFEH=tanZGFH,

・FH=GH

••施FH，

・2-1

・・OH+l~2

：・OH=3,

・・・尸（-3,2）,

故选：A.

7.（2024•汉台区校级三模）如图，在矩形ABC。中，对角线4C,8。交于点O,过点。作EF_L4C交A。

于点E,交BC于点F.已知AB=4,ZXAOE的面积为5,则QE的长为（）

D.3

【答案】D

【解析】解：如图，连接CE，

由题意可得，0E为对角线AC的垂直平分线,

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:.AE=CE,SMOE=S^COE=5,

S"CE=2S^COE=10.

.-.X\E*CD=10,

2

•・・CQ=4,

/•AE=EC=59

在RlZXCDE中，由勾股定理得：DE=^52-42=3-

故选：D.

8.（2024•子洲县校级二模）如图，在矩形A8CO中，点E在BC上,AE=AD=5,AB=3,AE与QC的延

长线交于点F,则的长是1）

4354

【答案】A

【解析】解：•・•四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,ZADC=ZB=ZBCD=90°,

:・NECF=NABE=90°,

2222

在RtAABE'I1,由勾股定理得：BE=>/AE-AB=VB~3=4,

:・EC=BC・BE=5・4=1,

•：4EFC=ZAFD,

:•△EFCS^AFD,

.”乌即CF二1

••而R'CF+37'

・3

♦•CF?

故选：A.

9.（2024•建平县一模）如图，在矩形A4CO中，A4=6,3c=10,以点6为圆心、3c的长为半径画弧交

4。于点E,再分别以点C,E为圆心、大于2CE的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线8尸交8于

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点G,则CG的长为（)

33

【答案】D

【解析】解：如图，连接EG,

根据作图过程可知：8尸是NEBC的平分线，

AZEBG=ZCBG,

在AEBG和4066中，

rEB=CB

NEBG:NCBG，

BG=BG

:,丛EBGW4CBG(S4S),

:.GE=GC,

在中，AB=6,BE=BC=\O,

4£：=22=

•*-JVBE-AB8，

：,DE=AD-AE=\0-S=2,

在RlZ\Z)G石中，DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,

：,EG2-DE2=DG2

ACG2-22=(6-CG)2,

解得CG=M

3

故选：D.

10.(2024•道里区模拟)如图，右矩形ABCO中，若AB=3,AC=5,处」，则4E的长为()

FC4

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322

【答案】C

【解析】解：•・•四边形人BCD是矩形，

AZA«C=90°,AD//BC,

AB=3yAC=5,

•••BC=VAC2-AB2=V52-32=4'

,/ADZ/BC,

ZEAF=ZBCF,ZAEF=ZCBF,

:.△EkFsXBCF,

.AE=AF

"BC而'

・・AF=1

.而I

.AE=J.

**BC]

.AE=1

.•~T1

：,AE=\,

故选：C.

11.（2023•蕉城区校级一模）如国平行四边形ABC。中，对角线AC、BD相交于点。，且0A=OB,ZOAD

【答案】见试题解答内容

【解析】解：•・•四边形A8CO是平行四边形,

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：,OA=OC,OB=OD,

•：OA=OB,

：.OA=OB=OC=OD,

：.AB=CD,

・•・四边形ABCQ是矩形，

/.ZADC=90°,

•・・/OOA=NO4O=65°,

：・NODC=NADC-NODA=25°.

故答案为：25°.

题型02与矩形（或正方形）有关的折叠问题

1.（2023•工.业园区校级二模）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8.点。为矩形48CO的对称中心,

点E为边A8上的动点，连接EO并延长交CO于点汽将四边形AEFD沿着E尸翻折，得到四边形A'

EFD',边A'E交边BC于点G,连接OG、OC,则△OGC的面积的最小值为（）

A.18-3V7B.9+3^7C.12D.6+^ZZ.

222

【答案】D

【解析】解：在E4上截取EM=EG,连接OM,

又,：EO=EO,

.)△MOE且△GOE,

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：・OM=OG,

最短时，OG也就最短，

而当OM_LA8时，OM最短，

此时，•・•点O为矩形ABCD的对称中心，

・•.0M=%C=4=OG,

2

即OG的最小值是4,

在AOGC中，：点0为矩形4BCO的对称中心，

・・・0C长度是矩形对角线长度的一半，即是5,定值，NBCO度数也不变，是定值，

・•・当。G=4最小值时，ZkOGC面积最小.

过点0作OHLBC,

•・•点0为矩形ABCD的对称中心，

・・・。”=工8=3,

2

22=22=

•••RtZXOG”中，^=VOG-OHV4-3V7-

Rt△OHC中，HC=4℃2.OH2=^5^-32=4，

；・GC=GH+HC=V7+4,

.,.△OGC面枳的最小值是■|■XGCX0”=■^X（V7+4）X3=知心

故选：£）.

2.（2023•黔东南州二模）如图，在矩形48co中，A8=3,8c=4,点E是A3的中点,点〃是AO上的动

点，将矩形ABC。沿E尸折叠，使点A落在点A'处，连接CA',DA',则△CA'。面积的最小值为

15•

4一

【解析】解：由折叠的性质可得：EA'=EA,

・••点A的运动轨迹是以点E为圆心，EA为半径的圆上的一段弧,

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垂足分别为G、H,

•・•四边形ABCZ）是矩形，AB=3,

：.EAf=E4=LlA=3,NBAD=ND=90°,

22

AD=BC=4,CD=AB=3,

，四边形4七〃。是矩形,

EH=AD=4,

VSACA*D=^CDXA'G=^-A'G,

22

・••当A'G最小时，△CA'。的面积最小,

■:EA+AG>EH,

・/G2EH-A'E=4-3=互,

22

当点4'在"/上时，ArG最小，最小为苴,

2

•••△C4'。面积的最小值为3x区=」旦

224

故答案为：至

4

3.（2024•武侯区校级一模）如图，矩形A8CO中，已知A8=3,BC=6,E为AD边上一动点、,将△A8E

沿B£边翻折到△尸8E,点A与点尸重合，连接。F、CF.则。昼工产。的最小值为久运.

2—2—

【答案］aZ亘.

2

【解析】解：在4c上取点G,使BG=1.5,连接/G,DG,如图

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•・•XABE沿BE边翻折到△尸BE,

：.BF=AB=3

XVBC=6,

•.---B--G--_--1-，--B--F--_--1-，

BF2BC2

・BG=BF

**BFBC'

又/FBG=NCBF,

:•△FBGs/xCBF,

・GF=BF=_I

**CFBC~2

:.FG=£CF,

2

・•・DF+^FC=DF+GF2DG,

2

当。、F、G三点共线时，。“十工”C最小，

2

在RtZXCOG中，CD=AB=3t

CG=BC-BG=4.5,ZBCD=9()°，

22=

.•.DG=5/cD-H：G^y^«

即DF+1FC的最小值为3/豆.

22

故答案为：2逗.

2

4.(2024•桂阳县模拟)在平行四边形A4CQ中，过点。作。于点E,点尸在边CO上，CF=AE,

连接AF,BF.

(1)求证：四边形EBFQ是矩形.

(2)若4E=3,DE=4,DF=5,求证：AF平分NQ/W.

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(2)证明见解析过程.

【解析】证明：(1)•・•四边形ABCO是平行四边形，

:.CD〃AB,CD=AB,

*：CF=AE,

:.CD-CF=AB-AE,即DF=BE,

・•・四边形8£7力是平行四边形，

'：DEA.AB,即/。£8=90。，

，团8EFD是矩形.

(2)'：DE±AB,

22

・••在RtZXAOE中，AD=VAE2+DE2=7S+4=5,

•・•£＞尸=5,

:.AD=DF,

：.ZDAF=^DFA,

*：CD//AB,

：,ZDFA=ZFAB,

：.ZDAF=ZFAB,

・・・A/平分/OA8.

5.(2024•文山市模拟)如图，在平行四边形ABC。中，NAC8=90°,过点。作。E_L8C交BC的延长线

于点E,连接AE交C。于点尸.

(1)求证：四边形ACEO是矩形；

(2)连接BF,若NA8C=60°,CE=3,求B/7的长.

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【答案】（1）见解答；

（2）的长是3时.

【解析】（1）证明：・・・NAC8=90°,

；・ACL8C,

■:DE工BC,

：,AC//DE,

•・•四边形A8CO是平行四边形，点E在8c的延长线上，

：.AD//CE,

・•・四边形ACTO是平行四边形，

VZ4CE=90°,

・•・四边形ACEQ是矩形.

（2）解：•・•四边形ACE/）是矩形，四边形人BCQ是平行四边形,

：.AE=CD=AB,AF=EF,AD=CE=CB=3,

VZABC=60°,

•••△ABC是等边三角形，

：.BFLAE,AB=AE=BE=2CE=2X3=6,

；・NAFB=90°,4F=XlE=lx6=3,

22

工fiF=VAB2-AF2=V62-32=36,

・・.6尸的长是3时.

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6.（2U24•会泽县校级模拟）如图，在RlAA8c'中，ZC=90°.平分NH4C交AC于点。，过点。作

DE〃AC交A8于点石，产是AC上的一点，且CF=AE,连接EK

（1）求证：四边形CDEF是矩形.

（2）若A产=2,N4=30°,求△AB。的面积.

【答案】(1)见解析；

(2)12^3.

【解析】(1)证明：TA。平分NBAC,

：,ZDAC=ZDAE.

*：DE//AC,

・•・ZDAC=NADE,

・•・ZADE=ZDAE,

：.AE=DE.

yCF=AE,

:・DE=CF,

・•・西边形CDEF是平行四边形.

又・・・NC=9()°,

・•・四边形C/九尸是矩形；

(2)解：VZC=90°,ZB=30°,

・・・NCA8=60°.

由(1)知，在矩形CQE/中，ZCFE=ZCDE=90°,

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:・NEM=NEDB=90",

AZAEF=30°.

在RtZ\A£F中，A£=2A尸=2X2=4,

：.DE=CF=AE=4,

：.AC=CF+AF=2+4=6.

DE44l

在R4DE中，BD=o=-r-=4«,

tanBptanO30A73

~3~

'SAABD=yBD-AC=yxWax6=12心

乙乙

•••△A3。的面积为

题型03根据矩形的性质与判定解决多结论问题

1.（2023•遵化市二模）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.

已知：如图，在△4BC中，/48C=90°,点。是AC的中点.

求证：OB=LC.

2

证明：延长80到。，使OD=OB,连接4。、CD,中间的记明过程排乱了:

©VZABC=90°；

②•；OD=OB,OA=OC；

③・•・四边形ABCD是平行四边形：

④，四边形A4C。是矩形.

：.AC=BD,/.OB=^BD=X\C.

22

【答案】D

【解析】证明：延长30至点D,使。。=。8,连接A。、CD,

•••00=08,OA=OC,

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・•・四边形A4CO是平行四边形，

•・・NA8C=90。，

・•・四边形48co是矩形，

:・AC=BD,

・•・0B=^ACBD=^AC,

22

・•・证明过程正确的顺序是②③①④：

故选：D.

2.（2024•丽水一模）如图，在矩形/WC7）中，AC与交于点O,点石是BC上一点，连结。E交对角线

AC于立若NCFD=2NBAC,则下列结论错误的是（）

A.ZA0D=ZDFCB.ZDFA=ZD0C

C.NEFC=2NACBD.NDCF=2NFD0

【答案】。

【解析】解：•・•四边形人8CO是矩形，

:.AC=BD,BO=、BD,

22

：.AO=BO,

：.ZOAB=ZOBA,

・•・ZA0D=Z0AB+Z0BA=2^BAC,

•：NCFD=2NBAC,

:・/A0D=/CFD,故4不符合题意；

VZDM=1800-NDFC,NZ)0C=180°-/AO。，

:・/DFA=NDOC,故B不符合题意；

VZDM=1800-ZDFC=18()°-2Z/MC,N8AC+NAC8=90°,

：.ZDFA=2ZACB,

又,：/DFA=NEFC,

：./EFC=2NACB,故。不符合题意：

第19页共97页

,/ZAOD=2ZBAC=2ZBDC,ZAOD=NBDC+NDCF,

:./BDC+NDCF=2/BDC,

：.ZDCF=ZBDC=ZBDF+ZFDO,故。符合题意；

故选：Q.

3.(2024春•高州市月考)如图：四边形ABCQ是矩形，点尸在BC边上，4尸平分N84O且4O=AF,DE

_LA尸垂足为点E,连接BE并延长交C。于点G,连接。尸交8G于点”，连接EC交。尸于点/,有下

列结论：&ZAFD=ZCFD,②。/垂直且平分EC；③△EFgXEH。,@AB=EG.其中正确的结论有

()个.

A.①③④B.③©C.①②D.①©④

【答案】C

【解析】解：①•・•四边形ABCD是矩形，

：.AD//BC,NBC7)=90°,

ZADF=NCFD,

*：AD=AF,

:.ZAFD=NADF,

/./AFD=/CFD,

故①正确：

②Y4AFD=4CFD,DEA,AF,DCIBC,

：・DE=DC,

二。在CE的垂直平分线，

在RlZkOE和RiA。。/中，

(DE=DCt

lDF=DF，

ARtADEF^RtADCF(HL),

:.EF=CF,

・•・点F在CE的垂直平分线,

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・・・。尸垂直且平分EC；

故②正确：

③・.・4F平分NBAQ,

・・・NOA尸=45°,

・・・NAOE=45°,

/.ZEDC=45°,

乂•：ED=DC,

・•・丛EDC不可能是等边三角形,

:・ED于EC,

错误：

故③错误：

®'：AB=CD,ED=CD,

：,AB=ED,

VZEDG=45°,

工ED¥EG,

：,AB^=EG.

故④错误.

故选：C.

4.（2024•宁波模拟）如图，在矩形A8C。中，AD地AE，/8AD的平分线交8C于点E,DHLAE,垂足

为“，连接8”并延长，交CD于点、F,DE交BF于点、O.有下列结论：①NAED=/CED；®OE=ODx

③BH=HF；@BC-CF=2HE,其中正确的是（）

A

B

A.①③B.①@③C.①②④D.③④

【答案】D

【解析】解：•・•在矩形A8CO+«,AE平分N84Q,

・・.NB4E=ND4E=45°,

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•••△A4E是等腰直角三角形，

:・AE=®AB,

VAD=V2AB,

：,AE=AD,

在△A8E和△A"。中，

[ZBAE=ZDAE

ZABE=ZAHD=90°»

IAE=AD

A/\ABE^/\AHDCAAS),

:・BE=DH,

:.AB=BE=AH=HD,

：.ZADE=ZAED=1-(180°・45°)=67.5°,

2

/.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

:./AED=/CED,故①正确；

'：AB=AH,

'：ZAHB=1.(180°-45°)=67.5°,NAHB(对顶角相等),

2

：.4OHE=675°=ZAED,

：.OE=OH,

VZDHO=90°-67.5°=22.5°,ZODH=61.5°-45°=22.5°,

：.ZDHO=ZODH,

:.OH=OD,

：.OE=OD=OH,故②正确；

VZE5H=90°-67.5°=22.5°,

/EBH=/OHD,

在△BE”和△〃/乃中，

rZEBH=Z0HD=22.5°

(BE=DH，

ZAEB=ZHDF=45°

A(ASA),

:.BH=HF,HE=DF,故③正确；

第22页共97页

,:HE=AE-AH=BC-CD,

：.BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确；

故选：D.

5.(2023春•来凤县期末)如图，在四边形A8CQ中，NA=NB=90°,AD=\0cm,BC=8c〃?，点尸从点

D出发，以Icm/s的速度向点4运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动

点到达端点时.，两个动点同时停止运动，设点尸的运动时间为/(单位：$),下列结论：

①当f=4$时，四边形ABMP为矩形；

②当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形；

③当CQ=PM时，f=4或5s；

④当。。=尸河时，，=4或6$.

其中结论正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】4

【解析】解：根据题意，可得DP—c/w,BM=ian,

*.*AD=10cm»BC=Scm,

・'・AP=(10-/)cm,CM=(8-r)on,

当四边形48Mp为矩形时，AP=BM,

2010-r=r,解得，=5,故①不正确；

当四边形CDPM为平行四边形时，则DP=CM,

即8-t=t,解得r=4,故②不正确;

当。。=尸例时，分两种情况：

当四边形CDPM是平行四边形时，则DP=CM,

即8r=z,解得/=4,

当四边形CDPM是等腰梯形时，

过点M作MG_LAO于点G,过点。作CH_LAO于点儿如图所示，

第23页共97页

AGHD

则NMGP=NC”O=90°,

•：CD=PM,GM=HC,

：.RtAMGP^Rl/^CHD(HL),

：,GP=HD,

・•・AG;APWP=10-tJ-(尸,

乙

又3M=3NA=N8=90",MG±AD,

：,AG=BM,

即t=10-t上”•

乙

解得f=6,

综上可得，当CO=PMH寸，

t=6或t=4,

故③错误，④正确，

,正确的结论有1个.

故选：A.

题型04根据菱形的性质与判定求解

1.（2023秋•青山区校级期中）如图，点O是菱形A8CO对角线的交点，QE〃AC,CE//BD,连接OE,设

AC=4,8。=8,则OE的长为（）

A.243B.2V5C.20D.10

【答案】B

第24页共97页

【解析】解：•••Q£〃AC,CE//BD,

・•・四边形OCED为平行四边形，

•・•四边形48co是菱形，AC=4,8。=8,

・"C_LBD,OA=OC=X^C=2,OB=OD=^BD=4,

22

22=22=

：.ZDOC=90°,CD=A/0CODV2+4275*

・•・平行四边形OCE。为矩形，

：.OE=CD=2^＞，

故选：B.

2.12024春•东台市月考）如图，四边形A8CO是菱形，A4=5,DB=6,于H,则DH等于（）

55

【答案】4

【解析】解：如图所示，设菱形的对角线交于O,

OB=~^~BD=3,ACJ_BD,

J

：・0A=7AB2-0B2=4*

・"C=2CM=8,

「s菱形ABCD=AB训=黑BD，

.AC-BD24

“PHfy，

故选；A.

第25页共97页

3.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCQ的边长为6,点例是对角线AC上的一动点，且N43C=

120°,则MA+M8+MO的最小值是（）

A.3V3B.3+3y/3c.6+VsD.673

【答案】。

【解析】解：如图，过点。作。于点E,连接BD,

「菱形ABC。中，N4BC=120°,

/.ZDAB=60°，AD=AB=DC=BC,

:.△ADA是等边三角形，

：.ZMAE=30°,

：.AM=2ME,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=IDE,

根据垂线段最短，此时。E最短，即M4+M8+M。最小，

•・•菱形A8CQ的边长为6,

・,•D£=7AD2-AE2=A/62-32=3'

：.2DE=（y/3-

：.MA+MB+MD的最小值是6々5

故选:D.

4.（2024•天河区校级一模）如图，四边形A8C。是菱形，E、F分别是BC、CO两边上的点，不能保证^

AEC和△APC一定全等的条件是（）

第26页共97页

A.ZAEC=AAFCB.EC=FCC.AE=AFD.NBAE=NDAF

【答案】C

【解析】解：:四边形ANC。是菱形，

，ZACE=ZACF,

A、在△AEC和△4PC中，

fZACE=ZACF

ZAEC=ZAFC

IAC=AC

.-.△AEC^AAFC(AAS),故选项A不符合题意：

B、在△AEC和广C中，

'EC二FC

NACE=NACF，

AC=AC

(SAS),故选项B不符合题意；

C、由AE=AF,ZACE=ZACF,AC=AC,不能判定△AEC和△4FC一定全等，故选项C符合题意；

D、•・•四边形ABCQ是菱形，

：.ZBAC=ZDAC,

ZBAE=ZDAF,

：.ZCAE=ZCAF,

在△AEC和△人人?中，

fZCAE=ZCAF

AC=AC，

IZACE=ZACF

A(ASA),

故选项。不符合题意；

故选：C.

5.(2024•泌阳县一模)如图，菱形A3CO的对角线AC,83相交于点O,过点。作。H_LA8于点从连

接O”，若AC=8,S菱形ABCO=24,则OH的长为()

第27页共97页

B

A.3B.4C.4.8D.5

【答案】A

【解析】解：•・•四边形ABC。是菱形，

：,AC.LBD,DO=BO,AO=（）C,

VAC=8,S菱形A38=X4C-8D=24,

2

.•△x8・8O=24,

2

：,BD=6,

'：DHVBC,

・・・NOH8=90°,

•；DO=BO,

.•・o〃=_l/eo=3,

2

故选：A.

6.（2024春•渝中区校级月考）如图，在菱形A3C。中，对角线AC、8。交于点。，点G是AB的中点，若

OG=2.5,BD=8,则菱形A8c。的面积是（）

A.48B.36C.24D.18

【答案】C

【解析】解：•・•菱形A8CQ,

.*.ACLBD,AC=2AO,B0」BD

V06=2.5,BO=8,

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：,AB=2OG=5,40=4,

•*-A0=VAB2-B02=3f

：.AC=2AO=6,

工菱形ABCD的面积是上ACBD=24.

2

故选：C.

7.(2024•湖北一模)如图，在菱形ABC。中，点尸是8C边上一动点，P和C不重合，连接AP,A尸的垂

直平分线交于点G,交AP于点E,在P点由8点到C点的运动过程中，NAPG的大小变化情况是

()

C.先变小后变大D.不变

【答案】D

连接AC交8。于O,连接EO、AG,

•・•四边形A8CO是菱形，

・・・NAOB=90°,

〈EG是AP的垂直平分线，

：.AG=PG,NAEG=NAOB=90°,

."、E、G、。四点共圆，

••・N%G=NE08,ZAPG=ZPAG,

：.ZE0G=NAPG,

•・•四边形48CO是菱形，

：,OA=OC,

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YAE=PE,

：.OE〃BC,

・•・NEOB=NDBC=L/ABC,

2

,•,菱形ABCD固定，

・・・N48C的度数固定，

却的度数不变，

故选：D.

8.(2024♦项城市校级二模)如图，在平面直角坐标系中，。是菱形人8CO对角线8。的中点，人。〃x轴且

4。=4,NA=60。，将菱形A8C。绕点O顺时针旋转，使点。落在x轴正半轴上，则旋转后点C的对'

应点的坐标是()

y-

74

BC

A.(0,2^3)B.(2,-4)C.<2^3,0)D.(0,-273)

【答案】D

【解析】解：根据菱形的对称性可得:当点。落在x轴正半地上时，

A、B、C均在坐标轴上，如图，

VZBAD=60°,AD=4,

：.ZOAD=30°,

：.OD=2,

.•・40=五02_0口2=116-4=OC，

・••点C的坐标为(0,-2V3).

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9.（2023•耿马县模拟）如图，在菱形/WCO中，对角线AC,BD交于点、O,过点A作人E_L8C于点E,延

长4c到点P,使得CF=4£,连接。P,

（1）求证：四边形AEPO是矩形；

（2）连接。E,若AB=13,OE=求4E的长.

(2)12.

【解析】(1)证明：•・•四边形ABCO是菱形,

，AO〃4c且AQ=BC,

,:BE=CF,

:・BC=EF,

：,AD=EF,

\'AD//EF,

・•・四边形AEFO是平行四边形，

V/1E1BC,

AZA£F=90°,

1・四边形AEFD是矩形；

(2)解：•・•四边形A8CD是菱形，AB=\3,

：.BC=AB=\3,ACLBD,OA=OC=-L\C,OB=OD=^BD,

22

第31页共97页

*：AEVBC,

・・・N4EC=90”,

0E=AAC=OA=2V13，AC=2OE=4y[13,

2

•••^=VAB2-OA2=V132-(2A/13)2=3V13，

：,BD=2OB=(r/13^

•・•菱形人BCD的面积=」J6OXAC=5CXA，

2

即工X6^13X4^13=13X4E,

2

解得：AE=\2.

10.(2023•水磨沟区模拟)如图，菱形A4C。的对角线AC、3。相交于点。，过点。作。£〃AC,且。七

=XAC,连接CE、OE,连接AE交。。于点尸.

2

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形A8C。的边长为8,NABC=60°,求AE的长.

【解析】解：(1)在菱形A8CD中，OC=Lc,ACLBD.

2

XVDE=-UC,

2

：.DE=OC.

,JDEZ/AC,

・••四边形OCED是平行四边形.

VZCOD=90°,

・•・平行四边形OCED是矩形.

：.OE=CD.

(2)在菱形48co中，AB=BC,N43C=60°,

・•・△A3C是等边三角形,

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.\AC=AB=S,A0=4.

:.在矩形OCED'|>,CE=OD=«刈2_卜02=4f.

又•・•矩形OOCE中，ZOCE=90°,

・•.在RtZXACE中，但底2苛=在2+（4禽）2=4有.

11.（2024•海淀区校级模拟）如图，在RtZXABC中，NAC5=9D°，。为4B的中点，连接CD,过点4作

AG//DC,过点。作CG〃D4,4G与CG相交于点G.

（1）求证：四边形AOCG是菱形；

（2）若AB=10,tan/C4G=旦，求BC的长.

【答案】（1）见解析过程；

（2）6.

【解析】（1）证明：VAG//DC,CG//DA,

・•・四边形ADCG是平行四边形，

•・•在RtZXABC中，NAC8=90°,。为边的中点,

.\AD=CD=^AB,

2

・•・四边形AOCG是菱形；

（2）解：TCG〃。/K

ZBAC=ZACG,

・・・tanNC4G=tanNBAC=K=3,

AC4

；•设BC=3x,AC=4v,

第33页共97页

.\AB=5x=10,

•♦x=2,

BC=3x=6.

12.（2024•贵州一模）将两张完全相同的矩形纸片ABC。、/8即按如图方式放置，8。为重合的对角线.重

叠部分为四边形DHBG,

（1）试判断四边形。”BG为何种特殊的四边形，并说明理由；

（2）若人/?=8,40=4,求四边形。"BG的面积.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：(1)四边形。H8G是菱形.理由如下：

•・•四边形A8CZ)、所中是完全相同的矩形，

AZA=ZE=90°,AD=ED,AB=EB.

'AD=ED

在△D48和△。石8中，ZA=ZE*

AB=EB

:./\DAB迫4DEB(SAS),

/.NABD=NEBD.

•:AB"CD,DF//BE,

・•・四边形DHBG是平行四边形，/HDB=/EBD,

；・NHDB=/HBD,

；・DH=BH,

・・・M>〃BG是菱形.

(2)由(1),设DH=BH=x,贝ljA"=8-x,

222

在RtZ\4。”中，AD+AH=DHf即42+(8-x)2=『,

解得：x=5,即BH=5,

；・菱形DHBG的面积为“B・AO=5X4=20.

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13.(2024•巧家县模拟)如图，44BC中，NBC4=90°,C。是边AB上的中线，分别过点C,。作84

和的平行线，两线交于点E,且。石交AC于点O,连接

(1