《反对称矩阵的基本概念》1600字

反对称矩阵的基本概念综述1.1反对称矩阵的定义设矩阵为一个方阵,如果满足，那么为反对称矩阵.如果反对称矩阵的元素均在实数域上，那么为实反对称矩阵.1.2反对称矩阵的基本性质设和都为实反对称矩阵，那么满足以下性质:性质1的主对角线上的元素全都为零.性质2与的和或差,的数乘以及转置都是反对称矩阵.性质3如果是非奇异的矩阵，那么也是反对称矩阵.性质4也为反对称矩阵.矩阵与之乘是对称矩阵的等价条件为与的乘法可交换.如果设为正整数，那么当时，即为偶数时,是反对称矩阵.当时，即为奇数时,是对称矩阵.性质5的特征值只为零或者纯虚数.性质6如果数是的其中一个特征值，那么的相反数同样也是的一个特征值.性质7与同样阶数的单位矩阵之和是非奇异的矩阵.性质8的合同矩阵依然是实反对称矩阵.性质9假设是任意给定的一个方阵，那么可知一定是反对称矩阵.性质10奇数阶的的行列式全部都为零，偶数阶的的行列式大于或等于零,所以的行列式全部都为非负的实数，不可能存在奇数阶的是非奇异的矩阵.性质11的两个不互为相反数的特征值所对应的特征向量两两正交.证明不妨设的其中两个特征值分别为、，、分别是的对应于特征值、的特征向量，则，.用表示、的内积,那么有.所以.由于实反对称特征值除零以外都是以互反的纯虚数对(由性质6)出现，如果，取相反的纯虚数，此时，显然无法说明，的正交性.当，取相反的纯虚数时，，此时,所以，正交.结论得证.性质12的特征值全部都为零的充要条件为是零矩阵.性质13与矩阵合同.(法1)因为的阶数为，不妨设，（1）当时，是零矩阵,命题显然成立.（2）当时，如果，那么为零矩阵，命题成立.如果，取可逆矩阵，可以使得,即与合同，命题成立.（3）假设对于阶数小于的,命题成立.同样证明阶的命也成立.如果的第一行全部都为零，不妨设，为阶的反对称矩阵.根据归纳假设可以知道，必定存在一个阶的非奇异矩阵,可以使得与矩阵的形式相同,即:.设,则有.设，其中为阶单位矩阵，则有.设,则有,所以与的形式为合同矩阵.如果的第一行不全为零，设，不妨设，进而对实施下面的初等变换：再取，则可以得到，因为所做变换是对称式的，所以是一个阶的实反对称矩阵，根据归纳假设，一定存在一个阶的非奇异矩阵,可以使得与矩阵的形式相同,即:,不妨设且,则,所以与矩阵的结构合同.性质得证.性质14对于任意给定的维列向量,都是成立的.性质15设的阶数为,并且有.性质16如果中有一个阶的主子式，并且全部的含有主子式的阶的主子式和阶的主子式都为零，则有.性质17如果的全部阶的主子式和阶的主子式都为零，则.性质18设的秩为，阶数为,那么至少存在一个阶的主子式不等于零.性质19设的元素是在实数域上，则的纯虚数特征值所对应的特征向量的实部与虚部向量的模长相等且相互正交.性质20的秩为偶数，且它的秩的个数等于它的非零特征根的个数.证明由性质13可以得到:(1)与矩阵合同.显然的秩必定为偶数，又因为合同矩阵的秩相同，所以的秩也为偶数.(2)由文可知，对于任意给定的，都可以找到一个酉矩阵,可以使得酉相似对角化,即是对角矩阵.所以,不妨设与对角矩阵相似，根据相似矩阵的性质（相似矩阵的特征值、行列式、秩都是相同的.另外结合性质5也可证得的秩为偶数.设的结构为:，为的全部纯虚数特征根.对角元素的次序不产生影响.（事实上，如果对角矩阵的排列顺序与所给出不同，也可以找到正交矩阵，然后利用正交矩阵可以使对角矩阵上的其中两个对角元素位置互换：,所以可以经过有限次的正交相似对角化调整特征根的排列顺序，不影响相似条件）.由相似矩阵的特殊性质可以看出，的秩由纯虚数特征值的个数决定,或者说它们的个数是相同的,性质得证.性质21的奇异值个数和纯虚数特征值的个数相同，并且奇异值就等于纯虚数特征值的模.性质22的奇异值