高中数学复习专题24 平面向量的数量积6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题24平面向量的数量积6题型分类1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))6．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.7．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.（一）平面向量数量积的基本运算计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．题型1：平面向量数量积的基本运算1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或151-2．（2024·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.1-3．（2024·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．51-4．（2024·湖南长沙·二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（

）A． B．1 C． D．21-5．（2024·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．1-6．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是.（二）平面向量数量积的应用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．题型2：向量的模2-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则.2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，满足，，，则．2-3．（2024·四川南充·二模）已知为单位向量，且满足，则.2-4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知平面向量满足,且，则=．题型3：向量的垂直3-1．（2024·全国）设向量，若，则.3-2．（2024·河南开封·模拟预测）已知向量，若，则．3-3．（2024·江西赣州·一模）已知向量，.若，则实数的值为.3-4．（2024高三下·江西南昌·开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数．3-5．（2024高三·全国·专题练习）非零向量，，若，则.题型4：向量的夹角4-1．（2024·河南驻马店·二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为．4-2．（2024高三·广东·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为.4-3．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为．4-4．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为．4-5．（2024·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为．4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为题型5：向量的投影5-1．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为.5-2．（2024高三下·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为.5-3．（2024高一下·山东泰安·期中）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是．5-4．（2024高三上·云南昆明·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为.5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数．（三）平面向量的实际应用用向量方法解决实际问题的步骤题型6：平面向量的实际应用6-1．（2024高三上·安徽合肥·开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为牛顿.6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为.6-3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（

）

A． B． C． D．一、单选题1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．142．（2024高一下·天津西青·阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．23．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（

）A．1 B．12 C．或2 D．或14．（2024·广东·模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（

）A． B．C． D．5．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．6．（2024·吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（

）A． B． C． D．8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2024·安徽·三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（

）

A． B．C． D．10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（

）A．-3 B． C． D．311．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（

）

A． B． C． D．12．（2024·河南安阳·三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（

）A． B． C． D．113．（2024·全国）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．14．（2024·全国）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．615．（2024高二上·江西九江·开学考试）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．17．（2024·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．18．（2024·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．19．（2024·全国）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．220．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．21．（2024·全国）已知向量，则（

）A． B． C． D．22．（2024·全国）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．23．（2024·吉林·二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（

）A． B． C． D．24．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．25．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．26．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．27．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（

）A． B．C． D．28．（2024·辽宁沈阳·一模）已知单位向量满足，则（

）A． B． C． D．29．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为A． B． C． D．530．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（

）A． B． C． D．31．（2024高三下·陕西·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．33．（2024·江苏连云港·模拟预测）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则不与垂直 D．不与垂直三、填空题34．（2024·上海杨浦·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角.35．（2024·上海长宁·三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则.36．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为.37．（2024·山东·二模）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为（写出一个符合要求的答案即可）38．（2024·全国）已知向量，满足，，则．39．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为．40．（2024高三下·广西·阶段练习）已知，，若，则．41．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为.42．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是.43．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量，若，则.44．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考