《高等应用数学》课件-第10章

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第十章级数第一节数项级数第二节正项级数和一般项级数第三节函数项级数和幂级数第四节傅里叶级数

第一节数项级数

一、级数的敛散性

二、级数收敛的性质

第二节正项级数和一般项级数

一、正项级数若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数———正项级数.如果级数的各项都是负号,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们有相同的敛散性.

定理1正项级数收敛的充要条件是部分和数列{sn

}有界.

定理2(正项级数的比较判别法)设两个正项级数

如果存在某个正数n>N,都有un≤vn,

二、交错级数

三、绝对收敛和条件收敛

第三节函数项级数和幂级数

一、函数项级数定义1设u1(x),u2(x),…,un(x),…是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,记作{un(x)}.

定义2设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列,表达式

二、幂级数

定义4由幂函数序列{an

(x-x0)n}所产生的函数项级数

例3求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

三、函数展开成幂级数

第四节傅里叶级数

一、三角级数

在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数y=Asin(ωx+φ)来描述,也称简谐振动.

二、傅里叶级数

例2在电子技术中经常用到矩形波,用傅里叶级数展开后,就可以将矩形波看成一系列不同频率的简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析.设f(x)是周期为2π的矩形波函数,在[-π,π)上的表达式为

求该矩形波函数的傅里叶级数.

三、周期为2l的函数展开成傅里叶级数

若x是函数f(x

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