2025版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第三讲概率与统计限时规范训练理

PAGE1-第三讲概率与统计1．(2024·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者宠爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采纳上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采纳的分期付款方式的频率估计1位客户采纳相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采纳不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．解析：(1)设“采纳A种分期付款方式购车”为事务A，“采纳B种分期付款方式购车”为事务B，“采纳C种分期付款方式购车”为事务C，由柱状图得，P(A)＝eq\f(35,100)＝0.35，P(B)＝eq\f(45,100)＝0.45，P(C)＝eq\f(20,100)＝0.2，∴甲、乙两人采纳不同分期付款方式的概率P＝1－[P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C)]＝0.635.(2)由题意知，X的全部可能取值为2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A)P(A)＝0.35×0.35＝0.1225，P(X＝3)＝P(A)P(B)＋P(B)P(A)＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P(X＝4)＝P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.3425，P(X＝5)＝P(B)P(C)＋P(C)P(B)＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18，P(X＝6)＝P(C)P(C)＝0.2×0.2＝0.04.∴X的分布列为X23456P0.12250.3150.34250.180.04E(X)＝0.1225×2＋0.315×3＋0.3425×4＋0.18×5＋0.04×6＝3.7.2．(2024·山西八校联考)某电视厂家打算在元旦实行促销活动，现依据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：年份2012201320142015202420242024广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用线性回来模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回来方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型拟合y与x的关系，可得回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，经计算线性回来模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回来模型更好；(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.依据(2)的结果回答下列问题：①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考数据：eq\r(5)≈2.24.解析：(1)∵eq\x\to(x)＝8，eq\x\to(y)＝4.2，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y关于x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好．(3)由(2)知，①当x＝20时，销售量的预报值eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(20)≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×6.07－20≈1193.04(万元)．②z＝200(1.63＋0.99eq\r(x))－x＝－x＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x))2＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x)－99)2＋10127，∴当eq\r(x)＝99，即x＝9801时，利润的预报值最大，故广告费为9801万元时，利润的预报值最大．3．(2024·湖南郴州模拟)某公司想了解对某产品投入的宣扬费用对该产品的营业额的影响．下面是以往公司对该产品的宣扬费用x(单位：万元)和产品营业额y(单位：万元)的统计折线图．(1)依据折线图可以推断，可用线性回来模型拟合宣扬费用x与产品营业额y的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立产品营业额y关于宣扬费用x的回来方程；(3)若某段时间内产品利润z与宣扬费用x和营业额y的关系为z＝x(y－1.01x－0.09)＋50，应投入宣扬费用多少万元才能使利润最大？并求最大利润．参考数据：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝37.28，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝160.68，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝2.2，eq\r(7)≈2.65.参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to()\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解析：(1)由折线图中数据和参考数据得eq\x\to(x)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2＝28，r＝eq\f(160.68－4×37.28,\r(28)×2.2)≈0.99，因为y与x的相关系数近似为0.99，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回来模型拟合y与x的关系．(2)因为eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,7,y)i,7)≈5.33，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(160.68－4×37.28,28)≈0.41，eq\o(a,\s\up6(^))≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.41x＋3.69.(3)由z＝x(y－1.01x－0.09)＋50＝－0.6x2＋3.6x＋50，可得x＝3时，zmax＝55.4.所以投入宣扬费用3万元时，可获得最大利润55.4万元．4．(2024·辽宁五校联考)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成果听从正态分布N(100,17.52)，数学成果的频率分布直方图如下：(1)假如成果高于135分的为特殊优秀，则本次考试英语、数学成果特殊优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成果哪个较高，并说明理由．(3)假如英语和数学两科成果都特殊优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成果都特殊优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.96，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99.解析：(1)因为英语成果听从正态分布N(100，17.52)，所以英语成果特殊优秀的概率P1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×eq\f(1,2)＝0.02，由频率估计概率，得数学成果特殊优秀的概率P2＝0.0016×20×eq\f(3,4)＝0.024，所以英语成果特殊优秀的学生大约有500×0.02＝10(人)，数学成果特殊优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)．(2)本次考试英语的平均成果为100分，数学的平均成果为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成果较高．(3)英语和数学成果都特殊优秀的有6人，则单科成果特殊优秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,16))＝eq\f(3,14)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,6),C\o\al(3,16))＝eq\f(27,56)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1