2025版高中数学第一章解三角形1.2应用举例练习含解析新人教B版必修5

PAGE1-1.2应用举例课时过关·实力提升1已知从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是()A.α>β B.α=βC.α+β=90° D.α+β=180°解析要正确理解仰角、俯角的含义,精确地找出仰角、俯角的准确位置,如图,从A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角(依据水平线平行),即α=β.答案B2如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,已知从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+33)m解析设树高为h.由正弦定理,得60sin(45°-30°)=PB∴h=PBsin45°=(30+303)m.答案A3已知在船A上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔,船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后,于B处看得灯塔在船的正西方向,则这时船和灯塔相距()A.15(6-2C.15(6-2解析如图所示,设灯塔为C,由题意可知,在△ABC中,∠BAC=15°,∠B=45°,∠C=120°,AB=30×0.5=15(海里).由正弦定理,得BCsin∠BAC=ABsinC,可求得BC=答案B4已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔S在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(6+2)海里/时 B.20(6-C.20(6+3)海里/时 D.20(6-答案B5如图所示,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上的两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为()A.75° B.60° C.50° D.45°解析如图,作CE⊥平面ABD于点E,则∠CDE是太阳光线与地面所成的角,即∠CDE=40°,延长DE交直线AB于点F,连接CF,则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为α.要使S△ABD最大,只需DF的长度最大.在△CFD中,CFsin40∴DF=CFsin∵CF为定值,∴当α=50°时,DF的长度最大.答案C6已知在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中倒影的俯角为β,则云距湖面的高度为m.

解析如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为α,测得C在湖中倒影D的俯角为β,CD与湖面交于点M,过A的水平线交CD于点E.设云高CM=xm,则CE=(x-h)m,DE=(x+h)m,AE=x-h又AE=x+htanβ整理,得x=tanβ+tanαtan答案-sin(7如图,某炮兵阵地位于点A,两视察所分别位于C,D两点.已知△ACD为正三角形,且DC=3km,当目标出现在B时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离为.(精确到0.01km)

解析在△BCD中,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∴∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.由正弦定理,得BD=CDsin75°在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3+14(6+2)2+2×3×12(∴AB=5+23≈2.91(km)∴炮兵阵地与目标的距离约是2.91km.答案2.91km8在海岸A处,发觉北偏东45°方向,距离A为(3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船,并求出所需时间.(结果保留根号,无需求近似值)解如图,设缉私艇t小时后在D处追上走私船,则BD=10t海里,CD=103t海里.∵∠BAC=45°+75°=120°,∴在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos120°=6,∴BC=6海里.由正弦定理,得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=2sin120∴BC为东西走向,∴∠CBD=120°.在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=BDsin∠∴∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.∴BD=BC=6,即10t=6,∴t=610答:缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船,需610小时★9甲船在A处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以10nmile/h的速度向正北方向行驶,而甲船同时以8nmile/h的速度由A处向北偏西60°方向行驶,问经过多长时间后,甲、乙两船相距最近?分析假设th后,甲、乙两船相距最近,但此时乙船可能在A处南边,也可能在A处北边,因此需分类探讨,进而用余弦定理,利用二次函数求最值,将问题解决.解设甲、乙两船经过th后相距最近,且分别到P,Q两处,因乙船到达A处需2h,(1)当0≤t≤2时(如图①),在△APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,∴P