《高等数学(下册)》课件-第11章

第11章线性代数初步11.1行列式

11.2行列式的计算、克莱姆法则

11.3矩阵的概念与运算

11.4逆矩阵

11.5矩阵的秩

11.6线性方程组

11.1行列式

11.1.1二阶、三阶行列式

设二元线性方程组为

用加减消元法解线性方程组(11-1)得

(a11a22－a12a21)x1=b1a22－a12b2

(a11a22－a12a21)x2=a11b2－b1a21

当a11a22－a12a21≠0时，方程组(11-1)有唯一解(11-1)

定义11-1我们称记号 为二阶行列式，它的表

达示为a11a22－a12a21，即

行列式中横排称为行，纵排称为列，aij(i，j=1，2)称为行列式的元素，i为行标，j为列标.

由上述定义得(11-2)若记

则方程组(11-1)的解可表示为

对于三元线性方程组(11-3)用加减消元法解线性方程组(11-3)，也可得出与二元线性方程组(11-1)相类似的结果.线性方程组(11-3)解的表达式较为复杂，难以看出解与未知数的系数、常数项之间的关系.为寻求这种关系，下面引入三阶行列式的概念.

定义11-2我们称记号 为三阶行列式，它

由三行三列共9个元素组成，表示为

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a13a22a31－a11a23a32－a12a21a33

即

若记(11-4)则容易验证，方程组(11-4)的解可以表示为

现在我们来讨论二阶行列式与三阶行列式之间的关系.由二阶行列式与三阶行列式的定义，有由此式可以看出，三阶行列式等于它的第一行的每个元素分别乘以一个二阶行列式的代数和.

为了进一步了解这三个二阶行列式与原来的三阶行列式的关系，我们引入余子式和代数余子式的概念.

定义11-3三阶行列式中，把元素aij(i=1，2，3；j=1，2，3)所在行和列的元素删除，剩下的元素保持原来的相对位置不变所构成的二阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij.记Aij=(－1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.

由此可知，三阶行列式等于它的某一行(或某一列)的元素与其对应的代数余子式之和.11.1.2

n阶行列式

类似二阶行列式与三阶行列式的关系，我们用归纳法给出n阶行列式的定义.

定义11-4由n2个数排成一个n行n列的数表，称

为n阶行列式，它是一个算式，其值定义为其中，Aij是行列式中的元素aij的代数余子式.

例11-1应用定义计算四阶行列式

解解11.1.3行列式的性质

利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单，但对一般行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大.为简化行列式的计算，下面我们给出行列式的性质.

设n阶行列式

将行列式D的行与相应的列互换后得到的新行列式

称为行列式D的转置行列式，记为D'(或记为DT).

性质11-1行列式与它的转置行列式相等.

性质11-1表明，行列式中的行与列具有同等的地位，凡是行所具有的性质，对于列也成立，反之亦然.

性质11-2互换行列式中的任意两行(列)，行列式变号.

推论11-1行列式中两行(列)的对应元素相等，行列式的值为零.

推论11-2行列式某一行(列)的每一个元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.

性质11-3行列式的某一行(列)的每一个元素都乘以数k，等于用数k乘这个行列式.

推论11-3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面.

推论11-4如果行列式中有一行元素全为零，则该行列式的值为零.

推论11-5如果行列式有两行(列)对应元素成比例，则该行列式的值为零.

性质11-4如果行列式中某一行(列)的元素都能表示成二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作相应行(列)，而其余的行(列)不变的两个行列式之和.

性质11-5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个常数后加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.

例11-2计算行列式

解 11.2行列式的计算克莱姆法则

11.2.1化三角形法

例11-3计算四阶行列式

解利用行列式的性质，把D化为上三角形行列式，再求值，有

例11-4计算行列式

解利用行列式的性质，把D化为上三角形行列式，再求值，即11.2.2降阶法

计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行(或列)，按这一行(或列)展开，也可以先利用行列式性质把某一行(或列)的元素化为仅有一个非零元素，然后再按这一行(或列)展开，这种方法一般称为“降阶法”.

例11-5计算四阶行列式

解为了避免分数运算，利用推论11-3，可以把第一行和第三行的分数元素化为整数，即

例11-6计算四阶行列式

解因为该行列式中各行(或列)的元素之和都是2a+b，所以，可把各列元素都加到第一列上，然后提取公因式，再利用行列式的性质，进行降阶计算，即11.2.3克莱姆法则

设n元线性方程组为

其未知量的系数构成的行列式(11-5)称为方程组(11-5)的系数行列式.

定理11-1

(克莱姆法则)如果线性方程组(11-5)的系数行列式D≠0，则方程组(11-5)有唯一解，且

其中，Dj是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1、b2、…、bn代替后所得到的n阶行列式.

例11-7解线性方程组

解方程组的系数行列式所以方程组有唯一解，又因为所以方程组的解为克莱姆法则仅适用于求解方程的个数与未知数的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组，它的主要优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.

当方程组(11-5)的右端常数项b1、b2、…、bn不全为零时,则称该方程组为非齐次线性方程组.

当b1、b2、…、bn全为零时，方程组

(11-6)称为齐次线性方程组.

对于齐次线性方程组(11-6)，根据克莱姆法则得下面的推论.

推论11-6如果齐次线性方程组(11-6)的系数行列式不等于零，则方程组(11-6)只有零解.

此推论的另一种说法是：如果齐次线性方程组(11-6)有非零解，则方程组(11-6)的系数行列式必为零.

例11-8判定齐次线性方程组是否有非零解？

解因为方程组的系数行列式

所以此方程组没有非零解. 11.3矩阵的概念与运算

11.3.1矩阵的概念

下面先看两个实例

例11-9在物资调运中，经常要考虑如何供应销售地，使物资的总运费最低.假定某个地区的煤有3个产地，有4个销售地，如果用aij表示由产地Pi(i=1，2，3)运到销售地Sj(j=1，2，3，4)的数量，那么调运方案如表11-1所示.表11-1表11-1也可以用矩形数表简明地表示为

例11-10线性方程组(11-7)的未知数的系数可组成一个m行n列的数表

而未知数和系数与常数项合在一起，又可以组成一个m行n+1列的数表有了这两个数表，方程组(11-7)就完全确定了.

不同的问题可以用不同的数表来表示，去掉数表中数据的具体含义，对上述所涉及的矩形数表，给出定义.

定义11-5由m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…,n)排成m行n列的数表，即

称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵.m×n矩阵可记为Am×n或(aij)m×n，有时简记为A或(aij).组成矩阵的每个数称为矩阵的元素，aij称为该矩阵的第i行第j列的元素.当m=1时，即只有一行的矩阵

A=(a11，a12，…，a1n)

称为行矩阵.

当n=1时，即只有一列的矩阵

称为列矩阵.

当m=n时，矩阵Am×n称为n阶方阵，可以简记为An.在n阶方阵A中，从左上角a11到右下角ann的元素称为方阵A的主对角线元素.主对角线一侧的元素全为零的方阵，称为三角矩阵，三角矩阵分为上三角形矩阵与下三角形矩阵，即

主对角线以外的元素全为零的方阵，称为对角矩阵，即

主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位阵，记为E,即

元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为Omn.11.3.2矩阵的运算

1.矩阵的加减

定义11-6设有两个m×n矩阵A=(aij)与B=(bij)，那么A与B的和记为A+B，规定为：

A+B=aij+bij

例11-11设矩阵

那么

矩阵的加法满足以下运算规律(设A、B、C是同型矩阵)：

(1)交换律A+B=B+A.

(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C).

2.矩阵的数乘

定义11-7设k为任意数，以数k乘矩阵A中的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的乘积，记为kA(或Ak)，即当l=－1时，可得到A的负矩阵，(－1)A=－A.

数与矩阵的乘法满足以下运算规律(设A，B是同型矩阵,l，m都是数)：

(1)l(A+B)=lA+lB.

(2)(l+m)A=lA+mA.

(3)(lm)A=l(mA).

例11-12已知

求

解

3.矩阵的乘法

定义11-8设矩阵A=(aij)m×s，矩阵B=(bij)s×n，那么矩阵C=(cij)m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积，其中

记为C=AB.

(2)乘积矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，AB的列数等于矩阵B的列数.

例11-13设矩阵求乘积矩阵AB和BA.

解

例11-14设

求AC和BC.

解由例11-13可以看出，矩阵的乘法不满足交换律.同样由例11-14也可以看出，矩阵的乘积也不满足消去律.

矩阵的乘法满足以下运算规律(假定运算都是可行的)：

(1)(AB)C=A(BC).

(2)A(B+C)=AB+AC;

(B+C)A=BA+CA.

(3)l(AB)=(lA)B=A(lB)

(其中，l为数).

上面的运算规律我们不给出证明，我们通过下面的示例予以说明.

例11-15设

求AB、BC、(AB)C、A(BC).

解

4.矩阵的相等与转置

定义11-9如果两个矩阵A=(aij)与B=(bij)的行数和列数分别相等，而且各对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等,记为A=B.

定义11-10把矩阵A的行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT，即若则

转置矩阵具有下列性质：

(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；(4)(AB)T=BTAT.

例11-16设求(AB)T、BTAT.

解由矩阵乘积和矩阵转置的定义，有所以

11.4逆矩阵

11.4.1逆矩阵的定义

定义11-11设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E

成立，那么就称A是可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵，记为A－1，即B=A－1.

该定义中，方阵A和B的地位是相同的，因而如果可A逆,且B是A的逆矩阵，则B也可逆，且A也是B的逆矩阵.

例11-17

因为

所以，B是A的逆矩阵，同样也A是的B逆矩阵.

11.4.2逆矩阵的性质

由逆矩阵的定义可以证明可逆矩阵具有以下性质；

性质11-6如果是A可逆矩阵，那么它的逆矩阵是唯一的.证明假设B，C都是的A逆矩阵，则有

AB=BA=E，AC=CA=E

于是

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

性质11-7如果A可逆，则A－1也可逆，且(A－1)－1=A.

性质11-8如果A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且

性质11-9如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1=B－1A－1.

性质11-10如果矩阵A可逆，则AT也可逆，且(AT)－1=(A－1)T.

这几条性质的证明略.11.4.3可逆矩阵的判别

定义11-12设Aij是矩阵

所对应的行列式｜A｜中元素aij的代数余子式，矩阵称为矩阵的A伴随矩阵.

显然

仍是一个n阶方阵，其中，第i行第j列的元素为

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

由行列式知识可知所以

同理A*A=｜A｜E=AA*.

于是我们有下面的定理

定理11-2方阵A可逆的充分必要条件是｜A｜≠0，且当｜A｜≠0时，A称为非奇异矩阵；当｜A｜=0时，A称为奇异矩阵.

例11-18设

判断方阵A是否可逆？若可逆，求出A－1.

解因为所以A是可逆的.

又于是有从而得11.4.4用初等行变换求逆矩阵

矩阵的行初等变换在求逆矩阵及解线性方程组等问题中有着重要的作用.我们知道，在利用消元法解线性方程组时经常反复使用这样的三种运算：

(1)互换两个方程的位置.

(2)以不等于零的数乘某个方程.

(3)用一个非零数乘以某一个方程，加到另一个方程上去.

这三种运算叫做方程组的初等变换，容易验证，线性方程组经过初等变换后其解不变.类比可以得到矩阵的初等变换.

定义11-13下面的三种初等变换称为矩阵的初等行变换：

(1)对换矩阵中的某两行(对换i、j两行，记为ri

rj).

(2)用不为零的数k乘矩阵的某一行的所有元素(用数k≠0乘第i行，记为kri).

(3)把矩阵中某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上，记为krj+ri).

定理11-3任何非奇异矩阵(对应的行列式的值不为零)都可以用行初等变换化为单位矩阵.由上面的定理，可以用一系列行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵，那么用同样的初等行变换作用于单位矩阵E上，就可得到A的逆矩阵A－1，从而得到一个用初等行变换求逆矩阵的方法.

生成矩阵(A|E)，对这个矩阵施以初等行变换，将它左半部的矩阵A化为单位矩阵E，那么右半部的矩阵E就同时化成了A－1，即

例11-19求矩阵的逆矩阵.

解所以

11.5矩阵的秩

11.5.1矩阵秩的概念

定义11-14在m×n矩阵A中，任选k行k列，将位于这些行和列交点处的k2个元素，按原来的次序形成一个k阶行列式，此行列式称为矩阵A的一个k阶子式，其中，k≤min(m，n).

例如，矩阵选取第一、三、四行和一、二、三列的元素构成的三阶行列式为

此式称为A的一个三阶子式.

定义11-15若一个m×n矩阵A至少有一个不为零的r阶子式，而所有高于r阶的子式都为零，则称矩阵A的秩为r，记为r(A)=r.

例11-20求矩阵

的秩.

解计算它的二阶子式，容易算出而矩阵A的所有三阶子式均为零，即

所以这个矩阵的秩r(A)=2.11.5.2矩阵秩的计算

定理11-4矩阵经过初等行变换后，其秩不变.

此定理读者可利用行列式的性质来证明.

例11-21求矩阵

的秩.

解由最后矩阵可得，矩阵的最高阶子式即三阶子式为

所以r(A)=3.

上例中变换后的矩阵是一个特殊形式矩阵，我们给出定义

定义11-16满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：

(1)若矩阵有零行(元素全部为零的行)，且零行全部在下方.

(2)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元素)的列标随着行标的递增而严格增大.由阶梯形矩阵的定义及上例可知，求矩阵A的秩就是：通过初等行变换，将矩阵A化为行阶梯形矩阵后，非零行的行数.

例11-22设矩阵求r(A)、r(B)、r(AB).

解因为

所以R(A)=2.

因为所以r(B)=3.

因为

其中，二阶子式为

所以r(AB)=2.由例11-22可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A，B的秩，即r(AB)≤min｛r(A)，r(B)｝.

例11-23设矩阵

求R(A)和R(AT).

解因为所以R(A)=3.又因为

所以R(AT)=3.

由例11-23可知，矩阵A与它的转置矩阵AT的秩相等.

11.6线性方程组

11.6.1线性方程组的消元法

对于n元线性方程组(11-8)其中，系数aij、常数项bi都是已知数；xi是未知量，当常数项b1、b2、…、bm不全为零时，称式(11-8)为非齐次线性方程组；当b1、b2、…、bm全为零时，即

称式(11-9)为齐次线性方程组.

若记(11-9)则方程组(11-8)可表示为AX=B.称A为方程组(11-8)的系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵，将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵

称为方程组(11-8)的增广矩阵.显然方程组(11-8)与它的增广矩阵A是一一对应的.~如果存在一组常数c1、c2、…、cn，当把x1=c1、x2=c2、

…、xn=cn代入方程组(11-8)后，使得每个方程都成为恒等式，则称x1=c1、x2=c2、…、xn=cn为方程组(11-8)的一组解.如果两个线性方程组有完全相同的解，则称它们是同解方程组.

例11-24解方程组其中

解给第二个方程减去第一个方程的2倍，给第三个方程减去第一个方程，这样后两个方程中的x1都被消去，于是方程组就化为(11-10)其中

将第二个方程与第三个方程的位置对换，于是方程组就化为(11-11)其中

给第三个方程加上第二个方程的5倍，于是方程组就化为(11-12)其中

给第三个方程乘以－ ，于是方程组就化为(11-13)其中

容易验证，方程组(11-10)～方程组(11-14)都是同解方程组，方程组(11-10)的解可用代入消元法求出来，它的解为(11-14)由例11-24我们得到了求解方程组(11-8)的一般方法：

用初等行变换将方程组(11-8)的增广矩阵化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯矩阵所代表的方程组，逐步回代，求出方程组的解，这种求解方法称为高斯消元法.

11.6.2线性方程组解的判定

定理11-5线性方程组(11-8)有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵有相同的秩，即

推论11-7线性方程组(11-8)有唯一解的充分必要条件是

推论11-8线性方程组(11-8)有无穷多解的充分必要条件是

推论11-9齐次线性方程组(11-9)只有零解的充分必要条件是r(A)=n.

推论11-10齐次线性方程组(11-9)有非零解的充分必要条件是r(A)<n.

特别地，当齐次线性方程组(11-9)中，方程的个数少于未知量的个数(即m<n)时，方程组一定有非零解.

例11-25判断下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？

(1)

(2)

解

(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即由此可以看出r(A)=2， ，即 ，所以方程组无解.

(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即

由此可以看出， ，所以方程组有无穷多解.11.6.3

n维向量及其线性相关性

1.n维向量

定义11-17由n个数组成的有序数组a=(a1，a2，…，an)称为n维向量.其中，a1、a2、…、an称为向量a的分量(或坐标).

根据讨论问题的需要，向量a也可以竖起来写成

为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量.事实上，行向量就是一行n列矩阵，列向量就是n行一列矩阵.显然，行向量的转置为列向量，列向量的转置为行向量.

由向量的定义可知，n维向量是解析几何中向量的推广，所以，n维向量与二、三维向量有类似的线性运算规则.

例11-26设a=(1，3，－2，2)，b=(5，1，－2，0)，且a+2g=3b，求向量g.

解由a+2g=3b得

2.n维向量的线性相关性

对于线性方程组(11-8)，若令

我们用向量的概念及相关运算关系，可以把线性方程组写成形式为(11-15)即

ax1+a2x2+…+anxn=b

于是线性方程组的求解问题就可以看成是求一组数x1、x2、…、xn，使等号右端的常数向量与等号左端的系数矩阵的列向量之间的一种特殊关系.

由此可知，研究一个向量与另外一些向量之间是否存在式(11-5)的那种关系是非常重要的.

定义11-18对于向量a、a1、a2、…、am，如果存在一组数k1、k2、…、km，使

a=k1a1+k2a2+…+kmam则称向量a是向量a1、a2、…、am的线性组合，或称a可由a1、a2、…、am线性表示.

显然，零向量是任何一组向量a1、a2、…、am的线性组合.

例11-27设n维向量

a=(a1，a2，…，an)是任意一个n维向量，由于

a=a1e1+a2e2+…+anan所以，a是e1、e2、…、en的线性组合.

同维列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组.通常称e1、e2、…、en为n维单位向量组.例11-27表明，任何一个n维向量必可由n维单位向量组线性表示.

例11-28设有向量b=(0，4，2)，a1=(1，2，3)，a2=(2，3，1)，a3=(3，1，2)，判断b能否用a1、a2、a3线性表示？若能，写出具体表达式.

解令根据向量的线性运算和向量相等的定义，有

因为由克莱姆法则，可求出

k1=1，k2=1，k3=－1

所以，a能用a1、a2、a3线性表示，且有

b=a1+a2－a3

定义11-19设a1、a2、…、am是一个n维向量组，如果存在不全为零的m个常数k1、k2、…、km，使得

k1a1+k2a2+…+kmam=0

成立，则称向量组a1、a2、…、am线性相关；否则，称向量组a1、a2、…、am线性无关.

由此定义可以推出：

(1)含有零向量的向量组线性相关.

(2)任何一个单位向量组线性无关.

一般地，判断一个向量组a1、a2、…、am的线性相关性的基本方法和步骤是：

(1)假定存在一组数k1、k2、…、km.

(2)k1a1+k2a2+…+kmam=0.

(3)应用向量的线性运算和向量相等的定义，找出未知数k1、k2、…、km的齐次线性方程组.

(4)判断方程组有无非零解.

(5)如有非零解，则a1、a2、…、am线性相关；如仅有零解，则a1、a2、…、am

线性无关.

例11-29讨论下列向量组的线性相关性.

(1)a1=(1，1，1)，a2=(1，2，3)，a3=(1，3，6).

(2)a1=(1，1，1)，a2=(0，2，5)，a3=(1，3，6).

解

(1)设有k1、k2、k3，使

k1a1+k2a2+k3a3=0

即

(k1+k2+k3，k1+2k2+3k3，k1+3k2+6k3)=0

根据两向量相等，有

因为方程式组的系数行列式

所以方程组只有零解，即k1=k2=k3=0.

故a1、a2、a3线性无关.

问题(2)和(1)一样，问题归结为求解齐次线性方程组因为它的系数行列式

所以方程组有非零解.

任选两个方程可解得：k1=k2=－k3=c.

若取c=1，则k1=1，k2=1，k3=－1，于是

a1+a2－a3=0

故a1、a2、a3线性相关.11.6.4向量组的秩

对于一个给定的向量组，在讨论其线性关系问题时，如何找出用向量组中尽可能少的向量去表示全体向量组呢？这就是我们下面要讨论的问题.

定义11-20若向量组a1、a2、…、am中的部分向量组a1、a2、…、ar(r≤m)满足：

(1)a1、a2、…、ar线性无关.

(2)向量组a1、a2、…、am中的任意一个向量都可以a1、a2、…、ar由线性表示.则称部分向量组a1、a2、…、ar为向量组a1、a2、…、am的一个极大无关组.

定义11-21设向量组(Ⅰ)a1、a2、…、am；(Ⅱ)b1、b2、…、bs.如果向量组(Ⅰ)中的每一个ai(i=1，2，…，m)都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示.如果向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表示，则称向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.

由极大无关组和向量等价的定义，可以得到以下结论：

(1)向量组与其任意一个极大无关组等价.

(2)同一向量组的任意两个极大无关组等价，且向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同.

(3)等价向量组的极大无关组等价，且它们的极大无关组所含向量的个数相同.

定义11-22向量组a1、a2、…、am的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记为

r(a1，a2，…，am)

定理11-6

m×n矩阵A的秩为r的充要条件是A的行向量(或列向量)组的秩为r.

根据这个定理，对n维列向量组a1、a2、…、am的讨论转化为对矩阵的研究，即把向量组a1、a2、…、am写成一个m行n列的矩阵A，对矩阵A施行初等行变换，将A化成阶梯形矩阵B，如果矩阵B的非零行的首非零元所在的列序号是j1、j2、…jr，则A的第j1、j2、…、jr列是A的列向量组的一个极大无关组，从而也是向量组a1、a2、…、am的极大线性无关组，向量组a1、a2、…、am的秩也就知道了.

例11-30求向量组a1=(1，－1，3，－1，1)、a2=(2，－1，－1，4，2)、a3=(3，－2，2，3，3)、a4=(1，0，－4，5，－1)一个极大线性无关组和秩.

解法1把向量a1、a2、a3、a4作为一个矩阵A的列向量组，再用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即

由上面最后一个行阶梯形矩阵可知，向量组a1、a2、a4是原向量组的一个极大线性无关组，向量组的秩为3.

解法2

所以，a1、a2、a4是向量组的一个极大线性无关组，向量组的秩为3.11.6.5线性方程组解的结构

1.齐次线性方程组解向量的性质与结构

设齐次线性方程组(11-9)的任一组解

x1=k1、x2=k2、…、xn=kn

可以看成一个n维向量(k1，k2，…，kn)T，我们称这个向量为方程组(11-9)的一个解向量.

显然，n维零向量0=(0，0，…，0)T是(11-9)的一个解向量.

齐次线性方程组(11-9)的解向量具有以下两条基本性质：

性质11-11如果h1、h2是方程组(11-9)的两个解向量，则h1+h2也是方程组(11-9)的解向量.

性质11-12如果h是方程组(11-9)的解向量，c为任意实数，则ch也是方程组(11-9)的解向量.

由上述两条性质还可推出：如果h1、h2、…、hs是齐次线性方程组(11-9)的解向量，则它们的任一线性组合c1h1+c2h2+…+cshs也是方程组(11-9)的解向量.

由此可知，若齐次线性方程组(11-9)有非零解，则它就有无穷多个解，并且当我们能找出线性方程组(11-9)的有限个线性无关的解向量h1、h2、…、hs，使得方程组(11-9)的每一个解都能由h1、h2、…、hs线性表示，那么齐次线性方程组(11-9)的全部解就是

c1h1+c2h2+…+cshs其中，c1、c2、…、cs是任意常数.

定义11-23若齐次线性方程组(11-9)的一组解向量h1、h2、…、hs满足：

(1)h1、h2、…、hs线性无关.

(2)方程组(11-9)的任一解向量都可以由h1、h2、…、hs线性表示.

我们就称h1、h2、…、hs是方程组(11-9)的基础解系.

根据定义，如果方程组(11-9)只有零解向量，那么它就不存在基础解系.如果(11-9)有非零解向量，那么(11-9)就有无穷多个解向量.由上面的定义，只要找出(11-9)的基础解系，那么，方程组(11-9)的全部解向量就能由基础解系的向量