垂线 教案 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

分课时教学设计《2.1.2垂线》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本节课的教学内容两条直线互相垂直是相交线中的特殊情况，是学生学习平面几何的基础和重点之一，是学生学会运用几何语言的起步阶段，对养成学生良好而规范的几何语言表达能力有着举足轻重的作用，同时它也是数学学习中从一般到特殊的一个过程。本节课从观察生活中的图片入手，引出两条直线互相垂直的概念，给出两条直线互相垂直的符号表示，通过画、折等操作活动进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，引导学生探索两条直线互相垂直的一些性质，给出点到直线的距离的概念。学习者分析在前面的学习中，学生已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对两点确定一条直线、角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。七年级学生好奇心强，对新鲜事物特别敏感，但注意力容易分散，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，从而引起学生的有意注意。教学目标1.理解垂线的有关概念、性质及画法；2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用它们解决问题；3.理解点到直线的距离，会判断图形中点到直线的距离，通过动手操作活动，探究归纳垂直的有关性质；4.经历生动、有趣的动手操作过程，使学生积极参与到数学活动中，并在活动中感受成功的快乐。教学重点1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.教学难点掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：同一平面上的两条直线有哪些位置关系?学生活动1：学生思考，积极举手回答.活动意图说明：通过设置问题，引发学生的回忆思考，激发学生的学习兴趣，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：垂线及其相关概念教师活动2：观察图中的图片，你能找出其中相交的线吗?它们有什么特殊的位置关系?垂直、垂线：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD；如图，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。其中，点O是垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD；如图，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。其中，点O是垂足。注意：垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.思考·交流：(1)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC,那么OC与AB垂直吗?为什么?(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗?你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流。我是这样思考的:由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，可得∠AOC=∠BOC=90°,所以OC⊥AB。小颖的想法正确。由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，(平角的概念)可得∠AOC=∠BOC=90°,(等量代换)所以OC⊥AB（垂直的定义）。(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC.证明：因为OC⊥AB，由垂直的概念可得，∠AOC=∠BOC.尝试·思考：(1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗?试试看!用折叠的方法可以折出互相垂直的直线。(2)如果只用直尺，你能画出下图方格纸上已知直线的垂线吗?你还能再画出两条互相垂直的直线吗?学生活动2：学生观察图片，思考回答.学生与教师一起总结垂直、垂线等概念，会用数学符号表示两条直线垂直。学生小组合作，思考回答。学生动手操作，之后回答问题。活动意图说明：通过观察图片，引导学生总结出垂线及其相关概念，培养学生观察，归纳总结的能力；之后思考交流，让学生理解垂线的一些性质，加强对概念的理解；最后让学生在操作和交流的过程中，积累有关两条直线垂直的经验，发展有条理的思考；培养作图能力，发展几何直观.环节三：垂线的画法及性质教师活动3：尝试·交流：(1)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗?你能画出多少条?如果点A在直线l外呢?你是怎样做的?与同伴进行交流。点A在直线l上只能画一条垂线点A在直线l外只能画一条垂线垂线的画法：（1）一靠:将三角尺的一条直角边靠在已知直线上，即一条直角边与已知直线重合．（2）二过:移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点．（3）三画:沿已知点所在的直角边画线，则这条直线就是经过已知点画的已知直线的垂线．垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。注意：（1）此基本事实的前提是在同一平面内，所过的点可以在直线上，也可以在直线外；一条直线的垂线有无数条，但过一点只能作一条.(2)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么?发现：线段PO最短。垂线的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。点到直线的距离：如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。在图中，哪条线段的长度可以表示点P到直线l的距离?OP的长度可以表示点P到直线l的距离。学生活动3：学生先尝试动手操作，之后教师进行演示.学生与教师一起总结垂线的画法及垂线的性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。学生观察，猜想回答。学生在教师的引导下，得出垂线的另一性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。学生理解点到直线的距离的概念并会进行判断。活动意图说明：通过学生动手操作，总结出垂线的性质，理解点到直线的距离的概念，提高作图能力和技巧，培养数学语言表达能力和总结能力，培养自主学习的习惯。板书设计课题：2.1.2垂线1.垂线及其相关概念：2.垂线的画法：3.垂线的性质：4.点到直线的距离：课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（D）2.如图,点O在直线BD上,已知∠1=20°，OC⊥OA,则∠BOC的度数为(B)A.20°B.70°C.80°D.90°3.如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是（D）A.两点确定一条直线B.两点之间直线最短C.两点之间线段最短D.垂线段最短4.如图,直线AB,CD,EF都经过点O,且AB⊥CD,∠COE=35°,求∠EOB,∠BOF的度数.解：因为AB⊥CD，所以∠BOC=90°.因为∠COE=35°，所以∠EOB=90°-35°=55°，所以∠BOF=180°-55°=125°.选做题：5.如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC,则∠BOD的大小是(B)A.20°B.30°C.40°D.60°6.设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（C）A.PT≥2PQB.PT≤2PQC.PT≥PQD.PT≤PQ【综合拓展类作业】7.如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；解:（1）如图，沿线段BA走.理由：两点之间线段最短.（2）如图，沿线段AC走.理由：垂线段最短.课堂总结1.垂直、垂线的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。2.垂线的画法：一靠、二过、三画3.垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。4.点到直线的距离：如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。作业设计【知识技能类作业】必做题：1.如图,AO⊥OB,若∠AOC=49°,则∠BOC的度数是(C)A.30°B.40°C.41°D.49°如图,AC⊥BC,∠C=90°,线段AC、BC、CD中最短的是(C)A.ACB.BCC.CDD.不能确定3.如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是（C）A.过两点只有一条直线B.过一点只能作一条垂线C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短选做题：4.如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是(A)A．2.5B．3C．4D．55．如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为(A)A.30°B.40°C.50°D.60°【综合拓展类作业】6.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.(1)若∠1=40°,求∠BOD的度数；(2)如果∠1=∠2,那么ON与CD互