高考数学（文）专题一 三角函数、解三角形

第二层级重点增分考点（深度精研——重点攻关）

专题一三角函数、解三角形

小题增分专项1三角函数的图象与性质

命I题I分I析

5＞全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

三角函数的图象三角函数的最值

2020未考查

与周期与对称性・12

三角函数的最三角函数的周

2019未考查

值・75期工

三角恒等变换及

三角函数单调性正切函数的周

2018三角函数的周期

的应用口及期工

与最值・丁8

命题规律

1.三角函数的图象和性质是高考必考的内容，在高考中多

以选择题或填空题的形式出现。

2.高考小题对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定

义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、

周期性、对称性及最值，命题以基础性的小综合题为主。

明确考点___________________________________e考点整合e扣准要点

1.常用三角函数的图象与性质(下表中k£Z)

函数y=sinry=cosxy=tanx

图象21at

空叼nr

递增/\

2攵兀),2L兀+,[2kn—n,2kn]兀2,2j

区间

递减期

2E+$2E+[2hr,2kn+n]—

区间

奇偶性奇函数偶函数奇函数

/

对称怪°)

(kit,0)AJL

中心\、冬乙。]/

对称轴%=反+,X=kK—

周期性2兀2兀兀

2,三角函数的常用结论

(l)y=Asin(s+e),当乡=左兀(AWZ)时为奇函数；当(p=kit

7TJT

+和EZ)时为偶函数；对称轴方程可由Gx+p=E+5(k£Z)求

得。

兀

(2)y=Acos(5+g),当9=%兀+](攵£Z)D寸为奇函数；当(p=

〃兀(〃£Z)时为偶函数：对称轴方程可由〃)丫+。=〃兀(*£Z)求得c

(3)y=Atan(5+s),当g=A兀(％£Z)时为奇函数。

3.三角函数的两种常见变换

向左（O>0）或向右（/〈0）

(1)y=sina、

平移个单位

横坐标变为原来的」■倍

y=sin(«z+g)纵坐标不变>

纵坐标变为原来的A倍,

)=sin(Qr+q)横坐标不变，

y=Asin（37+q）（八>0・3>0）。

横坐标变为原来的，倍

CD

(2)jz=ssiinjr

纵坐标不变

向左（Q>0）或向右（qVO）,

y=sinM

平移个单位

co

./।、纵坐标变为原来的八倍

v=sin（3/十8+）------横——坐标不变______

y=Asin（3/+q）（A>0,3>0）。

精析精研重点攻关。考向探究。

考向一三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系

[例1]（1）（2020•开封市一模）已知角a的顶点与坐标原点

重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点（1,-2）,则tan2G

-V(/)

3344

A--C-D-

*-4B.4-3*3

解析因为角。的终边经过点（1,-2）,所以tan«=-2,

“、，-2tana4〃、工一

所以tan2a="厂=7。故选D0

1-tana3

答案D

（2）若tana=g,则sin%—cos%的值为（）

13

D.

c.55

解析因为tana=],所以sin%—cos%=(sin%+cos%)(sin%

222

22sin-«-cosaian~«―13.

cos-cc)=sin2ce-cosot=~~2~工~=2~।=一£°故选Bo

sina+cosatana+t15

答案B

(3)函数/(x)(x£R)满足|工+兀)=Xx)+sinxo当0Wx〈兀时,

於)=0,则信(23兀]/()

A.|B.坐

C.0D.

解析由已知，得/答］=福B+sing=彳岩|+sin詈

兀兀：兀।.兀।,兀

175।,511-17-

+sinT+sin-g~+sin%十sin7+sin6+

fn11

~2j2=20故选A。

答案A

「法悟通

(1)任意角的三角函数值仅与角«的终边位置有关，而与角«

终边上点P的位置无关。若角a已经给出，则无论点P选择在a

终边上的什么位置，角。的三角函数值都是确定的。

(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函

数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，

如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等。

【变式训练1】(1)(2020.全国II卷)若a为第四象限角，则

()

A.cos2«>0B.cos2a<0

C.sin2«>0D.sin2«<0

7T

解析解法一：由题意，知一5+2k7i〈a<2kR(keZ),所以一

兀+4攵兀<2。<4%兀(％£Z),所以cos2aW0或cos2a>0,sin2ot<0o故

选Do

兀

解法二：当a=-a时，cos2a=0,sin2a=—1,排除A,B,

Co故选D。

答案D

(2)在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕均以Qx为始边，

它们的终边关于y轴对称。若sina=；,则cos(a一4)=。

解析由题设，得用=(2Z+1)兀一a(Z£Z),所以sin^=since

=；,cos/?=-coscto贝Icos(a-/?)=cosacos^+sin«sin^=~cos2«

17

+sin9a=2sin9a-1=2Xg-1=一§。

7

答案-

9

考向二三角函数的图象及应用

[例2](1)将函数产si“2x+?的图象向右平移;个周期

后，所得图象对应的函数为火x),则函数式划的单调递增区间为

()

7I兀

A.KJLI12船+万(A0Z)

,兀,I兀八

B.kit—4,E+g(k£Z)

5兀f,兀,

C.kit12,反+夜人Z)

兀71

D.kn—y々兀+%(%£Z)

2兀1

解析由题意知7=^=兀，故向右平移公个周期，即向右平

乙I,

JT(兀、JT(兀、7T

移4个单位，所以7(x)=sin21x—aj+g=si“2x-令2Z兀一/

^ITjIT

W2x—KW2E+5/£Z),所以E—故选B。

UN*U◊

答案B

(2)(2020•全国I卷)设函数段)=3y+m在［—71,川的图

2兀4兀

T<2n<2T,所以向々后两，所以1<IW<2,当且仅当k=-\时,

327r47c

符合题意，此时"=二所以T='=£。故选C。

答案c

法悟通

(1)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变

换。变换只是相对于其中的自变量X而言的，如果X的系数不是

1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向。

(2)已知函数尸Asin(s;+9)(4>0,。>0)的图象求解析式时，

常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求4由

函数的周期确定3确定9常根据“五点法”中的五个点求解，

一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一

个“零点”的位置。

【变式训练2】(1)(2020福州市适应性练习)在同一平面直

角坐标系中，画出三个函数7W=sin2x+cos2x,g(x)=sin[2x+g>

/z(x)=cosj—矶的部分图象如图所示，则()

V1/

A.。为人])的图象，h为g(x)的图象，C,为砥。的图象

B.。为/z(x)的图象，b为«x)的图象，。为g(x)的图象

C.。为g(x)的图象，b为兀力的图象,c为〃(x)的图象

D.L为力(x)的图象,b为g(x)的图象，c为7U)的图象

解析人工)，g(x),力。)的最大值分别为也，1,1,由于图象

〃的最大值最大，故4为/(X)的图象；g(x),/z(x)的最小正周期分

别为兀，2兀，图象b的最小正周期比c小，故为g(x)的图象，c

为〃(x)的图象0故选Ao

答案A

⑵(2020.山东枣庄模拟)将曲线y=段).cos2x上各点的横坐

标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移;个

单位长度，得到曲线)，=cos2x,则彳5=()

A.1B.-1

C.小D.一小

7T

解析把y=cos2x的图象向左平移;个单位长度，得y=

cos21x+aj=cos[2/+2j=—sin2x的图象，再把所得图象各点的横

坐标缩短为原来的;，纵坐标不变，所得图象的函数式为y=一

sin(2X2x)=­sin4x,y=-sin4x=_2sin2rcos2x=y(x)-cos2r,

所以/W=—2sin2x,所以J,=—2sin^=一巾。故选D。

答案D

考向三二角函数的性质及应用重点微专题

角度1三角函数的单调性与最值

【例3】(1)(2019•全国II卷)下列函数中,以方为周期且在

/\

区间净TT引7T单调递增的是()

A./(x)=|cos2x|B./(x)=|sin2x|

C."r)=cos|x|D.4r)=sin|x|

/\

解析A中，函数於)=|cos2x|的周期为今当至之时,

兀｝函数4x)单调递增，故A正确；B中，函数/(x)=|sin2x|

的周期为会当xj品名时，2%ej,ri,函数於)单调递减，

故B不正确；C中，函数/(x)=cosM=cosx的周期为2兀，故C

sia¥,x20,

不正确；D中，/(x)=sin|x|=],八由函数图象知，在

—sinr,A<(),

x20和x<0时，风¥)均以2兀为周期，但在整个定义域上./U)不

是周期函数，故D不正确。故选A。

答案A

(2)(2020.湖北八校联考)若函数,/W=sinjv+小cosx在区间

［a,b］上是减函数,且八。)=2,//?)=—2,则函数g(x)=cosx

—在区间句上()

A.是增函数B.是减函数

C.可以取得最大值2D.可以取得最小值一2

解析«x)=siii¥+y5cosx=2sinX+Q,g(x)=cosx—小sinx

兀TVTT

=2cosX+Q=2sinx~\5+Q。/(x)在区间［a,b］上是减函数，且

N3)

%)=2,型)=-2,不妨令。+与=芈，则Q+3+*=

223

TTTT

兀，〃+］+w=2兀，故g(x)在［a,句上既不是增函数，也不是减函

数，g(x)在［a,b］上可以取得最小值一2。故选D。

答案D

「法悟通

(1)求三角函数单调区间的方法

①代换法:求形如y=Asin(G工+夕)(或y=Acos(①x+9))(A,①,

(P为常数,AW0,刃＞0)的单调区间时，令cox+(p=z,得y=Asinz(或

y=Acosz),然后由复合函数的单调性求得。

②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间。

(2)求三角函数的最值的方法

①将问题化为y=Asin(5+9)+8的形式，结合三角函数的

图象性质求解。

②将问题化为关于sin,Y或cosx的二次函数的形式求解。

【变式训练3］⑴若x£［0,可，则函数*x)=cos^—sinv

的增区间为()

，、兀兀

A.0,4B.不兀

―「八3兀]「3兀

C.0,彳D.不兀

解析由题得fix)=cosx—siar=—(siar-cosx)=~\[2

\

兀1人兀।兀137rl…，一~"，…i3兀

sin令5+—ZW7+2E,ZWZ,所以22兀十7

4^II

%£Z。令Z=0得因为x£[0,r],

3兀

所以函数7U)的增区间是[z~，可，故选D。

答案D

(2)函数fix)=sin2x+^3cosx—0,，的最大值是

解析y(x)=sin21：+*\/3cosx—=1—cos2x+y13cosx—^=—

COSX-¥)+1,COSXW[0,1],当cosx=?时，五x)取得最大值1。

答案1

角度2三角函数的奇偶性、周期性、对称性

【例4】已知函数«x)=l+2cosxcosa+38)是偶函数，其

中g，则下列对函数g(x)=cos(2x—9)的描述正确的是

()

A.g(x)在区间[一各耻的最小值为一1

B.g(x)的图象可由函数/U)的图象向上平移2个单位长度,

再向右平移上个单位长度得到

C.g(x)的图象的一个对称中心是卜有0

TT

D.g(x)的一个单调递减区间是0,2

解析因为函数/(x)=1+2COSJVCOS(X+39)是偶函数，y=1,

y=2cosx都是偶函数，所以y=cos(x+3[)是偶函数，所以3(p=kn,

k穴兀兀

keZ,所以@=不,kGZ,又0<^<2，所以9=?所以g(X)=

:兀11/兀,1兀…兀兀,兀兀)「reri

coslzx—Io4一TVWxW1时,一coslzx—[0,1],

故A错误；“x)=1+2cos尤COS(X+TI)=1—2cos~x=-cos2x,显

/\

TT兀

然B错误;当x=一万时,g(x)=cos|一引=0,故C正确；由2kjt42x

717t2兀

一兀(k£Z),得当左=0时，x

7,子，即g(x)在7,\上单调递减，故D错误。综上，选Co

答案c

「法悟通

关于周期性、奇偶性、对称性

(1)求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒

等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数

奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解。

(2)正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形;

正切函数的图象只是中心对称图形。应熟记它们的对称轴和对称

中心，并注意数形结合思想的应用。

【变式训练4]若函数/U)=sin2x+cos2x,则下列结论正

确的是()

A.函数人处的最小正周期为2兀

B.对任意的x£R,都有小一5十x）=0

C.函数府）在你部上是减函数

D.函数於）的图象关于直线尸戈对称

/\

解析函数X，¥）=sin2x+cos2x=^/2sin2x+,。函数人工）的

27r7T7T37r

最小正周期T=^=兀，故A错误；令为+2EW2x+y2E+半（左

，乙I乙

TT

ez）,解得所以函数yu）的单调递减

区间为1+E,系+E（Z£Z）,易知修竽不是此区间的子集，

故C错误；当尸一方时，彳一百=°，故D错误；J｝一：,+犬一

x）=V2sin2x一1+彳+也sin、-2%+彳=0,故选B。

答案B

角度3的求解

/TT\

【例51⑴若存在唯一的实数y0,果使得曲线产

\乙）

（\

cosCDX—^（①>0）关于点Q,0）对称，则co的取值范围是（）

一5111（51T

A.岳TjB.my]

（4101「410-

C・G，TjD旨y]

解析因为ze[o,或所以①/一把〔苦，罟一外，所以与

\乙）3\3ZrDJ乙

①兀兀-3兀无力/巨5—11

〈彳一解仔;〈口忘了。

答案B

（2）（2020•昆明市诊断测试）已知函数段）=sin,x—£（co>0）,

xe[o,外的值域是一孝1,则①的取值范围是（）

（31「&一

A10,2B.3

…7]「57一

C.3,2D.2

TTTT

解析解法一：因为x£0,],cu>0,所以cuxl,£

-I，詈一£。又当xG0,1时，段）W—乎，1,所以已詈

7T5兀3

一点w亍，解得5<GW3。故选B。

（兀、71

解法二：当①=2时，y（x）=sin[2x—aj。因为x£0,所

TT7T3冗（T[\A

以2x—彳£一不X，所以sin12x—京£~2/991，满足题意，

故排除A,C,Do故选B。

答案B

方法悟通

G的求解是近年来的一个高考热点，它综合考查了三角函数

的各个性质。口的求值或范围求解一般是先把函数化为y=

Asin（①x+°）（或y=Acos（①x+夕））的形式，利用x的取值范围求出

GX+Q的取值范围，结合题中所给条件，比如最值、零点、值域

等列出。x+g的不等式，从而求解公。

【变式训练5]（2020♦贵阳市适应性考试）已知函数人工）=

2sin.x+才（刃>0）的图象在区间上恰有3个最图点，则co的

取值范围为（）

19兀277f9K137f

A1丁,B・于T；

F17TT25K

C14，4,D.[4K,6兀）

7T兀兀

解析因为x£[0,l],m>0,所以不口+a，因为«x）

的图象在区间上恰有3个最高点，所以与Wcu+?<6兀

L

25TI

解得①<1

4°

答案C

重点增分专练（一）三角函数的图象与性质

A级基础达标

一、选择题

1.已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合,

终边过点（小，一2）,则sin（a—3兀）=（）

c"-2r2

-

・3B.YC.-]D.I

解析由已知得sina=一可，则sin（a—3兀）=-sina=g。故

选D。

答案D

2.若sinxvO,且sin（cosx）>0,则角x是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析因为一KcosxWl,且sin（cosx）>0,所以OvcosxWl,

又siax<0,所以角x为第四象限角。

答案D

TlJ

3.若cosj^-aj=j,则sin2a=()

7117

A-c-

*B.5-5D.-

2525

=1，所以*cosa+乎sina=|,

解析解法一：因为cos兀^—a

两边平方，^^cos2a+^sin2a+sinacosa=^,即sinacosa=^—

=-Q则sin2a=一石。

解法二:sin2a=cos|2_2aJ=2cos2laJ—1=一.。故选D。

答案D

4.下列关于函数“¥）=6山心|的说法，正确的是（）

A.7U）在（0』）上是增函数

B.yu）是以兀为周期的周期函数

c.“T）是奇函数

D.«¥）是偶函数

解析由复合函数的单调性可知人外在（0,1上单调递增，

在6，1J上单调递戒，故A错误；函数./U）的周期为1,故B错

误；/（—%）=|sin（—TL¥）|=|sin7Lr|=|冗），«x）为偶函数,故C错

误，D正确。故选D。

答案D

/7T\

5.已知函数公）=破3%+制3>0）的图象的两个相邻的对称

轴之间的距离为看为了得到函数g（x）=sin31的图象，需将函数

/U）的图象（）

A.向左平移舱单位长度

B.向右平移看个单位长度

C.向左平移自个单位长度

D.向右平移器个单位长度

/、

TT

解析因为函数/（x）=sin[3x+dJ®>0）的图象的两个相邻的

TT27r

对称轴之间的距离为子所以/U）的最小正周期T=%因此（o=亍

=2,所以>（x）=sin（2x+^=sin2无+高，因此，为了得到函数

「「兀X7C

g（x）=sin2x的图象，需将/（x）=sin2,+无J的图象向右平移五个

单位长度。故选D。

答案D

6.函数,大尤）=2sinxcosx+2cos2x-l的图象的一个对称轴方

程为（）

兀71兀卜兀

A.x=gB.尢=4C.x=2D・工=-W

2

解析/x）=2sirtrcosx+2cosx—1=sin2x+cos2x=y/2

（7E）TTJTklTTT

sin2A+T,令2x+w=k7t+5（&£Z）,解得不二天+石/金工），当k

\■J乙ZU

TT

时，故选。

=0X=QoOA

答案A

7•古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是

由于弦长度的不同。数学家傅里叶（公元1768年至1830年）关于

三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的

叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以

用三角函数描述的。已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三

角函数图象，图象的解析式是J(x)=Asm(cox+(p)(co>Q,0<(p<7t>),

则()

C.co=39(p=3D.①=6,(p=6

解析由图象知，7=2(*一伺=尊所以济率则①

7

=3o所以甲i+°=2kMk

兀

£Z),由g£(0,71),得s=a。

答案C

8.已知函数/(x)=sin(2x+9),其中°£(0,2兀)，若於)＜照

对于一切x£R恒成立，则/(x)的单调递增区间是()

兀

A.E,E+](Z£Z)

兀71

B.Z兀一1E+w(Z£Z)

「，।兀,,2兀1,

C.E+不E+,(&£Z)

D.E甘,ku(kWZ)

解析因为yu)w7［可对x£R恒成立，则彳目为函数Kx)

的最大值，即2Xa+9=2E+枭£Z),则9=2E+^(Z£Z),又

U4U

/X

9£(0,2兀)，所以9=%所以fix)=sin2X+T。令2尢+在

o\oyo

7t7C7C7C

2E—］,2E+］(Z£Z),则x£攵兀一?kZ%(kGZ)。故选B。

答案B

/TT\

9.已知函数,/(x)=2sin［Gx+aJ(m>0)的图象在区间［0,1］上恰

有1个纵坐标是2的最高点，则。的取值范围为()

5兀、D.茬2兀

~4)C.［干4

7TTT/r

解析当［0,1］时，因为①>0,所以外工+4仁不力+：。

记7=GX+$则关于，的方程sin/=l在金①+：上恰有一个实

数根，结合正弦函数的图象可知G+音当朗，所以3G

答案C

10.(2020•开封市一模)将函数/U)=asinx+/?cosx的图象向

右平移治个单位长度得到g(x)的图象，若g(x)的图象的对称中心

为坐标原点，关于函数次X)有下述四个结论：

①“¥)的最小正周期为2兀；

②若於)的最大值为2,则♦=)；

③人处在［一死川有两个零点；

④段)在区间［T，1上单调。

则所有正确结论的序号是()

A.①③④B.①②④C.②④D.①③

解析/U)=4sinx+bcosx=qc/+/?2・sin(x+9)(其中tan^=

，，由题意得g(x)=g彳Psin[x+9—3的图象关于坐标原点对

7T兀

称，故9—g=也(攵£Z),9=E+g(%EZ),故")=

11+从而卜+也+①,kGZ,故①正确，且③也正确；对于②,

当7W的最大值为2时，\la2+b2=2,又tans=tan(E+,=，=

事,两式联立可解得。=±1,故②不正确；根据三角函数图象的

性质，易判断④正确。故选A。

答案A

二、填空题

11.函数/(x)=sin22A-的最小正周期是o

I—COS4A

解析因为J(x)=s\n22x=--丁一,所以凡的最小正周期

乙0

答案2

/、

12.将函数J(x)=3sin4x+TT^图象上所有点的横坐标伸长到

原来的2倍，再向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，

贝Ug(x)的解析式为o

(兀、

解析将函数4r)=3sin4X+T图象上所有点的横坐标伸长

/\

TT7T

到原来的2倍，可得函数)，=3$皿[2%+京的图象，再向右平移不个

TT7T7T

单位长度，可得函数的图象，

y=3sin_2\x—Kw+ZOJ=3sin\2x-Ozy

(兀'

故g(x)=3sin(2x_&J。

‘兀'

答案g(x)=3si“2x—£

/冗、

13.函数«x)=2cosxsinx+g—^3sin2x+siarcosx在

一?M时的最大值与最小值之和为。

(兀兀、,

解析y(x)=2cosx[sirLxcosw+cos»xsinw—^3sin2x+sinxcosx

=sinrcosx+小cos2x一小sin2x+sinxcosx=sin2x+小cos2x=

TT\TTTTTTTT27c

2sin2X+5L因为/一「乱所以2x+■—也皆，函数的

71/7T\

最大值为2sin5=2,函数的最小值为2sin—7=-1,最大值和

最小值之和为2—1=1。

答案1

14.(2020.全国III卷)关于函数/U)=sior+£：有如F四个命

mI人

题：

①“X)的图象关于)，轴对称；②兀0的图象关于原点对称；

③兀X)的图象关于直线对称；④7U)的最小值为2。

其中真命题的序号是________。

解析由题意知人¥)的定义域为｛RxWE,kGZ\,且关于原

1(1)

点对称。又八一x)=sin(—x)+「---；=—siiu-+^-=—fix),

八sin(—x)Isinx;八

所以函数«r)为奇函数，其图象关于原点对称的，所以①为假命

1

+

r7一l-X

题，②为真命题。因为。cosx+

m•-

si12

1/兀I).(兀I11,1~,1兀I1

^=COSX+T^-,所以/^+x=

-cosxJ/\o2+xJ=sin1o2+xJ+-.7兀-----cosx9J\2J

sin.十%

/\

右一“，所以函数yu)的图象关于直线对称，③为真命题。

当siarvO时，火幻<0,所以④为假命题。

答案②③

B级素养落实

15.关于函数«x)=sin|x|—|cosR有下述四个结论：

①«x)是偶函数；

②«r)在区间再，兀)上单调递减；

③人幻的最大值为吸；

④当工£卜々，引时，危)<0恒成立。

其中正确结论的序号是()

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

解析因为7(—x)=sin|—x|—|cos(—x)|=sin|x|—|COSA：|=

fix),所以«x)为偶函数，故①正确；当]£厉可时，/(x)=sinM

—|cos%|=sirLr+cosx=V2sinx+4,又工£兀,所以令r=x+

则P与，y=[^sinf单调递减，所以②正确；因为於)

为偶函数，所以求函数#x)的最大值可只考虑当无20时的情况,

又易知当了20时，2兀是其一个周期，所以只需研究x^[0,2n]

时的情况，则/(x)=sinx—|cosx|

兀］（3兀

sin%-cosx,0,成"委,2兀

3兀

sinx+cosx,xET

兀］（3兀

0,引"2，2兀

'兀3兀

X书,T

■\

则函数7W的值域为［―g，1］,因此③错误；当x£［o,等时,

\/\

7T71TT

y（x）=sirLV-cosx=^/2sin,则x0J,所以sin|^x—

4£49

<0,即/U）VO在工金］。，田上恒成立，因为.ZU）为偶函数，所以

狂卜会T时，段）<°恒成立，故④正确。综上可知，正确结

论的序号是①②④。故选D。

答案D

16.（2020.洛阳市尖子生联考）水车在古代是进行灌溉引水的

工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然

的象征。如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点43审，一

3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒,

经过1秒后，水斗旋转到点P,设点P的坐标为y）,其纵坐

标满足y=j（t）=Rsm（cot+（p）①>0,|夕|<刍，则下列叙述正

确的是o（填序号）

①R=6,co—(p——4；

②当re[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；

③当/£[10,25]时，函数y=./W单调递减；

④当『20时，照|=6审。

27r7T

解析由题意可知7=60,所以一=60,解得©=而，又从

VA-ZV-/

点A(3，5,—3)出发，所以R=6,6sin9=-3,又I9借，所以夕=

/、

7C71

一不7T故①正确；y=6sin|可一就当日35,55]时，到71一7r胪

5兀(n兀、

71,亍，则sin(可一、£[—1,0],y£[—6,0],点尸到x轴的距

离为回，所以点P到x轴的距离的最大值为6,故②正确；当，

「01/\

£[10,25]时,金一羔5当，所以函数y=6sin言*在[10,25]

上不单调，故③不正确；当1=20时，Z7；r—7=5,则y=6si/=

J\JkJ4乙

6,且x=6cos^=(),所以。(0,6),则附|=4(3商+(-3-6『=

6小,故④正确。综上，正确的是①②④。

答案①②④

小题增分专项2三角恒等变换、解三角形

命I题I分I析

全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

三角函数恒等变换(5

三角函数的二倍

2020未考查用正、余弦定理解三

角公式・13

角形・Tu

三角函数恒等变

三角函数求值口7

2019换，Tii三角函数零点(5

余弦定理

正、余弦定理・「5

三角函数的定义及二倍角公式及余

二倍角公式・14

恒等变换・T“弦定理

2018三角形的面积公式及

正、余弦定理及三诱导公式及三角

余弦定理

角形面积公式・16恒等变换口心

何命题规律

高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：

⑴利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降嘉公式、

辅助角公式是考查的重点。

(2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状

的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(cc±/?)=sinacos/?±cosasinyS；

cos(a土夕)=cosacos或干sinasinQ；

,八、tana±tan£

tan(a±4)=[_,,4。

'产l+tanatan夕

(2)二倍角公式：sin2a=2sin«cosa,cos2a=cos2a—sin2a=

2cosa-1=1-2sin~a。

⑶辅助角公式：as\nx+hcosx=yj^+h2sm(x+(p),其中tanp

2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式

(1)正弦定理

在△A8C中，若。，4c分另ij为内角A,B,C的对边，贝仁器

bc

=乖=菽=2R(R为△ABC的外接圆半径)；

a

变形:4=2RsinA,sirb4=^,

a•b-c=sinA:sinB:sinCo

(2)余弦定理

在△ABC中，若o,b,。分别为内角A,B,C的对边，则

a2=b2+c2—2bccosA；

变形：/+C2_〃2=2/7CCOSA,COSA=^A

⑶三角形面积公式

S^ABC=^2^bsir\C=~^bcsiiL\A—^^'sinBo

精析精研重点攻关____________________________e考向探究O

考向一三角恒等变换

[例1](1)(2020•深圳市统一测试)已知tana=-3,则

sin2oc+^J=()

A.1B.-1C.《D.-T

*

解析解法一：因为tana=—3,所以四@=-3,则sina=

cosoc

—3cos«,代入sin-a+cosa=l得9cos-c(+cos^=I,所以COS~G

1TL

To,所以sin2«+T=sin2a+^=cos2a=2cos2c（-1=1-1=

\今/\乙2J）

4

-故选D。

■,

兀］7C

解法二：sin21+4=sin2a+g=cos2a=cos2a-sin2a=

2J

cos_a-s•m-'a1l-tar2Ta'l-C9\4A.

sin2a+cos2atan2a+19+15°。。

答案D

⑵(2020•唐山市摸底考试)若sin78°=m,则sin6°=()

m+1FD.

A.B.—C.

2乙

1—m

~T~

解析因为sin78°=m,所以cos12°=m,则sin26°=

1—cosl201—m/1-YYl

T-弓-,又sin6°>0,所以sin60=\/u—。故选D。

答案D

法悟通

(l)三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角”。

(2)三角恒等变换“四大策略”

①常值代换：常用到T的代换，I=sin2e+cos2e=tan45。等。

②项的拆分与角的配凑：如sin2oc+2cos2a=(sin2a+cos2a)+

cos%,a=(a-.)+夕等。

③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次。

④弦、切互化。

【变式训练I】⑴(2020.成都诊断性检测)若sin0=V5

COS(2TL—0),则tan29=()

A.或R也c_苴D

/x•3D.3x.x•2•

亚

2

解析因为sin9=小cos(2兀一。)=小cos。，所以tan°=小,

圻以，加2tan12小亚

所以tan29_]_tan20_l_(由)2__2.

答案C

(2)(2020・全国川卷)已知sine+sin[，+W=1,则sin=

（）

B巫C2也

Ao•3Vx.3D2

（兀）3

解析因为5抽。+5m[。+夕=尹的+

=1,所以sin[〃+?=#。故选B。

I0；3

答案B

（3）已知sina=坐，sin（a—夕）=一a,夕均为锐角，则用

等于（）

A兀c冗一兀c兀

5BCD

A.12-3,4-6

解析因为出夕均为锐角，所以一B<a一夕<彳。义sin（a一4）

=一^^，所以cos®_.）=¥^°又sina=坐，所以cosot=^^,

小

所以sin/?=sin[a—（a-0）]=sinacos（a一夕）一c