专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题17导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.一、单选题1．函数f(x)=cosx+(x+1)sinA．−π2，C．−π2，2．当x=1时，函数f(x)=alnA．−1 B．−12 C．13．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33A．[18，814] B．[274二、多选题4．若函数fxA．bc>0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 5．已知函数f(x)=xA．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线三、填空题6．已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2【考点1】根据函数图象判断极值四、单选题7．已知函数f(x)=(ax+1)e其中，可以作为函数f(x)的大致图象的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f(x)=a(sinx+cosx)A．(0,22eC．(0,eπ五、多选题9．设函数f(x)的定义域为R，x0(xA．∀x∈R，f(x)≥f(x0) B．−C．−x0是−f(x)的极小值点 D．−x10．已知函数f(x)的导函数为fA．fB．fC．f(D．与f(六、填空题11．已知函数f(x)=ax3+bx2①当x=3②f(x)有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．12．已知函数f(x)的定义域为[−1,x−10245f(x)312.513f(x)的导函数f'①f(x)在区间[−1,②f(x)有2个极大值点；③f(x)的值域为[1,④如果x∈[t,5]时，f(x)的最小值是1，那么其中，所有正确结论的序号是．反思提升：由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.【考点2】求已知函数的极值七、单选题13．已知x表示不超过x的最大整数，若x=t为函数f(x)=x−1exA．2ee−1 B．3e2e2−114．设函数f(x)=x−2x−3lnx，记f(x)的极小值点为x1，极大值点为A．2 B．2ln2 C．3ln2 D．−3ln2八、多选题15．若函数fxA．fx的图象关于0,0对称 B．fx在C．fx的极小值点为22 D．16．已知函数f(x)A．当a=1时，f(x)在B．若f(x)有3个零点，则C．当a=e2时，x=1是D．当a=12时，f(x九、填空题17．f(x)=x2e18．f(x)=cosxcos2x在反思提升：运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.【考点3】由函数的极值求参数十、单选题19．已知函数f(x)=eA．(−∞,e2] B．(−∞,e20．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω≠0)在x=π6A．4 B．10 C．−2 D．−8十一、多选题21．已知x=π4为函数A．a=bB．f(πC．f(x)D．f(x)22．已知函数f(x)=(x−a)A．f(x)恰有2个异号极值点 B．若a>0，则b∈(0，C．f(x)恰有2个异号零点 D．若a<0，则b∈(十二、填空题23．如果函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，则记为f(x)[a,b]，函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则记为f(x24．若函数fx=ax2+反思提升：1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.【考点4】利用导数求函数的最值十三、单选题25．已知数列{an}满足点(n,an)在直线y=23A．−47 B．−48 C．−49 D．−5026．已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx，a>0A．(1,+∞) B．(2,+∞) C．十四、多选题27．已知函数f(x)=xA．若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x−2B．若a=1，则函数f(x)的单调递增区间为(1C．若a>0，则函数f(x)在区间[1,+∞)D．若x∈[1,+∞),f(x)≥028．已知函数f(x)=x(eA．函数f(x)在R上单调递增B．若对任意x>0，不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，则实数C．函数g(x)在(0,D．若f(x1)=g(x十五、填空题29．若x>0，关于x的不等式xae2x≥2alnx−4x+1恒成立，则正实数30．已知函数f(x)=xex−me2x，若f(x)存在最小值，且最小值为2反思提升：1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【基础篇】十六、单选题31．设a为实数，若函数f(x)=13x3−aA．1 B．12 C．0 D．32．若函数f(x)A．a>−2 B．a>−12 C．a<−2 33．若函数f(x)=x2−x+aA．(0,18] B．(0,134．已知函数f(x)=xeA．f(x)的导函数为fB．f(x)在(−1,C．f(x)的最小值为−D．f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x十七、多选题35．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点(πA．f(x)在区间(πB．f(x)在区间(−πC．直线x=5π6是曲线D．直线y=x+32是曲线y=f(x)在36．设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)(x>0)，若f(x)>(k−1)x−1A．1 B．2 C．3 D．437．设函数f(x)=xA．f(x)有1个极大值点 B．f(x)有2个极小值点C．x=−1是f(x)的极大值点 D．x=3是f(x)十八、填空题38．已知函数f(x)=(x−1)sinx+(x+1)cosx，当[0,39．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a40．若方程xlnx+ex+1−ax=0十九、解答题41．已知函数f(x)=(x−1)ex−ax2+b，曲线（1）求实数a，b的值；（2）求f(x)的单调区间和极值．42．已知函数f(x)=x2−ax+a（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）当a>0时，若f(x)在区间[0,a]上的最小值为1e【能力篇】二十、单选题43．已知函数y=f(x)的定义域为(0,2)，则下列条件中，能推出1一定不是A．存在无穷多个x0∈(0B．对任意有理数x0∈(0C．函数y=f(x)在区间(0,1)上为严格减函数，在区间D．函数y=f(x)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间二十一、多选题44．已知函数fxA．fx在区间−2,+∞上单调递增 B．fC．方程fx=2的解有2个 D．导函数f二十二、填空题45．已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为T，其图象关于点二十三、解答题46．已知函数f(（1）求f(（2）若对于任意[1e,e]，都有【培优篇】二十四、单选题47．已知函数f(x)=axA．函数f(x)的定义域为RB．若函数f(x)在P(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为eC．当a=1时，f(x)=m可能有三个零点D．当a=1时，函数的极小值大于极大值二十五、多选题48．已知2aA．a+2a=b+2−b B．a+b=2二十六、填空题49．已知a∈N∗，函数f(x)=e3x−

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】f'由于f(x)在区间(0，π2)和(3π2在区间(π2，3π2又f(0)=f(2π)=2，f(π2)=所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为−3π2，最大值为故选：D【分析】利用导数求得f(x)的单调区间，从而判断出f(x)在区间[0，2π]上的最小值和最大值.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，依题可知，f(1)=−2，f'(1)=0，

而f'(x)=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，故答案为：B.【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.3．【答案】C【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，

则cosθ=32+l2-322×3×l=l6∈12，32，

则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，h=mtanθ=6sinθcosθsinθcosθ=6cos2θ，S底=12×2m×2m=2m2，

则正四棱锥的体积V=4．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函数f(x)=alnx+bx+cx因为函数f(x)既有极大值也有极小值，

则函数f'(x)在(0,+∞因此方程ax2−bx−2c=0于是Δ=b2+8ac>0x1+x2=ba>0x1x故答案为：BCD.【分析】求出函数f(x)的导函数f'(x)，由已知条件结合导数求极值的方法，从而可得函数f'5．【答案】A,C【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得x=-33或x=33，

当x<-33或x>33时，f'(x)>0，当-33<x<33时，f'(x)<0，

所以f(x)在-∞，-33，33，+∞上单调递增，在-36．【答案】(【解析】【解答】解：f'因为x1，x所以函数f(x)在(−∞，x1)和(所以当x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1，x设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x则切线的斜率为g'(x则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为(1【分析】由x1，x2分别是函数f(x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，f'(x)<0，7．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=(ax+1)ex的定义域为当a=0时，函数f(x)=ex，易知函数f(x)单调递增，对应当a>0时，函数f(x)=(ax+1)ex，求导可得f'(x)=(ax+a+1)ex，

令f'(x)=0，解得x=−a+1a<0，则当x∈(−∞,−a+1a)时，当a<0时，求导可得f'(x)=(ax+a+1)ex，当f'(x)=0时，解得x=−a+1a，

当x∈(−∞,当a<−1时，x=−a+1a<0，且此时0<−当−1<a<0时，x=−a+1a>0，此时−故答案为：D.【分析】先求函数的定义域，再分a=0，a>0和a<0讨论，利用导数判断函数的单调性分析判断函数的大致图象即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=a(sinx+cosx)ex+x，求导可得f'(x)=−2a令f'(x)=−2asinx则直线y=a与函数y=g(x)，x∈(0,g'当x∈(π4,π)时，g'(x)>0当x∈(0,π4)时，g'又g(π4)=22eπ4，当作出g(x)的图象，如图所示：

数形结合可知a>22eπ4，即实数故答案为：D．【分析】由题意，将问题转化为导函数在(0,π)上有两个变号零点，求导令9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、x0(xB、f(−x)相当于f(x)关于y轴的对称图象，故−x0应是C、−f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象，故x0应是−f(x)的极小值点，跟−D、−f(−x)相当于f(x)先关于y轴的对称，再关于x轴的对称图象，故D正确.故答案为：BD.【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断即可.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=13x3−x2B、由A可得f(x)C、f'(x)=x2−23x，令f'(x)=0，解得x=0或23，当x<0时，f'(x)>0，函数fD、令f'(x)=x2故答案为：AD.【分析】由题意，先求导，再令x=1，即可求得f'(1)的值即可判断A；由A选项令x=1即可求11．【答案】①【解析】【解答】解：由图象可知，当x∈(−∞,1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(1,2)时，f'(x)<0即函数f(x)有两个极值点1和2，且当x=2时函数取得极小值，当x=1时，函数取得极大值.故答案为：①.【分析】由导函数得图象判断函数f(x)的单调性，从而得极值情况，判断对错即可.12．【答案】③④【解析】【解答】解：由题意，可得函数f(x)的大致图象，如图所示：①、函数f(x)在区间[−1,0]上单调递减，故②、函数f(x)有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；③、根据图象可知：函数f(x)的值域为[1,3]，故④、如果x∈[t,5]时，f(x)的最小值是1，那么t的最大值为4，故综上所述，所有正确结论的序号是③④．故答案为：③④.【分析】由题意，作出函数f(x)的大致图象，数形结合判断即可.13．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得f'令gx则g−1=3e所以存在−2<x0<−1，使得g当−2<x<x0时，f'x<0，fx单调递减；

当所以x=x0为函数所以t=所以ft故答案为：B.【分析】利用导数的运算法则得出导函数，构造gx=−xex+214．【答案】D【解析】【解答】解：易知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

求导可得当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(1,2)时，f'则f(x故答案为：D．【分析】先求函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，并求极值点，最后代入计算即可.15．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于函数fx=ln1+x−ln1−x+2所以函数的定义域为−1,0∪又因为f−x所以fx为奇函数，函数图象关于0,0因为f=−2当x∈0,22时，f'x当x∈22,1时，f'x根据奇函数的对称性可知f(x)在−1,−22上单调递增，在所以fx的极小值点为22，极大值点为又因为f(x)当x趋近于1时，f(x)趋近于无穷大；当x趋近于0时，f(x)趋近于无穷大，所以fx在0,1上无零点，根据对称性可知fx在故f(x)无零点，故D错误．故答案为：AC．【分析】利用奇函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用求导的方法判断函数的单调性，则判断出选项B；利用奇函数的图象的对称性和函数的单调性，从而得出函数的极值点，则判断出选项C；利用函数的极小值和函数求极限的方法以及零点存在性定理，则判断出选项D，从而找出正确的选项.16．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、当a=1时，函数f(x)=e2x−x2B、若函数f(x)=e当x≠0时，转化为g(x)又由g'令g'(x)>0，解得x<0或x>1所以函数g(x)在(所以当x=1时，函数g(x)又由x→0时，g(x)→+∞，当x→−∞时，g(x)→0且g(x)>0，如图所示：所以a>e2，即实数a的取值范围为C、当a=e2时，f(令g(x)=e2x−e2且g'(0)=2−e2⟨0所以在(−∞,x0)上在(x0,+∞)上g'所以在(x0,1)上g(x)<0，即在(1,+∞)上g(x)>0，即f'所以x=1是f(x)D、当a=12时，设h(x)当x<ln12时，h'(x)<0,h(所以当x=ln12时，h所以f'(x)>0，所以函数f(又因为f(−1)所以f(x)有唯一零点x故答案为：ABD.【分析】根据导数的几何意义即可判断A；根据题意，转化为g(x)=e2xx2与y=a的图象有3个交点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值即可判断B；当a=e2时，得到f'(x)=2(e2x17．【答案】4【解析】【解答】解：由f(x)=x2e−x，得f'x=2xe-x-x2e-x令f'x=0，则x=0或x=2，

当x<0或x>2时，f'18．【答案】2【解析】【解答】解：函数f(x)=cos求导可得f'令f'(x)=0，解得sinx=0显然当x∈[0,π]时，sinx≥0，则sin满足sinx=0的根为x=0或x=π满足sinx=56根据正弦函数的性质可知x∈(0,x1)∪(x2,即f(x)在(0,x1所以f(x)=cosxcos故答案为：2.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性、极值点，结合三角函数的性质计算判断即可.19．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=e因为函数f(x)=e当x＞0时，a≤ex2x，设g(x)=当0＜x＜1时，得g'(x)＜0，当x＞1时，得则g(x)在(0,1)上单调递减，在从而g'(x)≥g当x＜0时，ex2x＜0综上，0≤a≤e故答案为：D.【分析】原问题转化为f'(x20．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω≠0)在x=π6处取最值，

所以π6(ω−1)=kπ+π2，k∈Z，解得ω=6k+4由题意，得3π2<ωπ−π6≤当ω<0时，由x∈(0,π)，得ωx−π6∈(ωπ−π6,−故答案为：C.【分析】根据题意求出ω，k的关系式，再根据x的范围求出ωx−π6的范围，分ω>0，21．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、因为x=π4为函数所以f'(x)=aB、由于f(则f(πC、f(5π则函数f(x)D、由于a的正负未知，则函数f(x)故答案为：ABC．【分析】根据x=π4是函数f(x)22．【答案】B,D【解析】【解答】解：函数f(x)=(x−a)3+b的定义域为R，求导可得f'(x)=3设过原点的函数的切线的切点为(x0,切线方程为y−y0=3因为过原点(0,0化简得2x令g(x)当a>0时，x<0或x>a时，g'(x)>0所以g(x)在(所以g(x)极大值g所以y=b与y=g(x)同理，当a<0时，可知g(x)极大值g可得a3<b<0时，y=b与故答案为：BD.【分析】求导，利用导函数的符号即可判断AC；设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程由三解，转化为利用导数研究函数的极值，数形结合求解即可判断BD.23．【答案】4；1【解析】【解答】解：由题意x+4x因为x≠0，所以0<m<8，令t=x，则f由对勾函数性质得当x>0时，f(t)即t实数的最小值为2，m实数的最小值为4；函数f(x)由题意在[1,2]上单调递减，在所以f'(2)=4−6a+2经检验a=2不满足题意，a=1符合题意，所以a=1.故答案为：4；1.【分析】令t=x，根据对勾函数的性质可得函数f(t)=t+4t24．【答案】0,【解析】【解答】解：fx的定义域为0,+f'令f'x=0令gx=lnx−1令g'x0=0，则3lnx当0<x<x0时，g'x>0,g∴g(x)又当x趋近于0时，gx趋近于−∞；当x趋近于+∞作出gx由图可知，当0<a<16e4时，方程a=lnx−12x3有两个正根，从而函数fx有两个极值点.

25．【答案】C【解析】【解答】解：因为点(n,an)在直线因为an所以数列{an}是首项为−3所以Sn=(−3)n+n(n−1)设f(x)=x2(x−10)当x∈(0,203)时，f'所以f(x)在(0,203又n∈N∗，所以f(n)min=−49，即n故答案为：C.【分析】将点(n,an)代入直线方程求得数列{an}是等差数列，根据等差数列的求和公式求出S26．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx的定义域为(0当x∈(0,1a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；

当则当x=1a时，函数f(x)取得最小值若a>1，则f(x)≥f(1a)=若0<a≤1，由于f(1a)=故由零点存在定理可知f(x)在(1所以a的取值范围是(1,故答案为：A.【分析】根据已知条件，利用导数求出函数f(x)的最小值，再对最小值的符合分类讨论即可.27．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=x2−2alnx−1定义域为0，+∞则f'(1)=2−2a，即2−2a=2，解得B、若a=1，则f'当x∈(1,+∞)时，可得f'(x)>0，则C、若a>0，则f'令f'(x)=0，解得x1当a≤1，即0<a≤1时，在[1,+∞)上，可得f'(x)≥0所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为当a>1，即a>1时，当x∈(1,a)时，当x∈(a,+∞)时，f所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为D、因为x≥1，当a≤0时，f'(x)≥0，所以函数f(x)在则f(x)≥f(1)=0，所以a≤0成立；当a>0时，由C项知：当0<a≤1时，f(x)≥f(1)=0，则0<a≤1成立；当a>1时，f(a)<f(1)=0，即在区间[1,+∞)上存在x0综上，实数a的取值范围为(−∞,故答案为：BD.【分析】先求函数f(x)的定义域，再求导由f'(1)=2求解即可判断A；当a=1时，求导利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可判断B；当a>0，利用导数求函数的单调性，求得f(x)在区间[1,+∞)的最小值f(a)即可判断C；根据题意，分a≤0，28．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=x(ex+2),g(x)=(x+2)lnx的定义域为R，

求导可得f'(x)=(x+1)ex+2，令m(x)=f'(x)，则m当x∈(−2,+∞)时，m'(x)>0，m(x)即f'(x)≥f'(−2)=−B、由A知f(x)在R上单调递增，由f(ax)≥f(lnx2)，可得ax≥lnx2，

则当x>0时，a≥lnx2x=2lnxx，令h(x)=2lnxx，则h'(x)=2(1−lnx)x2，

当x∈(0,e)时，h'(x)>0C、g(x)的定义域为(0,+∞),则n'(x)=1x−2x2=x−2x2，当x∈(0,2)时，g'(x)≥g'(2)=ln2+2>0D、若f(x1)=g(x2)=t(t>0)，则x1(由x1(ex1+2)=(x2+2)lnx2，可得x1(当t∈(e,+∞)时，p'(t)<0，p(t)在则p(t)max=p(e)=故答案为：ABD.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD.29．【答案】2e【解析】【解答】解：xae2x令f(x)=alnx−2x，则ef(x)设g(t)=et−2t−1则g'(t)=et−2所以当t<ln2时，g'当t>ln2时，g'所以g(t)所以存在t0∈(ln2,所以若g(t)≥0，则t≤0或t≥t0，即f(x)≤0或当x→+∞,f(x)→+∞，故f'所以在(0,a2在(a2,所以f(x)即a(lna2−1)≤0，又a>0，解得0<a≤2e，所以正实数a故答案为：2e.【分析】先将不等式同构变形为ealnx−2x≥2alnx−4x+1，构造函数g(t)=et−2t−1，求导利用导数判断函数的单调性，将问题转化为不等式f(x)≤30．【答案】−【解析】【解答】解：函数f(x)=xex−m令f'(x)=0，则2m=x+1ex当x<0时，可得g'(x)>0，函数当x>0时，可得g'(x)<0，函数所以函数g(x)的极大值为g(0)=1，当且仅当x>−1时，g(x)>0，所以2m<1，可得m<12，如图所示：当m∈(0,12当x∈(x1,x2)所以f(x)在x=x当m<0时，m=x+12e当x∈(−∞,x0)时，所以f(x)在x=x综上可得，f(x)在x∈(−∞,0)所以f(x0)=2m解得x0=−3或x0故答案为：−e【分析】求导可得f'(x)=ex(x+1−2mex)，令f'(x)=0，得2m=x+1e31．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=13x3−a因为函数f(x)=13x3−ax2+3在x=1处取得极小值，所以当a=12时，f'(x)所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在故答案为：B.【分析】求函数f(x)的导函数，根据函数f(x)在x=1处函数取得极小值，可得f'32．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=e若a≥0,f'故a<0，令f'(x)=ae当x>1aln(−2a故x=1aln由于函数f(则1aln(故答案为：C．【分析】先求导函数，利用导数判断函数的单调性，求极值点，利用极值点大于0，求a的范围即可.33．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=x2−x+alnx因为函数f(x)有极值，所以f'(x)在即2x2−x+a=0因为二次函数y=2x2−x+a所以只需Δ=(−1)2−8a>0，解得a<18故答案为：C.【分析】求出函数的定义域与导函数，由题意可得f'(x)在(0,34．【答案】C【解析】【解答】解：A、f(x)=xeB、由上可知：f'(x)=ex+xexC、由上可知：f'(x)=(x+1)ex，当x>−1时，当x<−1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=−1时，函数f(x)的最小值为D、由上可知f'(x)=(x+1)e所以f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=x，故D错误.故答案为：C.【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐项求解判断即可.35．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意可得，sin(2π3+φ)=0，则2π3+φ=kπ,k∈Z，

A、令z=2x+π3，由x∈(π12,5π12)，可得z∈B、令z=2x+π3，由x∈(−π6,C、当x=5π6时，z=2x+π3=2π，sinD、由f(x)=sin(2x+π3)求导得，f'(x)=2cos故曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y−32=x−0故答案为：ABD.【分析】根据已知条件求出φ=π3，得函数f(x)=sin(2x+π3)36．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：若f(x)>(k−1)x−1恒成立，

则f(x)−(k−1)x+1=(x+1)ln(x+1)−(k−1)x+1>0恒成立，构造函数g(x)=(x+1)ln(x+1)−(k−1)x+1，则g'因为x>0，所以ln(x+1)>0，则当2−k≥0，即k≤2时，则g'(x)>0，当故g(x)在(0,+∞)上单调递增，则即k≤2符合题意，故满足条件的正整数k为1或2；当2−k<0，即k>2时，令g'(x)>0，则故g(x)在(0,ek−2−1)上单调递减，在(ek−2构造函数G(k)=k−ek−2，则G'故G(x)在(2,+∞)上单调递减，则因为G(3)=3−e>0,G(4)=4−e2<0综上所述：符合条件的整数k为1或2或3.故答案为：ABC.【分析】根据题意构造函数g(x)=(x+1)ln(x+1)−(k−1)x+1，求导，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题即可.37．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：易知函数f(x)=x44求导可得f'当x<−3或1<x<3时，f'当−3<x<1或x>3时，f则函数f(x)在x=−3处取得极小值，在x=1处取得极大值，在x=故答案为：ABD.【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求极值即可.38．【答案】(【解析】【解答】解：函数f(x)=(x−1)sinx+(x+1)cosx定义域为R，当x∈(0,π4)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；

当且f(x)max=f(π4)=故最大值与最小值的和为：(2故答案为：(2【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性并求最值即可.39．【答案】−4【解析】【解答】解：f'(x)=3x2+2ax+b，因为函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，

所以f'(-1)=3-2a+b=0，且f(-1)=-1+a-b+a2=8，解得a=-2b=7或a=3b=3，

当a=-2,b=-7时，f(x)=x3-2x2-7x+4,f'(x)=3x2-4x-7=3x-7x+1，

令f'(x)=0得x=73或-1，所以在(-∞，-1)上f'x>0，f(x)单调递增，

在(-1,73)上f'x<0，f(x)单调递减，在(73,+∞)上f'x>0，f(x)单调递增，

所以在x=-1处取得极大值，且f(-1)=8，符合题意，

当a=3,b=340．【答案】(e+1,+∞)【解析】【解答】解：方程化为lnx+exx+1x=a，

令gx=lnx+exx+1x，

则问题转化为gx的图像与直线y=a由2个交点，

因为g'x=1x+x-1exx2-1x2=x-1ex+141．【答案】（1）解：函数f(x)=(x−1)ex−ax2因为f'(1)=e−2a=e−2，所以又因为f(1)=−1+b=(e−2)×1+3−e=1，所以b=2；（2）解：由（1）可得f'令f'(x)>0，解得x>ln2或x<0，令则函数f(x)的单调递增区间是(−∞,0)，(ln故f(x)的极大值为f(0)=1，极小值为f(ln【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；

（2）由（1）可得f'42．【答案】（1）解：当a=0时，f(x)=x2ex，

则f(1)=1所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为：y−1e=1e​​​​​​​（2）解：因为f'(x)=−x2+(a+2)x−2aex=−当0<a<2时，x∈[0,a]时，f'(x)≤0，则f(x)在所以f(x)min=f(a)=ae当a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增；当a>1时，g'所以g(a)的极大值为g(1)=1e，所以由ae当a>2时，x∈[0,2]时，f'(x)≤0，则f(x)在当x∈(2,a]时，f'(x)>0，则f(x)在所以f(x)min=f(2)=当a=2时，x∈[0,2]时，f'(x)≤0，则f(x)在所以f(x)综上所述，a=1．【解析】【分析】（1）由a=0得出函数的解析式，由导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，从而由点斜式方程得出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程.（2）由导数运算法则得出f'(x)，令f'(x)=0，解得x=2或x=a，再分类讨论a的取值范围，根据导数判断函数单调性的方法判断出函数f(x)的单调性，从而得出函数的最值，再由函数f(x)在区间（1）当a=0时，f(x)=x2ex，则f(1)=1所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为：y−1e=（2）f'(x)=−x2+(a+2)x−2ae当0<a<2时，x∈[0,a]时，f'(x)≤0，则f(x)在所以f(x)min=f(a)=ae当a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增，当a>1时，g'所以g(a)的极大值为g(1)=1e，所以由ae当a>2时，x∈[0,2]时，f'(x)≤0，则f(x)在x∈(2,a]时，f'(x)>0，则f(x)在所以f(x)min=f(2)=当a=2时，x∈[0,2]时，f'(x)≤0，则f(x)在所以f(x)综上，a=1．43．【答案】B【解析】【解答】解：A、函数f(显然函数f(x)B、在x=1附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于f(1)C、函数f(x)=|x−1|,x∈(D、函数f(函数f(x)在(0,1)故答案为：B.【分析】由题意，利用极小值的意义即可判断A；举例即可判断BCD.44．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：易知fx=x+1令f'x<0，x∈−∞故fx在−∞,−2故fx的最小值为f若讨论方程fx=2的解，即讨论易知g−2=−1e2故由零点存在性定理得到存在x0∈−2,1当x→−∞时，g(x)→−2，显然g(x)在−故g(x)=x+1ex令h(x)=f'x令h'(x)=0，解得x=−3，而h'故x=−3是h'(x)的变号零点，即x=−3是故得导函数f'x的极值点为故答案为：ABD.【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项A和选项B；将方程解的问题转化为函数零点问题，再由零点存在性定理和函数的极限，则判断出选项C；对函数求导后构造函数，再次对构造的函数h(