专题28 平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题28平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.一、单选题1．已知向量a,b,c满足|aA．−45 B．−25 C．二、填空题2．已知向量a=(2，5)，b=(λ【考点1】平面向量的概念三、单选题3．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+ACA．14CB B．34CB C．4．已知|a|=2,b=(A．22 B．23 C．4 四、多选题5．下列说法不正确的是（）A．若a//b，则a与B．若a，b为非零向量，且a|a|=bC．若a//b，则存在唯一的实数λD．若e1,e26．有关平面向量的说法，下列错误的是（）A．若a//b，bB．若a与b共线且模长相等，则aC．若|a|>|b|且aD．(λa五、填空题7．已知▱ABCD在平面直角坐标系中，AB=(4,2),8．设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的外心为O，内心为I．OI≠0且OI与BC共线．若ktanA=1tan反思提升：平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【考点2】向量的线性运算六、单选题9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=23,cos∠BAD=32，E是边BC的中点，F是CD上靠近DA．4 B．3 C．23 D．10．若平面向量a，b满足|a|=|b|，且t=1A．0 B．π3 C．π2 七、多选题11．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cosA=15，A．AO=13C．△ABC的面积的最大值为36 D．a的最小值为12．已知等边△ABC的边长为4，点D，E满足BD=2DA，BE=EC，AE与A．CD=23C．CO=2OD 八、填空题13．已知正六边形ABCDEF边长为2，MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦，MN=2，P为正六边形ABCDEF边上的动点，则PM⋅PN的最小值为14．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），DC⊥BC，DC=BC，|AB|=2，|CA−BC|=；反思提升：1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.【考点3】共线向量定理的应用九、单选题15．已知向量e1,eA．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线16．设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0A．2 B．73 C．3 D．十、多选题17．在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=12DC，若P为边BD上一点，且满足AP=λA．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为1C．1λ+13μ的最大值为1218．已知在等边△ABC中，AB=2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB占F，则（）A．AE=12C．BE⋅AC=十一、填空题19．设O为△ABC的外心，若AO=AB+2AC，则20．设平面向量a=(sinθ,1)，b=(cosθ反思提升：利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.【基础篇】十二、单选题21．已知向量a，b满足a=(4,3)A．a+b=0 B．a⋅b22．已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若A．12AB+C．12AB+23．在梯形ABCD中，DC=3AB,E为线段AD的中点，A．−BA+1C．−12BA24．在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则AM=A．23AB−C．AB+12十三、多选题25．已知向量a，b，c为非零向量，下列说法正确的有（）A．若a⊥b，bB．已知向量a=(1,2)，C．若a⋅b=a⋅c，则D．已知AB=a+2b，BC=−5a+6b，26．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（）A．AD=2CB C．AD−AF+27．如图，在4×4方格中，向量a,A．a=b C．a⊥b 十四、填空题28．在平行四边形ABCD中，3BE=ED，CE=λ29．若平面四边形ABCD满足AB+CD=0，30．已知圆C:x2−2x+y2−3=0，过点T(2,0)的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆十五、解答题31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=4，A=π（1）AD是BC边上的中线，若AD=7，求c（2）若a=43，求△ABC32．在△ABC中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．（1）分别用向量AB，AD表示向量AC，BE；（2）若点N满足4AN+2AB=3AC，证明：B【能力篇】十六、单选题33．已知a与b为两个不共线的单位向量，则（）A．(B．aC．若⟨a,D．若⟨a+十七、多选题34．如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（）A．ACB．ACC．ADD．AD在AB上的投影向量为AB十八、填空题35．在四边形ABCD中，BC=2AD，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足PA+10PB+PC+10PD=0十九、解答题36．如图，D为△ABC内部一点，DE⊥BC于E，AB=AD.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①CE=3EB；②sin(B+C)=2【培优篇】二十、单选题37．已知平面向量a，b，c，满足|a|=2，|a−b|=23，若对于任意实数xA．2 B．4 C．6 D．8二十一、多选题38．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SCA．若SA:SB:B．若M为△ABC的内心，则BC⋅C．若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SD．若M为△ABC的垂心，3MA+4二十二、填空题39．如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=3AB，P为△ABC所在平面内一点.定义点集D={P|AP=3λAB+1−λ3AC,λ∈R}

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为a+b+即a2+b2+2设OA=由题知，OA=OB=1,AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos〈故答案为：D.【分析】由题意可得a+b=−c，两边同时平方结合已知条件可得a⋅2．【答案】8【解析】【解答】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2×4−λ×5=0，解方程可得：λ=8故答案为：85

【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：因为2AO→=AB→+AC→,所以O为BC的中点，又△ABC的外接圆圆心为O，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC=π2，

如图所示：

又因为|OA→|=|AC→|，所以△AOC为等边三角形，则∠ACB=π3，4．【答案】C【解析】【解答】解：因为b=(2,1)，a⊥则|a−2b故答案为：C.【分析】由题意，根据向量垂直数量积为零，以及向量模的公式求解即可.5．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、若a为零向量时，a与b的方向不确定，故A错误；B、a|a|,b|b|分别表示a，C、若b→=0→，a不为零向量时，不存在实数D、由|e所以|e故答案为：ACD.【分析】由题意，结合零向量的性质、共线向量的概念，以及向量的线性运算法则逐项分析判断即可.6．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A选项，取b=0，因为a//b，b//对于B选项，若a与b共线且模长相等，则a=b或对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错误，符合题意；对于D选项，(λa故答案为：ABC.

【分析】取b=7．【答案】-11【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，如图所示：所以AC=BD=则AC⋅故答案为：−11.【分析】由题意，根据四边形为平行四边形，利用向量加减法的三角形法则及向量数量积的坐标运算求解即可.8．【答案】2【解析】【解答】解：设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，则BD=rtanB因为OI与BC共线，所以OM=ID=r，又因为∠BOC=2∠A，∠BOM=∠A，

所以BM=rtan因为2BM=BD+CD，所以2rtan即2tanA=1故答案为：2.【分析】由O，I分别为三角形的外心和内心，利用OI与BC共线得到线段长度关系，表示BD=rtanB9．【答案】B【解析】【解答】解：设|AB|=x，平行四边形ABCD中，

则AE=−=−23x2+故答案为：B.【分析】设|AB|=x，在平行四边形ABCD中，用AB10．【答案】B【解析】【解答】解：设OA=a，OB=b，则|a−tb由t=12时，|a−tb|取得最小值，得由于|a|=|b故答案为：B.

【分析】设OA=a，OB=b，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足AC⊥OA，

求11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：延长AO交BC于点D，如图所示：因为O是△ABC的重心，所以点D是BC中点，AO=23A、AO=B、由AO=13则9AO2=(AB+AC)2=AB2+所以2×5AB即AB⋅AC≤3C、因为|AB|⋅|AC|=AB⋅ACD、由9AO2=得|AB所以由余弦定理a2a2=|AB|2+|AC故答案为：ABC.【分析】延长AO交BC于点D，根据平面向量的线性运算求得AO=13AB+13AC即可判断A；结合AO=1312．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：根据已知条件，作出图形，如图所示：A、CD=B、因为△ABC为等边三角形，BE=EC，E为中点，所以所以AO⊥BC，即AO⋅BC=BAC、设CO=λCD，由（1）得CD=又因为O,A,E三点共线，所以2λ3+2λ3=1，解得λ=D、AE=12AC+所以AO=12tAC+32t所以O为AE中点，所以OA+故答案为：ABD.【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理，得出O为AE中点，O为CD上靠近点D的四等分点，逐项分析判断即可.13．【答案】−1【解析】【解答】解：如图，若O是外接圆圆心，G是MN中点，连接PG，OG，

所以PM→=PG→+GM→，PN→=PG→+GN→=PG→-GM→，所以PM→·PN→=PG→2-GM→14．【答案】2；2【解析】【解答】解：由题意可知O为AB的中点，且|CO则|CA设∠BOC=2θ,θ∈(0,π2)，作DE⊥OE，交在△BOC中，BC故BC=2sinθ，则DC=2sinθ，∠OCB=π−2θ2=π2则CE=DCcosθ=2sinθcosθ=sin2θ，故OC⋅当θ=π4时，故答案为：2；2.【分析】设∠BOC=2θ,θ∈(0,π2)，作DE⊥OE，交OC15．【答案】C【解析】【解答】解：A、因为AB=e1设AB=λBC，则1=−3λ2=2λB、若A、B、D三点共线，设AB=μDA，则1=3μ2=−6μC、因为AC=AB+BC=(e1+2eD、因为DB=DA+AB=(3e1−6e2)+(故答案为：C.【分析】根据平面向量共线定理求解即可.16．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

设NF1与MF2的交点为P因为NF2=2由双曲线的定义可知：|MF2|=|M因为NF2=2所以△NF2P∽△所以|PF2|=所以，在△PNF2中，由余弦定理有：cos∠P代入|PF2|=23(2a+x)，解得x=103a，x=0（舍），则|MF1在△F1M代入数据整理得：7a=3c，则双曲线的离心率为：e=c故答案为：B.【分析】设NF1与MF2的交点为P，|MF1|=x，由题意，根据向量关系得△NF2P∽△F17．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为AD=12DC，所以AC→=3AD→，

又因为AP=λAB+μAC，所以AP→=λAB→+μAC→=λAB→+3μAD→，

因为故答案为：BD.【分析】根据B，D，P三点共线求得λ+3μ=1，结合基本不等式判断即可.18．【答案】A,B【解析】【解答】解：如图，

A、因为D为AC的中点，E为BD的中点，所以AE=1B、设AB=kAF，则AE=k2AF+14AC，又E，F，C三点在一条直线上，故k2C、BE=12D、S△DECS△BEF=S故答案为：AB.【分析】在△ABD中，根据AE是中线可得AE→=12AB→+12AD→，再根据D为AC的中点表示AE→即可判断A；设AB=kAF，得到AE=k2AF+14AC，根据19．【答案】10【解析】【解答】解：设△ABC外接圆的半径为R，因为AO=AB+2所以AC=12BO=取AC的中点M，连接OM，如图所示：

则OM⊥AC，因为AC//BO，所以OM⊥BO，即∠BOM=π所以cos∠BOC=在△BOC中，由余弦定理可得：BC=O在△ABC中，由正弦定理可得：sin∠BAC=故答案为：104【分析】设△ABC的外接圆的半径为R，由已知条件可得2AC=AO−AB=BO，推得AC=12BO=12R，且AC//BO20．【答案】3【解析】【解答】解：因为a，b不能组成平面上的一个基底，所以a//b，

则3sin故答案为：33【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质求解即可.21．【答案】B【解析】【解答】解：因为a=(4,3)，aA、a+B、a⋅C、|aD、因为4×4≠−3×3，所以a,故答案为：B.【分析】由题意，根据向量的坐标运算先求向量b的坐标，再根据向量坐标的加法、数量积以及求模公式，向量平行的坐标表示逐项判断即可.22．【答案】B【解析】【解答】解：在△ABC中，取{AC则|AC因为点D,E分别为AB,BC的中点，所以AF=故答案为：B.【分析】以{AC23．【答案】A【解析】【解答】解：由图可得：EF=DF−DE，由DF→则EF=23DC−又因为BD=BC+故答案为：A.【分析】先用向量和三角形减法法则得EF=DF−DE，经过线性运算转化为24．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得AM=1故答案为：D.【分析】由题意，根据平面向量线性运算法则计算即可.25．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、若a⊥b，b⊥c，则B、设b=(x,y)，则2a+C、若a⋅b=a⋅c，则|a|⋅|bD、因为AB=a+2b，BD=BC+CD=2故答案为：CD.【分析】根据向量的线性运算、投影向量以及向量共线定理逐项判断即可.26．【答案】B,D【解析】【解答】解：由题意，结合正六边形的性质可知，

A、AD=2B、OB+C、AD−D、OA⋅故答案为：BD.【分析】根据向量的加减法以及向量数量积的运算法则求解判断即可.27．【答案】B,C【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

则a→=-1,2，b→B、a→-b→=-3,1，a→-b→=D、a→·c→=5故答案为：BC.【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解判断即可.28．【答案】−【解析】【解答】解：由平行四边形ABCD，3BE可知BD=4BE，则整理得CE=则CE=−所以2λ+μ=−5故答案为：−5【分析】利用平面向量的线性运算求解即可.29．【答案】菱形【解析】【解答】解：因为AB→+CD→=又因为(AB→−AD→)⋅AC→故答案为：菱形.【分析】根据向量相等证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0得对角线相互垂直判断即可.30．【答案】15【解析】【解答】解：圆C:x2−2x+则圆C的圆心(1,0)，半径r=2，取AB中点D，则因为PD=所以PD2所以PA⋅PB=又|PD|2所以|AB|24+12故答案为：15.【分析】由题意，根据向量的加法运算求得PA⋅PB=31．【答案】（1）解：因为AB+所以(AB即b2所以c2+4c−12=0，解得（2）解：由asinA=因为a>b，所以A>B，所以B=π所以C=π−A−B=π所以c=a所以△ABC的周长为a+b+c=12+43【解析】【分析】（1）由题意，可得AB+AC=2AD，两边平方可得(AB32．【答案】（1）解：因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，所以CD=2则AC=BE=（2）解：因为4AN+2AB则AN=−所以2AN=−AB+3AE又因为BE,EN有公共点所以B，N，E三点共线.【解析】【分析】（1）由题意，根据几何图形，结合向量的线性运算求解即可；

（2）根据向量共线定理证明即可.33．【答案】D【解析】【解答】解：A、若(a+b)//a，则a=λ(B、设向量a与b的夹角为θ，则0<θ<π，cosθ<1，

则aC、若⟨a,b(a−b)⋅bcos⟨a−b,D、因为a⋅(a+所以cos⟨a+设a与b的夹角为θ，则0<θ<π，cosθ≠−1，所以a所以1+a⋅b=1，即故答案为：D.【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直、向量的模以及向量的夹角公式逐项计算判断即可.34．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为ABCDEF为正六边形，即每个内角都为120°，A、AC−B、连接AE,AC，CE，AD则△ACE为等边三角形，设六边形边长为a，CE中点为M，连接AM，则CE=3a，AD=2a，AM=3C、由B选项可知，AD⋅AB=|D、因为|AD|=2|AB|，所以AD在故答案为：BCD.【分析】根据图形，结合向量的线性运算以及向量的数量积运算逐项分析判断即可.35．【答案】2【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，BC=2AD，则四边形ABCD是梯形，

且AD//BC，令记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然MX//于是点M，N，X，Y顺次共线并且MX=XY=YN=1，显然PA+PC=2PY，PB+因此点P在线段XY上，且PX=111，设A到MN的距离为由面积公式可知ts故答案为：211【分析】令AD=2，BC=4，记M，N，X，Y分别为AB，CD，BD，AC的中点，并探讨其关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出PX，再由三角形、梯形面积公式求解即可.36．【答案】以①③为条件，②为结论：证明：过点A作AG垂直于BC的延长线于G点，延长AD交BC于F点，如图所示：

由CE=3EB，可得BE=1由ADDE+DE在△ADE中，由余弦定理可得AE2=AD2+DE2−2AD⋅DEcos设EF=x，则DF=2x，又AD=AB=c，所以则AG=FG=22AF=22c+x在Rt△AGB中，有AG2=AB2−GB2，

在整理可得，(c+b)(b−c)=a(GB+GC)，代入整理可得a(22c+a)=2(b+c)(b−c)，即解关于a的方程可得：a=2因为a<b+c，所以a=2所以a=2由正弦定理可得，sinA=又A=π−(B+C)，所以sinA=所以sin(B+C)=2(以①②为条件，③为结论：证明：过点A作AG垂直于BC的延长线于G点，延长AD交BC于F点，如图所示：

设EF=m，DF=n，则AF=AD+DF=c+n，由CE=3EB可得，BE=1由sin(B+C)=2(sinB−在Rt△AGB中，有AG2=AB2所以有AB2−A整理可得，(c+b)(b−c)=a(GB+GC)，因为a=2(b−c)，所以由已知可得，ED//AG，所以△FDE∽△FAG，所以有FDFA=FE所以FG=m(c+n)n=m+mn所以GB+GC=2m即c+b=2×2m在Rt△DEF中，sin∠EDF=EFDF所以∠ADE=π−∠EDF=3π则在△ADE中，由余弦定理可得AE所以有ADDE+DE以②③为条件，①为结论：证明：过点A作AG垂直于BC的延长线于G点，延长AD交BC于F点，如图所示：

由sin(B+C)=2(由正弦定理可得a=2由ADDE+DE在△ADE中，由余弦定理可得AE所以cos∠ADE=−22，0<∠ADE<π，则∠ADE=设BE=λBC，EF=x，则DF=2x，又AD=AB=c，所以则AG=FG=2GB=GF−BE−EF=2c2由ADDE+DE在△ADE中，由余弦定理可得AE所以cos∠ADE=−22，0<∠ADE<π，则∠ADE=由sin(B+C)=2(由正弦定理可得a=2在Rt△AGB中，有AG2=AB2所以有AB2−A整理可得，(c+b)(b−c)=a(GB+GC)，因为a=2(b−c)，所以GB+GC=2所以有b+c=2c+2整理可得(4λ−1)(b−c)=0，因为a=2(b−c)≠0，所以b−c≠0，所以4λ−1=0，所以即BE=14BC，由图知CB=4EB【解析】【分析】以①③为条件，②为结论：由已知可得BE，CE，∠DFE=π4，设EF=x，则DF=2x，表示各边长，利用勾股定理，推得(c+b)(b−c)=a(GB+GC)，代入整理得关于a的方程，解得a=2(b−c)，结合正弦定理即可推得②成立；

以①②为条件，③为结论：设EF=m，DF=n，由已知推得a=2(b−c)，由勾股定理推得(c+b)=2(GB+GC)，根据三角形相似，求出FG，GB，GC，代入整理可得mn=22，∠EDF=π4，从而解得∠ADE=π−∠EDF=3π4，再利用余弦定理推得③成立；

以②③为条件，①为结论：由题意结合正弦定理推得a=2(b−c)，在△ADE中，由余弦定理求得∠DFE=π4，设37．【答案】D【解析】【解答】既然：设a=OA，b=OB，c=OC，因为|b−xa即|MB|≥|AB因为|a|=2，|a−b由|c−a|≤1，可得点过圆周上一点C作OB的垂线，垂足为D，且DC