第三节导数与函数的单调性讲义-高二下学期数学人教A版选择性（答案详解）

0第三节导数与函数的单调性重点题型专练【1】A解析:由fx图象知fx故f′x同理f′x在(0,m)上的符号是先负后正,四个选项中仅有选项A符合.【2】B解析:观察导函数图象可知f′x在区间−∞,0先正后负,在区间(0,+∞)先负后正,故函数fx在区间−∞,0结合4个选项的图象,可排除A,D;由导函数的函数值是变化的,即函数fx在递减区间的斜率也是变化的,排除C,故选:【3】A解析:由fx的图象可知,当x∈−∞,0故排除C、D;当x∈0,+∞时fx先递减、再递增最后递减,所以所对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于解析:对于A,如果把C1作为f′x的图象,则f′x≥0,原点处取等号,则对于B,如果把C2作为f′x的图象,则f′x>0对于C,如果把C2作为f′x的图象,则f′x>0对于D,如果把C1作为f′x的图象,则f′x≥0,在个别点处取等号,则如果把C2作为f′x的图象,则在图象所对应的范围内f′x≤0,在个别点处取等号,则fx单调递减,与图中C1不符;解析:因为fx=ax3+bx2+对于A选项,如下图所示:当x<x1或x>x2时,f′x<0,则函数f对于B选项,由图可知,∀x∈R,f′x>0,则函数fx对于C选项,由图可知,∀x∈R,f′x>0,则函数fx对于D选项,如下图所示:当x<x1或x>x2时,f′x<0,则函数fx在区间−∞,【6】C解析:由函数y=x当x<−1时,xf′x<0,即当−1<x<0时,xf′x>0当0<x<1时,xf′x<0当x>1时,xf′x>0,即f′x【7】C解析:由函数y=fx的图像可知,fx在区间−∞,0,2,+∞上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,当x∈−∞,0∪2,+∞时,f′x<0;当x∈0,2时,所以不等式x⋅f′x>0【8】1解析:根据图象可知,当x<4时,f′x>0;当同时当x<1或x>6时,fx<0;当所以f′xfx>0的解集为【9】−解析:函数y=fx∴由图可知:当x∈−3,3时,f当x∈−4,−时,fx当x∈(−4,0]时,f′x≤0∵fx+1⋅即x∈−5,−4∴x∈[2,3)或【10】−∞,−解析:由函数fx当x<−2时,fx<0;当−2<x当x<−1或x>0时,f′x>0则当x<−2时,x−1当−2<x<−1时,当−1<x<0时,当0<x<1时,x当x>1时,x−1综上x−1f′x故答案为:−∞,−【11】(1)答案见解析；(2)答案见解析.解析:(1)易得函数fx0令f′x=0,解得当x变化时,fx,x033f0+f↘1↗∴函数fx的单调递减区间为0,33(2)易得函数fx−∞,令f′x=0,解得x=当x变化时,fx,x−∞,−−−055f+00+f↗−↘↘2↗∴函数fx的单调递增区间为−∞,−单调递减区间为−5【12】详见解析解析:f′当x∈−∞,−2或x∈0当x∈−2,0所以,fx的单调增区间是−∞,−2和0,+∞【13】详见解析解析:fx当x<0时,f′x<0,当fx的单调递减区间为−∞,0,单调递增区间为【14】详见解析解析:因为fx=x−2lnf令f′x>0,得x>2,令所以函数fx的单调增区间为2,+∞【15】详见解析解析:依题意:f′故当x∈−∞,−1时,f′x>0,当当x∈3,+∞时,∴fx的单调增区间为−∞,−1【16】详见解析解析:由函数fx=x−2ln2−x,可得fx的定义域为−∞,2,且f′x=ln2−x+1,令f′x<0,可得ln2−x<−1【17】详见解析解析:因为fx=xsinx所以f′因为−1≤cosx≤1所以当x<0时,f′x<0,当所以fx的单调递增区间为0,+∞,单调递减区间为【18】详见解析解析:由题可得:fx的定义域为R则f由f′x>0,得x+1x−2由f′x<0,得x−∴fx单调递增区间为−∞,−1【19】详见解析解析:f′解得x=−因为x∈0,π当x∈0,3π4所以fx在0,3π4上单调递减,在【20】见解析解析:因为fx=13x由f′x=x2−2ax=0当a=0时,f′x=x2≥0−∞,+∞；当a>0时,当x∈−∞,0∪2a,+∞时,f′所以fx的单调增区间为−∞,0及2a当a<0时,当x∈−∞,2a∪0,+∞时,f′所以fx的单调增区间为−∞,2a及0【21】答案见解析解析:因为fx所以f′x=x2当a=0时,f′x=x2≥0当a<0时,当x∈−∞,a∪−当x∈a,−3a时,f′x当a>0时,当x∈−∞,−3a∪a当x∈−3a,a时,f′综上所述:当a=0时,函数fx单调递增区间为当a<0时,函数fx的单调递增区间为−∞,a,−3a,+∞;当a>0时,函数fx的单调递增区间为−∞,−3a,a,+∞;【22】答案见解析解析:因为函数fx=lnx−ax当a≤0时,f′x>0,函数f当a>0时,由f′x=若0<x<1a,则f′x>0当a>0时,函数fx=lnx−ax综上所述,当a≤0时,函数fx=lnx当a>0时,函数fx的单调增区间为0,1【23】答案见解析解析:函数fx的定义域为0,+∞f①当a≤0时,2x−a>0,由f′x>0,得则函数fx的单调递增区间为1,+∞②当0<a2<1,即0<a<2时,由f′f′x<0则函数fx的单调递增区间为0,a2,1,+∞,函数③当a2=1,即a=2时,f′x≥0④当a2>1,即a>2时,由f′x>0,得0<x<则函数fx的单调递增区间为0,1,a2,+∞,函数综上所述,当a≤0时,函数fx在当0<a<2时,函数fx在0,a2和当a=2时,函数fx在当a>2时,函数fx在(0,1)和a2,+∞【24】答案见解析.解析:因为gxg当m≤0时,令g′x>0,得0<x<所以gx在(0,1)上单调递增,在1,+∞当0<m<1时,令g′x>0,得0<x1所以gx在(0,1)上单调递增,在1,1m上单调递减,在当m=1时,g′x=x−12x当m>1时,令g′x>0,得0<x<1m或x>1,令g′x<0,得1m综上所述,当m≤0时,gx在(0,1)上单调递增,在1,+∞上单调递减;当0<m<1时,1m,+∞当m=1时,gx在当m>1时,gx在0,1m上单调递增,在1m,【25】(1)(0,3)(2)12,+∞(3)(解析:(1)若a=−32,则可得fx的定义域为0,+∞,且令f′x<0故fx(2)∵fx=12若函数fx∀x∈可得x2−2x≥−2a构建gx=x2−2x,可知∴g故−1≥−2a,解得则a的取值范围为12(3)由(2)可得:f′若函数fx在区间(1,2)上存在减区间,等价于∃xf′x可得∃x∈1,2构建gx=x2−2x,可知∴g故−1<−2a,解得则a的取值范围为−∞,1(4)由(2)可得:f′若函数fx在区间(1,2)上不单调,等价于∃xf可得∃x∈1,2构建gx=x2−2x,可知∴g故−1<−2a<0则a的取值范围为0,【26】A解析:f′因为fx在R上为单调递增函数,故f′x≥0所以Δ=4+12a≤0【27】B解析:由fx=lnx+x又fx的单调递减区间是12,1,所以12和1是方程2x2【28】A解析:由fx=f∵函数fx在−1∴f′x=x2即x2−2ax+2x−∴−12−21−a−2a选:A.【29】C解析:f′当a=0时,f此时fx当a≠0时,则要求ℎℎx=ax2−ℎ3⋅ℎ4<0,故故a的取值范围18,1【30】D解析:因为函数fx的定义域为0,+∞,所以2k−1≥f令f′x=0,得x=1因为fx在定义域的一个子区间2k−所以2k−1<12<2k+1,得【31】A解析:依题意f′x=−lnx+1x+a−令gx=−lnx+1x+a−1z则z′x=1x+1x2又由z1=0,得故a=zx>0,所以,a的取值范围【32】D解析:∵f若fx在区间12,2内存在单调递增区间,则f′x>令gx=−12x2,则gx=−12x2在【33】−∞,解析:由函数fx=−x3−2x,可得f′x=−3因为f2m>fm+2,可得即实数f2m>fm+2不等式的解集为【34】A解析:因为fx所以f′x=1−1x2>0则不等式f2x−1<fx+2所以不等式的的解集为(1,3).故选:A【35】D解析:因为fx所以f′x=1+1由fx2−4≤f3x可得,0【36】(1,4)解析:f−x=−x−sin−x=−x−sin而f′x=1−cosx从而f⇔1所以不等式f1−x2+f3x解析:f−∵f−则f′∵2∴f′又fx则fx∴x∴x>1或x【38】A解析:函数fx的定义域为R,f−x=−∵f′x=5x4−2+ex+e由fa−1+f2a2≤0可得f2a2≤−f【39】B解析:令gx=fx−x,不等式fg′x=f′x−1,因为f′x>1,所以g′x>0,所以gx故选:B.【40】D解析:令函数gx=fx−sin因为f′x≥cosx,所以.因为fx是奇函数,所以f所以gx≥0的解集为[0,+∞),即f故选:D.【41】A解析:令gx因为对任意x∈所以g′x=f′x+1<0又因为f2=−1,所以由fx>1−x,可得f所以x<2,即不等式fx>1−x【42】A解析:令gx=fx−x∵由已知得,g′x=f′x−1<0又由f2=3得,g2=f2−3故选:A.【43】A解析:因为fx<x2+令gx=fx−因为f′x<12,所以g′x<0因为f1=1,所以g1=所以x>1,即不等式fx<x2+【44】A解析:令gx=fx−所以gx在0,+∞上单调递增,fx>2lnx+1等价于fx−所以不等式fx>2lnx+1【45】B解析:令gx=fx−所以gx在R上单调递增,又f2=5不等式fx>x2+1,即fx−x即不等式fx>x2+1【46】B解析:令gx=fx+g故gx为奇函数,即fg故gx在Rf故fx即gx所以x2−x−3≥2x+1,x解析:由b=1e=lnee,令y=lnxx,则当x∈0,e时,y′>0;当故y=lnxx在(0,e)上单调递增,在由7>5>e,则lnee>ln5【48】C解析:由题,c=eln.令fx=因为x≥e,所以f′x=lnx−1ln2x≥0,所fx=xlnx在[e,+∞)上单调递增,又a=f4,b=f3,c=fe,e<3<4,故c<b<a.故选:C.【49】B解析:因为lna=23ln32,lnb=57ln75,lnc=35ln53,故令fx=lnxx1<x<e,则f′x=1−lnxx2,因为1<x<e,所以0<lnx<1,故f′x=1−lnxx2>0恒成立,所以fx在(1,e)上单调递增,因为1<75<32<53<e,所以ln7575<ln3232<ln5353,即57ln75<23ln32<35ln解析:令fx=14−x因为y=−lnx在0,+∞上单调递减,y=14x所以f′x=−lnx+14而f′5=−ln5+14f′x<0.所以fx=所以f6>f7>f8,即8【53】A解析:依题意令fx=a则f′x=ex−1,所以当即fx=ex−x又12=lne12<ln2<1,所以【54】A解析:依题意a构造函数fx=ex−求导得f′x=ex−1>0因为e≈2.718,e5≈148.3,又34=81,则e即1<ln3<54,因为a=选:A.【55】A解析:因为a=同时取自然对数可