2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型应用案巩固提升新人教A版必修1

PAGE1-3.2.1几类不同增长的函数模型[A基础达标]1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长快速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数 B．幂函数C．指数型函数 D．对数型函数解析：选D.初期增长快速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系，故选D.2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先动身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点解析：选D.从题图可以看出，甲、乙两人同时动身(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200双 B．400双C．600双 D．800双解析：选D.要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.4．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是()A．2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgxB．2x>lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))C．xeq\s\up6(\f(1,2))>2x>lgxD．lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))>2x解析：选A.结合y＝2x，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))及y＝lgx的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgx.5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他们始终跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x解析：选D.明显四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，所以x2要比xlnx增长得要快．答案：y＝x27.在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间改变的状况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案：②④8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满意关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝a·0.51＋b，,1.5＝a·0.52＋b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案：1.75万件9．画出函数f(x)＝eq\r(x)与函数g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示：依据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．10．某人对东北一种松树的生进步行了探讨，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预料第8年的松树高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解：据表中数据作出散点图如图．由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．不妨将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预料第8年松树的高度为2米．[B实力提升]11.如图所示的是某池塘中的浮萍扩散的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2扩散到12m2须要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是()A．①③ B．①②C．②③④ D．①②④解析：选B.由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2，4)，故①对；令t＝5，得y＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4m2扩散到12m2须要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5，因为23.5＝8eq\r(2)≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．12．2024～2024年春运期间，某市长途汽车站平均每日发送旅客数量如表所示．为了估测每年春运期间这个汽车站平均每日发送旅客的数量，以2024～2024年三年的数据为依据，选择函数y＝abx－2016＋c模拟平均每日发送旅客的数量y(万人)与年份x(年)的关系．依据所给数据，预料2024年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为____________万人．年份2024年2024年2024年平均每日发送旅客数量/万人11.21.3解析：依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))所以y＝－0.8×0.5x－2016＋1.4.当x＝2020时，y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，所以预料2024年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为1.35万人．答案：1.3513．某学校为了实现100万元的生源利润目标，打算制定一个激励招生人员的嘉奖方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行嘉奖，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个嘉奖模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．视察图象可知，在区间[5，100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行嘉奖才符合学校的要求．14．(选做题)2024年1月8日，中共中心、国务院隆重实行国家科学技术嘉奖大会，在科技界引发热情反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发觉了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x－t).测得数据如表(部分)x(单位：克)0129…y0eq\f(7,4)3eq\f(1,9)…(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数f(x)的最大值．解：(1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表格数据可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝\f(7,4)，,f（2）＝4a＋2b＋c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,b＝2，,c＝0，))所以，当0≤x<6时，f(x)＝－eq\f(1,4)x2＋2x，当x≥6时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x－t).由表格数据可得f(9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(9－t)＝eq\f(1,9)，解得t＝7.所以当x≥6时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x－7)，综上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋2x，0≤x<6，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x－7)，x≥6.))(2)当0≤x<6时，f(x)＝－eq\f(1,4)x2＋2x＝－eq\