高考数学讲义程序框图与算法参考教案

耳t州昨

要求层次重难点

算法的含义A（1）算法的含义、程序框图

①了解算法的含义，了解算法的思想.

算法算法及其程程序框图的@理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、

初步序框图三种基本逻B条件分支、循环.

辑结构（2）基本算法语句

理解几种基本算法语句一一输入语句、输出语

基本算法语句

A句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

板块一：算法的含义与描述

知识内容

一、算法的含义与描述

1.算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解

决某一类问题的明确的和有限的步骤，称为算法（algorithm）.

通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

2.算法的特征：

⑴有穷性：算法必须在执行有限步后结束，通常还理解为实际上能够容忍的合理限度；

⑵确定性：算法的每一个步骤必须有确定的含义；

⑶可行性：组成算法的每个步骤和操作必须是相当基本的，原则上都是能精确地执行的；

⑷输入：有零个或多个输入：

⑸输出：有一个或多个输出.

3.算法的描述：

⑴用自然语言；⑵用数学语言；⑶用算法语言（程序设计语言）；⑷用程序框图（流程图）.

4.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件（分支）结构和循环结构.

⑴顺序结构：最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.如下图,

只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框指定的操作；

⑵条件（分支）结构：在一个算法中，用来处理需要根据条件是否成立有不同的流向的结构.

常见的条件结构的程序框图有下面两种形式：

⑶循环结构：从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，就是循环结构，其中反复执行

的步骤称为循环体.

常见的循环结构的框图对应为：

〈教师备案〉

1.在画程序框图时，从开始框沿箭头必须能到达结束框，特别是条件分支结构应沿每条支路都能到

达结束框，流程线必须加箭头表示顺序.

2.对于循环结构有如下需要注意的情况：

⑴循环结构非常适合计算机处理，因为计算机的运算速度非常快，执行成千上万次的重复计算，只不

过是一瞬间的事，且能保证每次的结果都正确；

⑵循环结构要有中止循环体的条件，不能无休止的运算下去，循环结构中一定包含条件结构，如

就是中止循环的条件；

⑶循环结构的关键是，要理解“累加变量”和“用，+1代替广，S是一个累加变量，，是计数变量，每循

环一次，S和7•都要发生变化，这两步要重复计算若干次；

⑷一种循环结构是先判断〃是否成立，若是，执行循环体；若否，则中止循环，像这样，每次执

行循环体前对控制循环条件进行判断，条件满足时执行循环体，不满足则停止，称为当型循环.除了

当型循环外，常用的循环结构还有直到型循环.

5.程序框图的概念：用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图）.

常用图形符号：

图形符号名称符号表示的意义

起、止框框图的开始或结束

输入、输出框数据的输入或者结果的输出

处理框赋值、执行计算语句、结果的传送

判断框根据给定条件判断

流程线流程进行的方向

连结点连结另一页或另一部分的框图

〈教师备案〉

1.画程序框图的规则：

(1)使用标准的框图的符号；

⑵框图一般按从上到下、从左到右的方向画；

⑶除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框是具有超过一个退出点的

惟一符号；

(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有

几种不同的结果；

⑸在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

2.画程序框图要注意的几点：

⑴起、止框是任何流程不可少的，表示程序的开始和结束；

⑵输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置；

⑶算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内；

⑷当算法要求你对两个不同的结果进行判断时，要写在判断框内；

⑸一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连结；

⑹如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连结点，并标出连结的号码.

如：用海伦公式求任意三角形的面积的程序框图，其中断开处画上连结点，并标出连结的号码.

典例分析：

算法的含义

【题1】看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是()

A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达

B.解一元一次方程的步骤是去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化为1

C.方程/一1=0有两个实根

D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再由于3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结

果为15

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题2】算法的有穷性是指（）

A.算法最后包含输出B.算法的每个操作步骤都是可执行的

C.算法的步骤必须有限D.以上都不正确

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题3】早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）.刷水壶（2min）.烧水（8min）.泡面（3min）.吃

饭（lOmin）.听广播（8min）几个步骤，下列选项中最好的一种算法为（）

A.si洗脸刷牙s2刷水壶s3烧水s4泡面s5吃饭s6听广播

B.si刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭s5听广播

C.si刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭的同时听广播

D.si吃饭的同时听广播s2泡面s3烧水的同时洗脸刷牙s4刷水壶

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题4】已知直角三角形两直角边长为*b,求斜边长c的一个算法分下列三步：

①计算C=②输入直角三角形两直角边长a,b的值；

③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是（）

A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③

【考点】算法分析【难度】2星【题型】选择

【关键词】无北京师大附中，2009,高二，期中考试

【解析】

【答案】D

算法分析（自然语言与数学语言）

【题5】算法：

S1输入〃

S2判断”是否是2,若〃=2,则"满足条件,若〃>2,则执行S3

S3依次从2到检验能不能整除〃，若不能整除，7,满足上述条件的是（）

A.质数B.奇数C.偶数D.约数

【考点】算法分析【难度】2星【题型】选择

【关键词】

【解析】

【答案】A

【题6】用二分法设计一个求方程Y一2=0的近似根的算法.

【考点】算法分析【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过

0.005,

则不难设计出以下步骤：

第一步：令=-2.因为/l⑴<0,/⑵>0,所以设占=1,%=2.

第二步：令机=—；■,判断f（m）是否为0,若则，则根为所求；若否，则继续判断/（%,）•/（〃?）

大于0还是小于0.

第三步：若/（xj>0,则令X]=〃z;否则，令％=根.

第四步：判断卜-即<0.005是否成立？若是，则占，々之间的任意取值均为满足条件的近似

根；若否，则返回第二步.

小结：算法具有以下特性：（1）有穷性；（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；

（5）普遍性

【答案】

【题7】分别用自然语言.数学语言写出对任意四个整数a.b.c.d,求出最小值的算法.

【考点】算法分析【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】自然语言：

S1:先将这四个整数的值输入；

S2:假定序列中的整数a为“最小值”;

S3:将序列中的数6与“最小值”比较，如果它小于此“最小值”，这时就假定“最小值”是这个

整数；

S4:对序列中整数c.d,重复S3;

S5:在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最小值”就是这个序列中的最小值.

数学语言：

S1:输入a.b.c.d四个数的值；

S2:min=a;

S3:如果》<min,则min=b;

S4:4口果c<min,贝Umin=c;

S5:如果d<min,则min=d;

S6:min就是a.b.c.d中的最小值.

【答案】

【题8】某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣.计算客户应付货款的算法步骤如

下：

S1输入订单数额x（单位.：件）；输入单价A（单位：元）；

S2若x<250,则折扣率d=0；

若250Wx<500,则折扣率d=0.05；

若500Wx<1000,则折扣率d=0.10;

若x21000,则折扣率4=0.15；

S3计算应付货款7=小（1-[）（单位：元）；

S4.输出应付货款T.

已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是.

【考点】算法分析【难度】2星【题型】填空

【关键词】2009,宣武，一模

【解析】由题意有400・A・（l-0.05）=38000nA=100.

不妨设应付货款为88200时的订单数额xe[500,1000）.

于是有xJ00・（l一0」0）=88200=>x=980.满足题意.

【答案】980

算法的三种基本逻辑结构与程序框图

【题9】算法的三种基本结构是（）

A.顺序结构、选择结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构

C.顺序结构、分支结构、流程结构.D.流程结构、循环结构、分支结构

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】A

【题10］下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是（）

（1）已知三角形三边长，求三角形的面积；

（2）求方程ax+b=0（a,b为常数）的根；

（3）求三个实数a,b,c中的最大者；

（4）求1+2+3++100的值.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】（2）,（3）是必须得用的，（1）可以直接用海伦公式，（4）可以直接用等差数列求和公式.

【答案】C

【题11】在右面的程序框图中，若x=5,则输出i的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择

【关键词】2010,丰台，一模，第3题

【解析】5-13—37—109—325,对应的i=4.

【答案】C

【题12】在右面的程序框图中，若x=5,则输出i的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择

【关键词】2010,丰台，一模，第3题

【解析】5->13-374109—325,对应的i=4.

【答案】C

【题13】已知程序框图如图所不，则该程序框图的功能是()

A.求数列的前10项和(〃eN*)B.求数列的前10项和(〃eN*)

C.求数列的前11项和(〃eN*)D.求数列的前11项和(〃eN*)

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择

【关键词】2010,石景山，一模，文科第6题

【解析】注意”和々的步长分别是2和1.

【答案】B

【题14］已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是()

A.-1B.1C.2D.

2

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择

【关键词】2010,海淀，一模，第7题

【解析】

,/i=2010=0（mod3）,二对应的。=一1.

【答案】A

【题15】某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）.随机选择了50位老人的进行

调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号分组组中值频数频率

⑴（睡眠时间）（G,）（人数）⑴

1[4,5)4.560.12

2[5,6)5.5100.20

3[6,7)6.5200.40

4[7,8)7.5100.20

5[8,9]8.540.08

在上述统计数据中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空

【关键词】2008,江苏，高考，第7题

［解析】由算法流程知S=4.5X0.12+5.5X0.20+6.5x0.40+7.5x0.20+8.5x0.08=6.42.

【答案】6.42

【题16】右图是一个程序框图，其中判断框①处缺少一个判断条件，②为一输出框.

⑴若在①处填空"n=2009”，请求出在输出框②处输出的y的值；

⑵若在①处填空"x>2颉8-4”，请求出在输出框②处输出的n的值.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】3星【题型】解答

【关键词】2009,海淀，高二，期中测试

【解析】⑴不考虑尤的值，循环几次看"的值与y的值的关系：(2)不考虑y的值，循环几次看"的值与

x的值的关系.

【答案】(1)2010;(2)2007

【题17】半径为r的圆面积计算公式为5=写出计算圆面积的算法，并画出框图.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】解答

【关键词】无

【解析】S1:输入任意一个正实数r;

S2:计算以r为半径的圆的面积S=“2;

S3:输出圆的面积S.

程序框图如右.

【答案】

【题18】画出求lx2xx20的程序框图.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】S1:设T=1;

S2:设，=1;

S3：设丁=1*，；

S4:设i=i+1;

S5:如果i>20执行S6,否则执行S3;

S7:输出T,结束算法.

程序框图如右.

【答案】

【题19】写出求解一般的二元一次方程组的程序框图.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】可用公式法求解，对应的程序框图如右：

【答案】

【题20】画出求解方程ax+b=0（a,b为常数）的程序框图.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】要求解此方程，需要分情况讨论：

。=0时，此方程有无穷多解，或者无解；awO时，此方程有唯一解，

需要用一个条件结构来描述.

框图如下面所示，也可以对解的情况进行进一步讨论，写成下面右边的形式.

【答案】

【题21】已知算法：（1）指出其功能（用算式表示），（2）将该算法用流程图来描述之.

S1输入x;

S2若x<0,执行S3；否则，执行S6；

S3y=x+1；

S4输出y；

S5结束；

S6若x=0,执行S7；否则执行S10；

S7y=0；

S8输出y;

S9结束；

S10j=x；

Sil输出y;

S12结束.

【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

x+1x<0,

【解析】这是一个输入％的值，求y值的函数的算法.其中y=<0x=0,其流程图如下.

xx>0.

【答案】

板块二：基本算法语句

知识内容

Basic语言(A版)

1.将算法转变成计算机能够理解和能在计算机上实现的程序，这就需要程序语言，每一种程序语言

都包含一些基本的语句，程序语言的基本语句结构：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、

循环语句.

2.赋值语句：表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.

一般格式：变量=表达式.其中，“=”叫做赋值号.

作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后将它赋给左边的变量，使该变量的值等于表达式的

值.

3.输入语句：在每次程序运行时，用于输入相应的初始数据的语句，我们主要介绍键盘输入语句.

一般格式：INPUT"提示内容”；变量

例：INPUT“Maths="；a,

INPUT“Chinese—；b

c=(a+b)/2

END

表示输入数学与语文的成绩，其中c表示它们的平均数.

4.输出语句：以某种形式把求解结果输出的语句.

一般格式：PRINT"提示内容”；表达式

如上例中输出平均成绩可以用：PRINT“Theaverage="；(a+b)/2

5.条件语句：处理条件结构的算法语句.有以下两种基本格式：

一般格式1：IF条件THEN

语句体

ENDIF

计算机执行语句时，先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句

体，否则执行ENDIF之后的语句.

一般格式2：IF条件THEN

语句体1

ELSE

语句体2

ENDIF

计算机执行语句时，先对IF后条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1,

否则(ELSE)执行语句体2.

6.循环语句：处理算法中的循环结构的语句；

有两种基本语句：UNTIL语句和WHILE语句，前者称为直到型循环语句，后者称为当型循环语句.

UNTIL语句：DO

循环体

LOOPUNTIL条件

WHILE语句的一般格式：WHILE条件

循环体

WEND

Scilab程序语言(B版)

1.将算法转变成计算机能够理解和能在计算机上实现的程序，这就需要程序语言，每一种程序语言

都包含一些基本语句，程序语言的基本语句结构：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、

循环语句.

2.赋值语句：表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.

一般格式：变量名=表达式；其中叫做赋值号.

作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后将它赋给左边的变量，使该变量的值等于表达式的

值.

3.输入语句：在每次程序运行时，用于输入相应的初始数据的语句，我们主要介绍键盘输入语句.

Scilab中的输入语句常用的是：“input”；

一般格式：变量名=input(“提示内容”)

例：a=input(“xl”)；b=input(“x2”)；aver=(a+b)/2

表示输入占，%的值，求它们的算术平均数，

在Scilab界面内运行结果如下：

—>a=input("xl")；b=input("x2")；aver=(a+b)/2

xl—>

此时通过键盘输入xl的值，如4,再按“Enter”键，界面出现：

x2—>

输入x2的值,如6,再按“Enter”键,这时界面出现：

aver=

5.

4.输出语句：以某种形式把求解结果输出的语句.

Scilab中有：print,write,format,printf,disp等输出语句，主要介绍print语句：

一般格式：print（%io（2）,表达式）；其中参数%io（2）表示在屏幕上输出.

5.条件语句：处理条件分支结构的算法语句.

Scilab程序语言中常用的条件语句为if语句.

一般格式：if表达式

语句序列1;

else

语句序列2；

end

最简格式：if表达式

语句序列1;

end

6.循环语句：处理算法中的循环结构的语句；

Scilab有两种循环语句：for循环和while循环.

for循环的格式：for循环变量=初值：步长：终值

循环体；

end

while语句的一般格式：while表达式（即条件）

循环体；

end

〈教师备案〉

1.计算机能够直接或间接理解的程序语言有很多种，比如C语言，Basic语言，以及一些应用数学软

件：Matlab,Mathsmatics,Scilab对应的计算机语言.这里的基本语句结构在这些语言中都是存在的，

但是对应不同的程序语言，都会有自己的输入指令与方法.这里是以一种语言为例，让大家理解程序

语句的含义，为以后深入学习程序设计打下基础.

2.赋值语句：

⑴赋值号左边只能是变量名，而不是表达式；如3=机是错误的；

⑵赋值号左右不能对换，是将赋值号右边的表达式的值赋给左边的变量；如x=y表示用y的值替代变

量无原先的值，与y=x不同；

⑶不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算；如＞=/_1=（》+1）（》一1）是不能实现的；并且在

一个赋值语句中，只能给一个变量赋值；

⑷赋值号与数学中的等号的意义不同，执行赋值语句后，右面表达式的值会赋给左边，如果左边变量

原来有一个值，会自动被冲掉，如"="+1表示将N的原值加1再赋给N,即N的值加1.

3.输入语句：在某些算法中，变量的初值要根据情况经常地改变，一般我们把程序与初始数据分开，

每次算题时，即使初始数据改变，也不必改变程序部分，只要程序运行时，输入相应的数据即可，这

个过程在程序语言中，用“输入语句”来控制.输入语句中还有read输入语句等.

输入语句要求输入的一般都是具体的常数，也可输入单个或多个字符，格式为：

变量名=input（“提示内容”，“string"），string表示输入字符型变量.

4.循环语句：

for语句：先把初值赋给循环变量，记下终值和步长，循环变量增值到超过终值时，执行end后面的

语句，不超过时，执行for后面的语句；循环变量起计数作用，控制算法中循环次数，有初值与终值，

步长是指循环变量每次增加的值，步长为1时，可以省略；

while语句：先判断条件是否成立，并在符合条件时，执行循环体；直到某次不符合时，跳到end后

面的语句.

对应的基本框图是：

5.在程序语言中，乘、除、乘方、求平方根、绝对值，分别用下列符号表示：*、/、人、sqrt（）、abs

（）.程序语言中，一般“=”为赋值号，“==”表示等号.

》、W、片分别写成：＞=、＜=、＜＞.

在程序中，如果赋值语句后面用分号隔开，则被赋值的变量不会输出，一般不随便使用逗号或句号，

而是直接使用回车或空格.

在Scilab语句中，变量名一般用一个字母表示，不可以用几个字母表示.如可以用s表示变量名，但

不能用sum表示变量名，但在有些程序语言中，可以用多个字母表示变量名.

典例分析:

Basic语言（A版）

【题22】下列关于条件语句的叙述正确的是（）

A.条件语句中必须有ELSE和ENDIF

B.条件语句中可以没有ENDIF

C.条件语句中可以没有ELSE,但必须有ENDIF结束

D.条件语句中可以没有ENDIF,但必须有ELSE

【考点】Basic语言【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题23】下边程序运行后的输出结果为（）

A.17B.19C.21D.23

【考点】Basic语言【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题24］下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为（）

A.i>20B..i>=20D.i<=20

【考点】Basic语言【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】该算法程序中，使用了UNTIL循环语句，按照该种循环特征，当某一次条件满足时，不再

执行循环体，跳到LOOPUNTIL句的后面，执行其他的语句.根据问题要求，应填i>20.

【答案】A

【题25】将下列的程序补充完整

INPUTx

IFxv=0THEN

y=x*x—1；

ELSEy=-x*x-l；

ENDIF

PRINTy

END

输入-3,输出结果为；输入3,输出结果为.

【考点】Basic语言【难度】1星【题型】填空

【关键词】无

【解析】—3<。，故y=(―3>—1=8;3>0,y=—32—1=-10;故输出的结果分别为8,—10;

【答案】8,-10

【题26】分别用WHILE语句和UNTIL语句写出计算1+工+,++上的值的算法，并写出程序框图.

23100

【考点】Basic语言【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】WHILE语句：

i=l

s=0

WHILEi<=100

s=s+l/i

i=i+l

WEND

PRINTs

END

UNTIL语句：

i=l

s=0

DO

s=s+l/i

i=i+l

LOOPUNTILi>100

PRINTs

END

程序框图:

【答案】

【题27］如图所示，在边长为4的正方形A8CD的边上有一点P,沿着折线BCZM,由点8（起点）

向点A（终点）运动.设点P运动的路程为x,的面积为y,求y与x之间的函数关

系式.并画出程序框图，写出程序.

【考点】Basic语言【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

2x(0WxW4)

【解析】由题意可得丁=卜(4<xW8)

2(12—x)(8<xW12)

程序框图如图：

程序：

INPUT"x=”；

y=2*(12-x)

END

【答案】

Scilab程序语言(B版)

【题28】在Scilab界面内，输入如下程序:

j=1;

whilej*j<1000,j=j+1;end

j

在输入完程序，击Enter键后，输出的j值为（）

A.29B.30C.31D.32

【考点】Scilab程序语言【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

【题29］下面程序输出的结果是.（注：abs（x）表示x的绝对值）

1

x=一;

2

forn=2:1:99

x=abs(x-1)-abs(x);

end

x

【考点】Scilab程序语言【难度】1星【题型】填空

【关键词】2009,海淀，高二，期中测试

【解析】

【答案】0

【题30］在求1+2++50时，下列程序中所缺少的一步是：

s=0；

fori=l：1：50

end

print(%io(2),s)

如果要用while循环语句计算此式的值，请写出相应的程序.

【考点】Scilab程序语言【难度】1星【题型】填空

【关键词】无

【解析】缺少的一步是：s=s+i.

用while循环语句：

s=0;i=l;

whilei<=50

s=s+i;i=i+l;

end

print(%io(2),s)

【答案】

【题31】写出将任意三个整数按从小到大的顺序排列的算法，画出相关的程序框图，并写出程

序.

【考点】Scilab程序语言【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】用数学语言写此排序算法：

S1:输入a、b、c三个数的值；

S2:4口果则£=a,a=b,b=£;

S3:如果cva,贝h=a,a=c,c=/;

S4:4口果c<b,则，=b,/?=c,c=，；

S5:依次输出〃、b、c的值，即为所求的从小到大的排列.

程序框图：

(开始j

T

程序：

a=input("a=");b二input(“b=");c二input("c=");

ifb<a

t=a,a=b,b=t

end

ifc<a

t=a,a=c,c=t;

end

ifc<b

t=b,b=c,c=t;

end

print("%io(2)”,c,b,a)

【答案】

【题32】分别用while语句和for语句写出计算1+工+工++’的值的算法，并写出程序框图.

23100

【考点】Scilab程序语言【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】程序：

while语句：

i=l；

s=0;

whilei<=100

s=s+l/i;

i=i+l;

end

print(%io(2),s)

for语句：

s=0;

fori=l:1:100(或：i=l:100)

s=s+l/i;

end

print(%io(2),s)

程序框图：

/输出s/

(结束j

【答案】一

板块三：算法案例

知识内容

1.更相减损术一一求两个整数的最大公约数的算法

如何找到一种算法，对任意两个正整数都能快速地求出它们的最大公约数呢？

更相减损术的步骤：

以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数,

以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数.

等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求

任意两个正整数的最大公约数.

〈教师备案〉

《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数.以具体

的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：

以求117和182的最大公约数为例：

(117,182)7(117,65)->(65,52)f(52,13)-(13,39)-(13,26)-(13,13),

每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，

即为所求的最大公约数.

2.辗转相除法

又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法。

辗转相除法的步骤：

对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数,

重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数。

以求117和182的最大公约数为例：

(117,182)-(117,65)-»(65，52)-»(52,13)-(13,0),故13即为所求。

3.秦九韶算法一一求多项式的值的算法

对于任意一个"元的多项式，如何更快地计算它在某点所取到的值？

秦九韶算法：

已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，

具体如下.

对任意一■个〃元多项式/'(尤)=%尤"++a1x+aQ,

n

改写成如下形式：+an_xx~~++al)x+a0

n2

=((anx~+++a1)x+ai)x+a0

==(((a„x+a„_1)x+an__2)x++al)x+aQ，

求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即匕=。/+%一,

VVX+aJ

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即匕=匕彳+%一2，3=2n-3，Vn=V^X+aQ.

这样，求一个"次多项式的值，就转化为求”个一次多项式的值.

令为=((anx+an_Jx++an_(k_1})x+an_k,则递推公式为，‘°""，其中％=1,2,

[v^v^x+a,^

到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法.

nx

秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：/(x)=anx+an_x^~++4X+4,

⑴直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，

乘法次数为〃+(〃-1)++2+1=%]，加法次数〃；

⑵逐项求和法：先计算x的各项幕的值，再分别相乘，计算嘉值需要乘法次，将幕值与多项式系

数即相乘需要乘法”次，故共需要乘法2〃-1次，加法”次.

此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多.

⑶秦九韶算法：计算量仅为乘法"次，加法”次.

典例分析：

辗转相除法与更相减损术

【题33】用辗转相除法计算60和48的最大公约数时，需要做的除法次数是()

A.1B.2C.3D.4

【考点】辗转相除法与更相减损术【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】60=48x1+12,48=12x4+0,故只需要两步计算.

【答案】

【题34】分别用辗转相除法与更相减损术求27090与8127的最大公约数，并且由此比较这两种算法.

【考点】辗转相除法与更相减损术【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】更相减损术：

(27090,8127)->(8127,18963)->(8127,10836)f(8127,2709)->(2709,5418)-»(2709,2709)

故它们的最大公约数为2709.

辗转相除法：

27090=8127x3+2709;8127=2709x3;故它们的最大公约数为2709.

联系：都是求最大公约数的方法；

区别：①计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主；

②计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别是当两个数差别较大时区别明显；

③从结果输出的时候看，辗转相除法当“余数为0”时输出“除数”，更相减损术当“差和减数相

等”时输出“差”.

【答案】

【题35】求两个数的最大公约数还有一种方法叫辗转相除法，即对于任意两个正整数，用两个数中的

较大的数除以较小的数，再将所得的商与较小的数组成一组新的数，用同样的方法处理，一

直到所得到的两个数呈倍数关系，这时所得的较小的数即为所求的最大公约数.

如：求80与36的最大公约数：

80=36x2+8,余数为8,考虑36和8,此时有36=8x4+4,考虑8和4,它们有倍数关系，

故最大公约数为4.

请写出利用辗转相除法求任意两个正整数的最大公约数的算法步骤，对应的程序框图以及程

序.

【考点】辗转相除法与更相减损术【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】S1:输入两个正整数a,b(a>6);

S2:计算°除以匕所得的余数厂；

S3:如果r#0,则执行S4,否则转到S6;

S4:把b赋予a,把「赋予方；

S5:执行S2;

S6:输出b.

辗转相除法(B版)程序：

a=input("a=");

b=input(“b=”)；

r=l;

whiler<>0

r=mod(a,b);

a=b;

b=r;

end

print(%io(2),b)

//r=mod(a,b)的含义是r为a除以b的余数.

辗转相除法(A版)程序：

INPUT("a,b=”)；a,b

DO

r=aMODb

a=b

b=r

LOOPUNTILr=0

PRINTb

END

//r=aMODb的含义是r为a除以b的余数

【答案】

秦九韶算法

【题36】用秦九韶算法求"次多项式/（x）=a"x"+1++CL^X+CLQ,当X=%o时，求/（X。）需要算乘

方、乘法、加法的次数分别为（）

A.n（，1+l\n,nB.n,T,nC.0,20,〃D.0,n,n

2

【考点】秦九韶算法【难度】2星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】D

【题37】设计利用秦九韶算法计算5次多项式/（%）—+%尤4+/尤+/％?+CL^X+/当x=x0时的值的

程序框图.

【考点】秦九韶算法【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】程序框图如下：

【答案】

习题i.指出下列哪一个不是算法（）

A.解方程2尤-6=0的过程是移项和系数化为1

B.从济南到温哥华需要先乘火车到北京，再从北京乘飞机到温哥华

C.解方程2x?+x—1=。

D.利用公式5=兀/，计算半径为3的圆的面积为兀x32

【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】C

习题2.设计一个算法求解方程组字+>=「

【考点】算法分析【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】法一（高斯消元法）

S1:①x5-②：llx=22；

S2:解上式得x=2；

S3:再代入①求解得y=l.

S4:输出计算的结果x,y.

法二（公式法）

S1:%]=3,%2=]，=4,“22=5,b]=7,Z?2=13;

S2:£）=%w22—%必2=11，A=4％2—b2%2=22,D2=b2all—bxa2i=11;

S3:判断。wO；

S4:计算％=2=2,y=2=l.

D