电路理论基础（第三版） 课件 第4章 电路定理

第四章电路定律本章将介绍叠加定理、替代定理、戴维南定理、诺顿定理、特勒根定理及互易定理。这是几个重要的电路定理,在对电路进行分析、计算和理论探讨时,起着重要的作用。4.1叠加定理4.2替代定理4.3戴维南定理和诺顿定理4.4特勒根定理4.5互易定理4.1叠加定理叠加定理的本质是线性方程的叠加性在线性电路中的具体体现。如有方程

f(x)=y（4-1）设f(x1)=y1,f(x2)=y2

对任意常数k,若f(kx1)=ky1（4-2）成立,则方程(4-1)具有齐次性。若f(x1+x2)=y1+y2（4-3）

成立,则方程(4-1)具有叠加性。叠加性和齐次性是线性方程的基本特性。

由线性元件和独立源构成的电路称为线性电路,线性电路的数学模型是线性方程。因此,线性电路具有齐次性和可加性。下面以线性电阻电路为例,介绍线性电路的这一基本性质。4.1叠加定理线性电阻电路由线性电阻、线性受控源、独立电压源和电流源(称为激励)构成。若以支路电流和电压为变量列方程求解电路,则要将KCL方程、KVL方程及支路伏安特性方程联立求解。若电路有b条支路,则共可得到2b个独立方程。由于KCL方程、KVL方程及线性元件的支路伏安特性方程中均只含有各支路电流和电压的一次项,因此这2b个方程是支路电流和电压的一次方程组,或称为线性方程组,其一般形式为：（4-4）上式中,未知量x1,x2,…,x2b为各支路电流和电压;右端项c1,c2,…,c2b中的非零项为独立电压源和独立电流源的给定函数;aij(i=1,2,…,2b,j=1,2,…,2b)为各项系数,为实常数。4.1叠加定理若满足(4-4)式的解为x1=X1,x2=X2,…,x2b=X2b,则将电路中所有独立源同时乘以常数k,各支路电流和电压的解将变为x1=kX1,x2=kX2,…,x2b=kX2b,这是因为将(4-4)式两边各项同乘以常数k,方程仍成立。线性电路的齐次性:若将线性电路中的所有激励同时乘以常数k,则该电路中任一电流或电压响应也将乘以常数k。若线性电阻电路中只有一个激励源e1,则任一电流或电压响应xo

仅是e1的函数。由齐次性可知,若e1

增大k倍,xo

也将增大k

倍,因此xo与e1之间是正比函数关系,即：

xo=d1e1

（4-5）上式中,d1

为xo

与e1

之间的比例系数。4.1叠加定理当电路在一组激励下,即(44)式右端项为c'1,c'2,…,c'2b时,解得各支路的电流和电压为x‘1,x’2,…,x‘2b,即：（4-6）当在另一组激励下,即(44)式右端项为c″1,c″2,…,c″2b时,解得各支路的电流和电压为x″1,x″2,…,x″2b,即：（4-7）此时将(4-6)式和(4-7)式中各方程对应相加,可得：（4-8）由上式可见,电路在这两组激励共同作用下的各支路电流和电压响应为x1=x'1+x″1,x2=x'2+x″2,…,x2b=x'2b+x″2b,它们是两组激励分别作用时各响应的和。用数学归纳法可证明,任意多组激励共同作用时,上述结果也成立。4.1叠加定理叠加定理:线性电路在多组激励共同作用下的任一电流或电压响应等于每组激励单独作用时该电流或电压响应的代数和。

叠加定理反映了线性电路的可加性质。特别地,若线性电路中有l个独立电源,设它们分别为e1,e2,…,el,考虑l组激励情况,每组激励中只有一个独立源单独作用,其他独立源为零,则由叠加定理可知,l个独立源共同作用下,该电路中任一电流或电压响应xo等于每一独立源单独作用时该响应的叠加。设第m个独立源单独作用时该响应为xmo,则所有l个独立源共同作用时,该响应为：（4-9）上式是叠加定理的数学表达式。对于线性电阻电路,由(4-5)式有：则(4-9)式可写做：（4-10）其中,dm(m=1,2,…,l)为实常数。(4-10)式表明:线性电阻电路中任一电流或电压响应是所有独立源的线性函数,它综合反映了线性电阻电路的齐次性和可加性。前面的讨论较抽象,下面用一具体例子说明线性电阻电路的齐次性和可加性。若用支路电流法对图4-1所示电路进行计算,列出节点①的KCL方程和两个网孔的KVL方程如下：i1-i2+i3=02i1+2i2+2u1=us2i2+2u1-u2=0图4-1线性电路叠加性和齐次性示例考虑到i3由电流源确定,受控源的控制量u1可表示为电流的函数,有i3=isu1=2i1以上5式构成线性方程组,联立求解可得该电路中各支路电流和电压为i1=0.125us-0.25isi2=0.125us+0.75isi3=0×us+isu2=0.75us+0.5is4.1叠加定理由此例结果可见,各支路电流和电压均是电路中两个独立电源的线性函数。各电流和电压都可看做由两个分量组成,其中一个分量由电压源us单独作用(is为零)所产生;另一个分量则由电流源is单独作用(us为零)所产生。两个电源共同作用的结果就是每个电源单独作用结果的叠加。若两个电源同时增大K倍,则各支路电流和电压也增大K倍。此例结果验证了线性电路的叠加性和齐次性。

如果一个线性电路有多个电源,较为复杂,而每个电源单独作用的电路又较简单,可考虑应用叠加定理计算该电路。但应用时要注意：(1)某一独立源单独作用时,其他独立源应为零,即其他独立电压源用一短路线代替,其他独立电流源用开路代替。其他元件(包括受控源)的参数及联接方式都不能改变。(2)叠加定理不适用于功率的计算,因为功率是电流、电压的二次函数。4.1叠加定理例4-1图4-2(a)所示电路中,已知us=10V,is=4A,求i1、i2及R1的功率P。解电压源us单独作用时,电流源is用开路代替,电路如图4-2(b)所示。由图可得电流源is单独作用时,电压源us用短路代替,电路如图4-1(c)所示。由分流公式可得：两个电源共同作用时(原电路)的解为注意:

图4-2例4-1题图及求解4.1叠加定理齐次性和可加性是线性电路最基本的性质,在线性电路的理论研究中起着非常重要的作用。例如可用齐次性证明:就端口等效而言,不含独立源的线性电阻性二端网络可等效为一个电阻。图4-4不含独立源线性二端电阻网络的等效电阻图4-4所示电路中,N为一不含独立源的线性电阻性二端网络(可含有受控源),其端口电流和电压取为关联参考方向。在求其端口伏安关系时,设端电流i已知,相当于端口接一电流源,如图中虚线所示。由于N内部不含独立源,整个电路中只有端口电流源i,根据齐次性,任一电流或电压响应与该电流源成正比,因此端口电压u可表示为：u=ki（4-11）其中,k为常数。上式与线性电阻在电流与电压取关联参考方向时的伏安关系式u=Ri相同。4.1叠加定理结论:从端口上看,不含独立源的线性电阻性二端网络N可等效为一线性电阻,记为Req,定义为（4-12）式中,u、i分别为网络N的端口电压和电流,且u、i取为关联参考方向(如图44所示)。等效电阻Req又称为网络N的输入电阻Ri。①（①若二端网络内含受控源,其等效电阻Req可能为负数）工程上常需计算二端电路的等效电阻。若二端电路是电阻的串并联结构,可用电阻的串并联公式求端口等效电阻。若电路较复杂,或者电路中含受控源,则需先求其端口伏安关系式,再用(4-12)式计算等效电阻。4.1叠加定理例4-3求图4-5所示二端电路的等效电阻Req。图4-5例4-3题图解先求该二端网络的端口伏安关系式。取端口电流与电压为关联参考方向,设i已知,相当于端口接一电流源,如图中虚线所示。采用支路电流法,列出节点①的KCL方程及右网孔的KVL方程为：i1+i2=i-10i1+5i1+20i2=0解得i1=0.8i

由左网孔的KVL方程求得

u=10i+10i1=18i得4.1叠加定理4.2替代定理替代定理:在有唯一解的集总参数电路中,已知其中第k条支路的端电压为uk(或已知其端电流为ik),用us=uk的电压源(或is=ik的电流源)替代该条支路,若替代后、的电路也具有唯一解,则替代前后各支路的电流和电压不变。

证明:设原电路为N,其中第k条支路电压为uk,将该支路用一电压源us=uk替代,替代后的电路为Nˉ。由于N与Nˉ结构相同,因此它们的KVL及KCL方程相同。除第k条支路外的其他支路方程也相同。Nˉ中第k条支路为电压源,其电压已被给定与原电路N的第k条支路的电压相同(电压源的特性方程未对其电流有任何约束)。因此,满足原电路所有约束条件的支路电流和电压也将满足电路Nˉ的所有约束条件,即原电路N的一组解亦是Nˉ的一组解。又根据假定,替代前后电路都具有唯一解,故N与Nˉ是同解电路。对于将支路k代之以电流源的情况,也可作类似证明。4.2替代定理以图4-6(a)所示的简单电路对替代定理作验证。电路中,将R3与us3的串联看做一条支路。由图易得:I3=-1A,I1=I2=0.5A,U3=4V。将该支路用一参考方向及数值与U3一致的电压源替代,得图46(b)所示电路;或将该支路用一参考方向及数值与I3一致的电流源替代,得图46(c)所示电路。容易验证,替代后的两个电路中所有支路电流和电压均与原电路相同。图4-6替代定理示例

替代定理中的支路可推广到二端网络、开路及短路支路。4.2替代定理若已知图4-7(a)所示电路中a、b两点间电压为uk,则可用一个数值和参考方向都与之相同的电压源取代它,如图47(b)所示。这是因为原图a、b间可视为接有一无穷大的电阻支路,根据替代定理,该电阻支路可被电压源替代。作为特例,若a、b两点间电压为零,则该两点间可连一条短路线(即代之以零值电压源)。若已知图4-8(a)所示电路中流经a、b间导线的电流为ik,则可用一个数值和参考方向都与之相同的电流源取代它,如图48(b)所示。这是因为原图a、b间的导线可视为阻值为零的电阻支路,根据替代定理,该电阻支路可被电流源替代。作为特例,若流经a、b间导线的电流为零,则该导线可以断开(即代之以零值电流源)。图4-7已知电压被电压源替代

图4-8已知电流被电流源替代4.2替代定理替代定理与等效变换不同。对二端网络进行等效变换是根据其端口伏安特性不变的原则进行的,二端网络的伏安特性只与其内部结构及参数有关,与电路其余部分无关;替代定理是根据已知的电流或电压进行的,与整个电路有关。

替代定理常用于分析动态电路和非线性电路,推导其他某些网络定理。替代定理也是大型网络撕裂分析法的理论依据。4.3戴维南定理和诺顿定理4.1节已讨论过不含独立源线性电阻性二端网络的端口等效电阻,而本节将介绍的戴维南定理和诺顿定理是关于含独立源线性二端网络等效电路的两个定理。4.3.1戴维南定理戴维南定理:一个由线性电阻、线性受控源和独立源构成的线性有源二端网络,对外部电路而言,可等效为一个电压源和一个线性电阻串联的电路。其中,电压源的电压等于该网络的端口开路电压uoc,串联的电阻等于该网络中所有独立源置零时所得网络的端口等效电阻Req。4.3戴维南定理和诺顿定理证明:设图4-10(a)所示电路中的二端网络N由线性电阻元件、线性受控源和独立源构成,M为任意外电路。为求网络N的等效电路,应先求其端口伏安特性。设端口电流i已知,根据替代定理,可将任意外电路M用一电流源替代,如图4-10(b)所示。该电路中含有两组独立源,一是端口所接电流源,二是网络N内部的独立源。用叠加定理求端口电压u。当N内部独立源单独作用时,令端口电流源为零,即端口开路,如图4-10(c)所示,求得u'=uoc。当端口电流源单独作用时,令N内部独立源为零,所得无独立源二端电路用N0表示,如图4-10(d)所示,求得u″=Reqi。其、中,Req为N0的端口等效电阻。根据叠加定理,有:u=u‘+u″=uoc+Reqi

（4-13）图4-10戴维南定理的证明4.3戴维南定理和诺顿定理上式即二端网络N的端口伏安关系式。根据该式可构造出网络N的等效电路为独立电压源uoc与电阻Req的串联。对任意外电路M而言,图4-10(a)与图4-10(e)是等效的。

注意:等效电路中电压源的数值及参考方向均应与网络N的开路电压uoc一致。电压源uoc与电阻Req的串联等效电路称为二端网络的戴维南等效电路。该等效电路与外电路无关,只取决于网络自身的结构和参数。求二端网络戴维南等效电路的常用方法有两种：(1)分别求出该网络的端口开路电压uoc及所有独立源置零、时的端口等效电阻Req;(2)直接求该网络的端口伏安关系式。4.3戴维南定理和诺顿定理例4-6求图4-12(a)所示二端电路的戴维南等效电路。

解先将该电路作一些简单的等效变换,简化后的电路如图4-12(b)所示。令端口电流为零,在图中标出uoc的参考方向,应用叠加定理可求得：令图4-12(b)所示电路的内部电源为零,得图4-12(c)所示电路。应用串、并联电阻的等效公式,求得：所求二端电路的戴维南等效电路如图4-12(d)所示。戴维南定理常用来简化复杂电路中不需进行研究的部分,以利于电路其他部分的分析计算。图4-12例4-6题图及求解4.3戴维南定理和诺顿定理4.3.2诺顿定理诺顿定理:一个由线性电阻、线性受控源和独立源构成的线性有源二端网络,对外部电路而言,可等效为一个电流源和一个线性电阻并联的电路。其中,电流源的电流等于网络的端口短路电流isc,并联的电阻等于网络中所有独立源置零时所得网络的端口等效电阻Req。

诺顿定理可用图4-14加以说明。图4-14(a)中,N为线性有源二端网络,M为任一外电路。对外电路而言,图4-14(b)与图4-14(a)是等效的。图4-14(b)中的电流源isc及并联电阻Req分别由图4-14(c)和图4-14(d)求得。诺顿定理的证明与戴维南定理类似,留给读者练习。图4-14诺顿定理的说明注意:等效电路中电流源的参考方向应与网络N的短路电流isc对应,如图4-14所示。4.3戴维南定理和诺顿定理电流源isc与电阻Req的并联等效电路称为二端网络的诺顿等效电路。该等效电路与外电路无关,只取决于网络自身的结构和参数。与计算戴维南等效电路类似,求二端电路的诺顿等效电路时,可分别计算isc和Req,或者直接求出端口伏安关系式。在计算过程中可灵活应用前面介绍过的各种分析方法。4.3戴维南定理和诺顿定理例4-8求图4-15(a)所示二端电路的诺顿等效电路。

解令端口短路,标出短路电流的参考方向,如图4-15(b)所示。图中,10Ω电阻两端电压为零,没有电流通过,可视为开路。应用叠加定理可求得：令图4-15(a)所示电路的内部电源为零,得图4-15(c)所示电路。应用串、并联电阻的等效公式,求得：所求二端电路的诺顿等效电路如图4-15(d)所示。与戴维南定理一样,诺顿定理也常用来简化复杂电路中不需进行研究的部分,以方便其他部分的分析和计算。图4-15例4-8题图及求解4.3戴维南定理和诺顿定理4.3.3最大功率传输条件考虑含独立源线性电阻性二端网络N接有一可变的负载电阻RL,如图4-18(a)所示。该负载吸收的功率与其电阻值有关。在电子工程中,常希望负载能获得最大功率,负载电阻满足什么条件时,它可获得最大功率呢?这是电路中的最大功率传输问题。图4-18最大功率传输问题将二端网络N用戴维南定理化简,得到如图4-18(b)所示电路,负载吸收的功率为：由上式可知,功率p是RL的连续函数。若RL≥0,则p≥0;当RL=0或RL=∞时,p为零。因此,在0<RL<∞的区间内,存在函数p的最大值点,该最大值点必是极值点。求p对RL的导数,并令该导数为零,有：得RL=Req结论:当负载电阻与含源二端网络戴维南等效电路的Req相等时,负载电阻获得的功率达最大值。该最大功率为：4.3戴维南定理和诺顿定理特勒根定理1：任意一个具有n个节点和b条支路的集总参数电路,令各支路电流和电压分别为i1,i2,…,ib及u1,u2,…,ub,且各支路电流和电压都取关联参考方向,则有：（4-14）上式表明：一个电路在任一时刻,各支路吸收的功率的代数和为零,即电路任一时刻的功率是守恒的。特勒根定理1又称为特勒根功率定理。4.4特勒根定理

为了方便,下面用一个简单的电路证明特勒根定理。设图4-21所示是与某电路对应的有向图。图中各支路的方向表示电路中各支路电流和电压的参考方向。该电路有4个节点,6条支路。取节点⓪为参考节点,三个独立节点的电压分别为un1、un2和un3,各支路电压和节点电压的关系为：（4-15）独立节点①、②、③的KCL方程为（4-16）图4-21特勒根定理的证明4.4特勒根定理

将各支路电压用节点电压表达,则有：上式各项括号中的电流分别为节点①、②、③所连接的支路电流代数和,将(4-16)式代入,可得：（4-17）对任何具有n个节点和b条支路的电路,可用上述方法证明(4-14)式。上面的证明过程只涉及基尔霍夫定律和电路的有向图,不涉及各支路的元件性质。若有两个电路,它们的支路元件性质可能不同,但它们的有向图相同,均如图421所示,则这两个电路的支路电压和支路电流都分别满足(4-15)式和(4-16)式。因此,一个电路的支路电压与另一个电路的支路电流对应乘积之和也满足(4-17)式。显然,这一结论可推广到一般电路。4.4特勒根定理

特勒根定理2:任意两个具有n个节点、b条支路且有向图相同的集总参数电路,令其中一个电路的支路电流和电压表示为i1,i2,…,ib及u1,u2,…,ub,另一个电路的支路电流和电压表示为iˇ1,iˇ2,…,iˇb

及uˇ1,uˇ2,…,uˇb,各支路电流和电压均取为关联参考方向,则有：（4-18）（4-19）上面两式左边各项是一个电路的支路电压与另一电路的支路电流相乘,虽具有功率的量纲,但并不表示真实的功率,称为似功率。特勒根定理2表达的是似功率守恒。特勒根定理2又称为特勒根似功率定理。

特勒根定理是基于基尔霍夫定律推出的,普遍适用于集总参数电路,在电路理论中常用于证明其他定理。4.4特勒根定理

互易定理是关于线性无源网络的一个重要定理。它指出:线性无源网络在单一激励的情况下,若将激励和响应互换位置且保持激励值不变,则响应值也不变。互易定理有三种形式。设图4-22所示网络N内部是由线性电阻元件构成的无源网络(既无独立源也无受控源);该网络的1、1'及2、2'两个端口分别接端口支路1和支路2;设包括端口支路在内共有b条支路;图4-22(a)中以支路1为激励源支路,支路2为响应支路,图4-22(b)中以支路2为激励源,支路1为响应支路;将图4-22(a)中各支路电流和电压表示为i1,i2,…,ib及u1,u2,…,ub,图4-22(b)中各支路电流和电压表示为iˇ1,iˇ2,…,iˇb

及uˇ1,uˇ2,…,uˇb,则该网络存在以下三种互易情况。图4-22由线性电阻元件组成的无源网络N4.5互易定理互易定理形式1：将电压源激励和电流响应互换位置,若电压激励值不变,则电流响应值不变。例如,图4-23(a)、(b)所示两个电路中,在图示参考方向下,若它们的电压源us相等,则有：

^i1=i2图4-23互易定理形式14.5互易定理互易定理形式2：将电流源激励和电压响应互换位置,若电流激励值不变,则电压响应值不变。例如,图4-24(a)、(b)所示两个电路中,在图示参考方向下,若它们的电流源is相等