材料力学重点完美版修订版

材料力学重点及其公式

材料力学的任务：〔1〕强度要求；〔2〕刚度要求;[3)稳定性要求。

变形固体的根本假设：〔1〕连续性假设；〔2〕均匀性假设；〔3〕各向同性假设；(4)小变形假设。

外力分类：外表力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各局部之间的因外力作用而引起的

附加相互作用力

杆件变形的根本形式〔1)拉伸或压缩；〔2〕剪切；〔3〕扭转；(4)弯曲；〔5〕组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限与破坏，塑性材料在其屈服极限6时失效。二者统称为极限应力理

想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：口]=曳，b]=区，强度条件：

nn

=(今)《H，等截面杆勺1-⑸

1,轴向拉伸和压缩

-------------------------应力和应变的概念：应力：杆件截面上内力的分布集度

应变：物体内任一点因各种作用引起的相对变形

应力：="正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。

丛—0AAdA

纵向变形和横向变形：〔拉伸前试样标距/，拉伸后试样标距乙；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径4

)

△I=/I—/\d=d、-d

纵向线应变和横向线应变：£=当£=与泊松比：/=—£=

轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式：〔夹角a从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为

正〕

o_pcosa-<ycos2a-底

o—rcoscc—cosct-cos2a,=Psina=—sin2a=—sin2a

aaA0a22A

胡克定律:=3单轴应力下胡克定律：e=q

EAE

轴向拉压杆的强度计算公式：=(卑)z«M

许用应力：同="，〔脆性材料4=6,,塑性材料二。」

n

强度指标：比例极限外,—应力和应变成正比时的最高应力值

弹性极限"——只产生弹性变形的最高应力值

屈服极限"一应力变化不大,应变显著增加时的最低应力值

弓虽度极限外——材料在断裂前所能承受的最大应力值

2.扭转

\p\

外力偶矩计算公式：二9.55、1。3产_〔P功率，〃转速〕

IJr/min

圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件：

TTT

计算公式：T=pTmax=R=

IpIpwp

圆截面几何参数：〔a〕实心圆1尸吗D1%=微。3

公…、乃(。444、„加八、

mr-1)7rD44z44

〔b〕空心圆IP=-^—―-=—(l-«),VVP=—(1-a),

323216

圆轴扭转的强度条件：%僦=/W口］

剪切胡克定律〔切变模量G，切应变/):r=Gy

拉压弹性模量E、泊松比v和切变模量G之间关系式：G=7T-

2(1+v)

正应力=rshi2a

圆轴扭转时任意斜截面上的应力：

切应力t=zuos2a

圆轴扭转时的变形：相对扭转角（P=孕（"/）单位长度扭转角。二孚=工（md/m）

GiPaxGlP

圆轴扭转时的刚度条件：”=半=1,底皿=为<M']

dx/GIp

3.弯曲应力

弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系也色=夕（X）；绊=Q（x）；

axdx

2））

dM（x_dQ[x=4（x）

d.x"2-a1x

受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式：。°"

4。2个

匕;M图与外力间的关系

a）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b]梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

c）在梁的某一截面。"®="（耳=0,剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。

dx

d]由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力£有一突然变化,弯矩图的斜率也发牛突然变化形成一个转

折点。

纯弯曲梁的正应力计算公式：。二手

梁的正应力和剪应力强度条件0m稣=%工口],rmax<[r]

w

几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式〔S；ax为中性轴一侧的横截面对中性轴Z的静矩，方为横截

pS*

面在中性轴处的宽度〕：rnnx=，产

bL

矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处r,nax=|^-=14

2bh2A

工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式r=与

bh

轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式rinax=一工—

取/Szmax)

4F4F

圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处rmax=93,八=2十

3(TTD~/4)3A

F

圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处r=2^—

max/成(Q

弯曲梁危险点上既有正应力。又有切应力r作用时的强度条件：

cr=Vo-2+4r2<［cr］或a=+3r2<\a］〔其中口］=生〕

r3r4n

提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩,合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截

面形状

塑性材料：”［二口』，上、下对称，抗弯更好,抗扭差。脆性材料：［5］<口］，采用T字型或上

下不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，怡使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，

然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。

4.梁弯曲时的位移

----------------------梁的挠曲线近似微分方程：二=一丝3即EIw=-M(x)

dx~EI

梁的转角方程：^=—=-fdx+C

dx'EI(

梁的挠曲线方程：卬=-JJ岑件处+C,x+C2

简单超静定梁求解步骤：〔1〕判断静不定度；〔2〕建立根本系统〔解除静不定结构的内部和外部多余约

束后所得到的静定结构〕；〔3〕建立相当系统〔作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的根本系统〕；〔4

)求解静不定问题。

5.应力状态和强度理论

应力状态的分类:

单向应力状态----单元体中三对应力面上只有一对面上的应力不为零

，平面应力状态——单元体中三对应力面上有两对面上的应力秘零....

空间应力状态——单元体中三对应力面上的应力均不为零..........

二向应力状态分析一解析法

(T,.4-<TV(T,-

(1)任意斜截面上的应力'cos2a-rsin2a

22rv

(2)主平面、主应力

主平面方向：(an2ao=~生/，主应力叫=*：*±卜二>十《

一

(3)最大切应力及其作用面

O'—C切应力小卜士j(z^)2+q

作用面方向：tan2a)=———

2%「minJVZ

(4)空间应力状态

1max、°max=6

最大切应力，最大正应力

(5)空间主应力状态下的广义胡克定律

。八=6

(6)四种强度理论的相当应力/2=6-^(1+%)

=vi13_/)2+W_6)2+(6-6)

6.组合变形

斜弯曲：两相互垂直平面内平面弯曲的组合

(i)应力计算。,=7M上v2±亍M三丁

(2)中性轴一般地不垂直于外力作用线〔或中性轴不平行于合成的弯矩矢量〕：

tan^=—tan9

轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式

bmax]=FN+Mmax

一minJ广工一卬一z

xyFM

偏心拉伸〔压缩〕：max〔=±£^士一

/inJA叱

弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式：

%$加+/<口],/2+0.75X<⑸

圆截面杆横截面上有两个弯矩M、和M;同时作用时，合成弯矩为：M

圆截面杆横截面上有两个弯矩M、和M;同时作用时强度计算公式：

—VM2+r2=<[<T]

WL」

jr-Rl

等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式：Fcr=土=

乃2f

细长压杆临界应力的欧拉公式：b”—-

A

7.压杆稳定

压杆稳定的概念：指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。

压杆的约束条件：[a)两端钱支〃=1

(b)一端固定、一端自由〃二2

(c)一端固定、一端钱支〃=0.7

(d)两端固定〃=0.5

压杆的长细比或柔度计算公式：X二必，i=

欧拉公式适用范围：〔1〕大柔度压杆〔欧拉公式〕：即当2之%>,其中/I.=时'S'=~

(2)中等柔度压杆〔经验公式〕：即当《W4W4尸，其中几=巴目时，

b

(Jer=a-bAFcr=crcrA

(3)小柔度压杆〔强度计算公式〕：即当2<A时，。“二二工％。

压杆的稳定校核⑴压杆的许用压力：[川二区，〔冏为许可压力，，〃为工作平安系数J

〔2〕压杆的稳定条件：0=(<夕口],[°为稳定因数J

提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料

8.能量法

I线弹性杆件的强能：

F；/

①轴向拉伸〔压缩〕Ve=2EA

②圆轴扭转K=3二

2GIP

M2/

③梁弯曲〔不计剪力影响〕K=—

2EA

组合变形的应变能：Vf.=]£*必+但公+]”卫比

*12EA312Glp12EA

卡氏第二定理：4=妥dV

西

卡氏第二定理计算位移公式：4=z]丝上跑dx+Zl二+z13"公

1

j1EIdFi人力EAdFi乙J，GIpdF.

★惯性矩和惯性半径

惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图I-4所示。

22

Iy=jzdA.L=\AydA(1-5)

量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义

图惯姓矩的概念

(1-6)1-4

为图形对)，轴和对2轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩。设/记/d为分图形的惯性矩那么总图形对同一轴惯性矩为/=X/n-=x葭

Jj=1>1=1

〔I-7〕假设以p表示微面积dA到坐标原点0的距离，那么定义图形对坐标原点。的极惯性矩

2222

lp=\APdA(1-8)因为p=y+z

2

所以极惯性矩与〔轴〕惯性矩有关系/P=£(/+Z}//1=ZV+A[1-9)

式[I-9)说明，图形对任意两个互相垂直轴而〔轴