《牛顿-拉夫逊法潮流计算案例》2500字

牛顿-拉夫逊法潮流计算案例综述电力网络的结构决定了它会有成千上万条传输线路和不计其数的升降级变压器等静止线性元件，而且各自的电压等级都各不相同。所以在实际电网中应用潮流计算前必须要建立相应的数学模型得到各个节点的参数为潮流计算提供已知条件。电力系统数学模型如图2-1所示为一简单的电力系统模型：图2-1简单电力系统该模型的网络方程如公式(2-1)所示:(2-1)上式(2-1)中的节点电流可以以各个节点的电压和各个节点的功率表示为：(2-2)再将公式(2-2)代入公式(2-1)可得：(2-3)将公式(2-3)的虚部与实部分开后，可知一个节点对应6个变量，2个方程，即n个节点对应6n个变量以及2n个方程。但是2n个方程不能直接求出6n个变量，此时，通常把负荷功率作为已知量，并把节点功率(2-2)引入到网络方程，得：(2-4)此时该系统的潮流方程为：(2-5)再将公式(2-5)方程的实部和虚部分开，对应每一个节点都可得两个实数方程，但是变量仍有4个，即、、、。此时为了解出方程，需要给定其中的两个变量，保留两个为待求变量[8]。而按照给定变量的不同，可以将节点分为三种类型：PQ节点此类节点的有功功率P与无功功率Q是给定的，待求量为U和。PU节点此类节点的有功功率P和电压幅值U是给定的，待求量为Q和。平衡节点此类节点的电压幅值U和其相位是给定量。在进行潮流计算时，只设置一个平衡节点，该类节点在准确地计算出潮流分布和功率损耗前不能给定有功功率而是负责平衡整个电力系统的有功功率。此类节点往往是负责系统调频任务的发电母线，也会选择出线最多的发电厂以提高潮流程序的收敛性[9]。以上三类节点中平衡节点是必不可少的。根据上述方程所求得的计算结果仍不确定是否其合理，为保证电力系统的合理运行，该问题的计算结果应该满足一定的约束条件。常用约束条件可以分为三类：有功功率和无功功率约束条件所有的节点功率必须满足以下条件：(2-6)电压约束条件为保证电能质量和供电安全的要求，电压必须满足以下条件：(2-7)相位差约束条件为了保证系统运行的稳定性，输电线路两端的电压相位差必须满足以下条件：(2-8)导纳矩阵节点电压方程通常用来描述电力网络运行状况。在此方程中待求量为母线电压，求得母线电压可以求得母线的电流、功率以及支路上的功率，从而掌握电力网络的运行情况。在求解节点电压方程前，需要选取大地作为零电位值参考点。此时，导纳、电压与电流三者之间的关系可以表示为：(2-9)对于具有n个不同节点的电力系统网络，节点导纳可以表示为的矩阵。根据基尔霍夫电流定律可以列出n节点的电压方程如下:(2-10)上式(2-10)中，为节点导纳矩阵元素；为节点电压：为节点注入电流。将个节点电压方程写成矩阵表达式为：(2-11)其中节点导纳矩阵为：(2-12)上式(2-12)中，对角元素为节点的自导纳，也是与节点直接相连的导纳之和，即(2-13)由于导纳元素并非向量元素而是标量，由此可知：(2-14)由上式(2-14)可看出，节点导纳矩阵中当节点与节点之间不存在互导纳时，会导致节点导纳矩阵中有非对角元素为0的情况，所以节点导纳矩阵又称稀疏矩阵。在现实情况中，随着电网规模的扩大，节点数也随之上升，而随着节点数的增多，为0的非对角元素也会越来越多，即节点导纳矩阵的稀疏程度提高，这样会使计算机的内存占用量降低；并且由于节点导纳矩阵的对称性使得其在编程时更为简便，因此该方法广泛应用于潮流计算中[10]。网络损耗图2-2线路潮流的简单模型如图2-2所示为线路潮流的简单模型，在该模型中，线路连接了节点与节点，在节点测量支路电流，规定由节点流向节点时为正，其值为(2-15)同上，如果于节点测支路电流，则流向节点时为正，故公式(2-15)变为：(2-16)表示从节点流向节点，表示从节点流向节点。其值如公式(2-17)所示：(2-17)节点和节点之间的线路损耗为(2-17)的代数和，即：(2-18)以上就是线路损耗[11]。牛顿-拉夫逊法基本原理假定有一非线性方程：(2-19)在此式(2-19)中，为待求量，先给该待求量一初值，为该非线性方程的近似解且与实际结果的误差为。将近似解与误差带入式(2-19)得：(2-20)再将式(2-19)在处按泰勒级数展开：(2-21)如果此时非常接近实际结果，则误差的二次及二次项以上的高次项可以忽略不计，即修正方程为：(2-22)上式中为不平衡量，为修正值。此时可以求得,并由此可以得出迭代后更加接近实际结果的：(2-23)而上式中的可以作为第二次迭代的初值代入求得，一直迭代计算直到满足收敛条件即可，收敛条件如下式(2-24)所示：(2-24)上式(2-24)中、为小正数。与上述内容相同，再给一维数为n的非线性方程组：(2-25)再给出且这些初值与实际结果的误差值为，将这些值带入式(2-25)并以泰勒级数展开后忽略的高次项，得：(2-26)上式(2-26)便是一组被牛顿-拉夫逊法处理过的线性化的方程(又称修正方程组)，将其以导纳矩阵表示为：(2-27)可先将上式(2-27)简写为：(2-28)上式(2-28)中，便是该非线性方程组的初始雅可比矩阵。由此求得修正量的列向量，进而求得第一次迭代后的近似值列向量，然后再代入为第二次迭代的初值，循环计算直到满足收敛精度[12]。再对雅可比矩阵的各元素作详细的计算：先将流入节点的电流按极坐标形式转化为：(2-29)此时节点的复功率是(2-30)将式(2-29)代入(2-30)得：(2-31)再分离虚实部：(2-32)(2-33)雅克比矩阵的元素为式(2-27)与式(2-32)及式(2-33)对与的偏导数，即：(2-34)此时，对于各节点，电压幅值是已知的，假设给定个电压控制节点，则矩阵(2-34)中有和的个方程可消去。这时的雅可比矩阵各元素可用如下各式表示：的对角线及非对角线元素为：(2-35)(2-36)的对角线及非对角线元素为：(2-37)(2-38)的对角线及非对角线元素为：(2-39)(2-40)的对角线及非对角线元素为：(2-41)(2-42)和是计划值和计算值的差，这个差值即是功率余额，用下式表示：(2-43)这时节点的新电压值为：(2-44)支路功率表达式为：(2-45)以上便是牛顿-拉夫逊法的基本原理[13]。牛顿-拉夫逊法潮流计算基本步骤图2-3牛顿-拉夫逊法的潮流计算流程图如图2-3所示，牛顿-拉夫逊法潮流计算有以下步骤：输入电力系统的初始化节点数据以及各网络节点的给定值并进行计算后得出相应的节点导纳矩阵；输入节点电压初值，将迭代计数k置零；将当前的电压值代入(2-43)与(2-44)计算各类节点的不平衡量，与；按式(2-52)校验收敛，即