2023届高考数学特训营-第3节-直线、平面的平行判定与性质

第3节直线、平面的平行判定与性质A级(基础应用练)1．(2022·浙江宁波模拟)下列命题正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案：D解析：A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．(2022·济南高三模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面 B．平行C．相交 D．以上均有可能答案：B解析：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.3．(2022·哈尔滨市模拟)“平面α∥平面β”的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D解析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．4．(2022·浙江宁波质检)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1答案：D解析：由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是错误的；由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B选项是错误的；由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，故C选项是错误的；由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1，故本题选D.5．(2022·福州检测)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案：B解析：过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．故选B.6．(2022·湖北襄阳月考)在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：平面ABC，平面ABD解析：如图，连接AM并延长交CD于点E，连接BN并延长交CD于点F，由重心性质可知E，F重合，且E为CD的中点，∵eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,BN)＝eq\f(1,2)，∴MN∥AB，又AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，∴MN∥平面ABD，又AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.7.(2022·浙江省模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________．答案：eq\r(2)解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).8．(2022·兰州模拟)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案：①或③解析：由面面平行的性质定理可知①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．B级(综合创新练)9．(多选题)(2022·山东烟台模拟)在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()答案：AD解析：对于A，如图①，连接BC，可得BC∥MN，AC∥NP，从而得AC∥平面MNP，BC∥平面MNP，又AC∩CB＝C，∴平面ABC∥平面MNP，∴AB∥平面MNP；对于B，如图②，连接BC交MP于点O，连接ON，易知在底面正方形中，O不是BC的中点(实际上是四等分点中靠近C的一个)，而N是AC的中点，因此AB与ON不平行，在平面ABC内，AB与ON必相交，此交点也是直线AB与平面MNP的公共点，直线AB与平面MNP相交而不平行；对于C，如图③，连接BN，在正方体中有PN∥BM，因此B在平面MNP内，直线AB与平面MNP相交而不平行；对于D，如图④，连接CD，可得AB∥CD，CD∥NP，即AB∥NP，直线AB与平面MNP平行．故选AD.10．(多选题)(2022·江苏南通高三模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，则以下四个说法中正确的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APC答案：BC解析：对于A项，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；对于B项，由A项知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，AN⊂平面APC，所以C1Q∥平面APC是正确的；对于C项，由A项知A，P，M三点共线是正确的；对于D项，由A项知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．故选BC.11.(2022·山西模拟)如图，这是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．答案：①②③④解析：先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．∵E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，∴EF∥AD，GH∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF，GH确定平面EFGH，∵EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，∴AD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，平面EFGH∥平面ABCD，所以①正确；连接AC，BD交于O点，则O为AC的中点，连接OG，G为PC的中点，∴OG∥PA，OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正确；同②同理可证EF∥平面PBC，∴③正确；同②同理可证FH∥平面BDG，∴④正确；EF∥GH，GH与平面BDG相交，∴EF与平面BDG相交，∴⑤不正确．12.(2022·河南安阳模拟)如图，M是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题的序号为________．答案：①③解析：①假设有两条直线m，n与直线AB，B1C1都相交，则此两条相交直线m，n确定平面α，并且直线AB，B1C1均在此面内，与直线AB，B1C1是异面直线矛盾，故①正确．②过M点与对角面AA1C1C平行的平面与AB，B1C1均相交，旋转该面仍可能与AB，B1C1均相交，故②不正确．③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行，此平面为过M点且与两个底面平行的平面，故③正确．13.(2022·河北衡水模考)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.解：(1)当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.故当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，∴四边形ADC1D1是平行四边形．∴AD1∥DC1.又DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1.又BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，∴平面BC1D∥平面AB1D1.14.(2022·烟台模拟)如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN(图略)，设MN与AB交于点G.∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下：当点F，A，D共线时，如题图，易证得MN∥FD.当点F，A，D不