2023届高考数学特训营第2节-第一课时-导数与函数的单调性

第2节第一课时导数与函数的单调性2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，会求不超过三次的多项式函数的单调区间1.求不含参数函数的单调性数学运算逻辑推理数学抽象2.求含参数函数的单调性3.函数单调性的应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

单调递增单调递减常数函数[思考]

如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间内是否具有单调性？点拨：如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．2．求函数的单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是________；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是________．[提醒]

讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．单调递增单调递减[探究]

能否从导数的角度解释函数y＝f(x)增减的快慢呢？点拨：如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图象“________”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”．

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．陡峭1．[知识外延]用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)＞0(或＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件；(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间都不恒等于零，则f(x)≥0(或≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．2．[学以致用]生活中导数的单调性函数的图象来源于生活，函数图象与函数的导数息息相关．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．提示：(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.1．[易错诊断]判断下列结论的正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)>0.(

)解析：

f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(

)解析：易知函数在该区间为常数函数，不存在单调区间．×√2．(多选题)[教材改编](2022·义县月考)如图，这是函数y＝f(x)的导函数的部分图象，则下列说法正确的是(

)A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．(－∞，0)为函数y＝f(x)的递增区间D．函数y＝f(x)有3个零点

解析：由导函数图象知在(－∞，－1)和(3，5)上，f′(x)<0，f(x)递减，在(－1，3)和(5，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)递增，但没有函数f(x)的值的大小正负，不能得出其零点个数．故选AB.AB答案：(0，2]4．[真题体验](2021·全国乙(文)卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，试讨论f(x)的单调性．

02能力特训特训点1特训点2特训点3

特训点1证明(判断)函数的单调性(师生互动类)

讨论函数f(x)单调性的步骤讨论函数的单调性应该着重从参数的取值角度，通过分析如何通过分类讨论来考查导数的正负及确定相应的区间，由此确定函数的单调性，比如这里通过分类讨论根的大小来进行判断导数正负定区间等．已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)，求f(x)的单调区间．[题组·冲关]1．函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是(

)A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.特训点2求函数的单调区间【自主冲关类】D2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin

x＋cosx，则f(x)的递增区间是__________．[锦囊·妙法]确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．考向1根据函数单调性比较大小或解不等式典例2

(2022·江西模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2021为奇函数，则不等式f(x)＋2021ex<0的解集是(

)A．(－∞，0) B．(－∞，ln2021)C．(0，＋∞) D．(2021，＋∞)特训点3函数单调性的应用【多维考向类】C

与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．答案：[0，1)(1)已知函数的单调性，求参数的取值