人教版8年级下册数学全册教学课件

人教版八年级下册数学全册教学课件

制作不易，仅限个人使用16.1二根次式第十六章二次根式第1课时二次根式的概念

制作不易，仅限个人使用学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）

制作不易，仅限个人使用导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？

制作不易，仅限个人使用下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.

制作不易，仅限个人使用通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”----中科院数学与系统科学研究院李邦河

制作不易，仅限个人使用复习引入问题1

什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2

什么叫做算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

制作不易，仅限个人使用思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图

图

制作不易，仅限个人使用（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．

制作不易，仅限个人使用问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？

制作不易，仅限个人使用归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.

制作不易，仅限个人使用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析

制作不易，仅限个人使用例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.

制作不易，仅限个人使用解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳

制作不易，仅限个人使用解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳

制作不易，仅限个人使用(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结

制作不易，仅限个人使用1.下列各式：.

一定是二次根式的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练

制作不易，仅限个人使用问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性二

制作不易，仅限个人使用

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结

制作不易，仅限个人使用例3若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析

制作不易，仅限个人使用例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．

制作不易，仅限个人使用解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳

制作不易，仅限个人使用已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练

制作不易，仅限个人使用当堂练习2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-10

制作不易，仅限个人使用4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

制作不易，仅限个人使用5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.

制作不易，仅限个人使用6.若x，y是实数，且y＜,求的值.

解：根据题意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.

制作不易，仅限个人使用7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.能力提升：

制作不易，仅限个人使用体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．

制作不易，仅限个人使用课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且

≥0

制作不易，仅限个人使用学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家

制作不易，仅限个人使用16.1二根次式第十六章二次根式第2课时二次根式的性质

制作不易，仅限个人使用学习目标1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）

制作不易，仅限个人使用导入新课情景引入问题1下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？

算术平方根之门

平方之门

0

-4

-1

a

a≥01

我们都是非负数哟

制作不易，仅限个人使用问题2若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？

算术平方根之门

平方之门

0

-4

-1

1

16

4

1

a

a为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考

你发现了什么？

制作不易，仅限个人使用正方形的边长为，

用边长表示正方形的面积为

，又∵面积为a，即.（a≥0）的性质一讲授新课活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？

这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？

制作不易，仅限个人使用活动2

为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？

...算术平方根平方运算024

...a(a≥0)02=0

...观察两者有什么关系？

22=4

制作不易，仅限个人使用420根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：

是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此.同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.

制作不易，仅限个人使用归纳总结

的性质：一般地，＝a(a

≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.

制作不易，仅限个人使用典例精析例1

计算：解：(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2

制作不易，仅限个人使用例2

在实数范围内分解因式：

解：

本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳

制作不易，仅限个人使用练一练

计算：解:

制作不易，仅限个人使用...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？

的性质二填一填：

＝a(a≥0).

制作不易，仅限个人使用...平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？

a(a＜0)思考：当a＜0时，=？-a

制作不易，仅限个人使用归纳总结a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

的性质：

制作不易，仅限个人使用例3化简：解：，而3.14＜π，要注意a的正负性.注意

制作不易，仅限个人使用

计算：

练一练解:

制作不易，仅限个人使用辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√

制作不易，仅限个人使用议一议：如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根

制作不易，仅限个人使用例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab

制作不易，仅限个人使用【变式题】

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．

利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意

制作不易，仅限个人使用例5已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0

制作不易，仅限个人使用用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把

或

连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习数表示数的字母

想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式代数式的定义三

制作不易，仅限个人使用（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；例6解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.

（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为

制作不易，仅限个人使用列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．归纳总结

制作不易，仅限个人使用1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.D．B练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.

方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.

制作不易，仅限个人使用当堂练习1.化简得（）A.±4

B.±2

C.4D.-4C2.当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D3.下列式子是代数式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3个B.4个C.5个D.6个C

制作不易，仅限个人使用4.化简：（1）＝

;（2）＝

;

（3）

;（4）

.37481-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是

.1

制作不易，仅限个人使用6.利用a

＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.

制作不易，仅限个人使用7.(1)已知a为实数，求代数式的值.解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，∴a=-2，∴.(2)已知a为实数，求代数式的值.解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0，∴能力提升：

制作不易，仅限个人使用课堂小结二次根式性质

＝a(a

≥0).拓展性质|a|（a为全体实数）

制作不易，仅限个人使用学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家

制作不易，仅限个人使用16.2二根次式的乘除第十六章二次根式第1课时二次根式的乘法

制作不易，仅限个人使用学习目标1.理解二次根式的乘法法则.（重点）2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.（难点）

制作不易，仅限个人使用导入新课情景引入近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车，既体现了中华民族传统文化的意味，又契合了我国和平利用太空的意愿，下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频：

制作不易，仅限个人使用问题1运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.第一宇宙速度v1可以表示为.

制作不易，仅限个人使用问题2飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.第二宇宙速度v2可以表示为.思考

若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？

制作不易，仅限个人使用(1)___×___=____;=_________;讲授新课二次根式的乘法一计算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630观察两者有什么关系？

制作不易，仅限个人使用观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测：

你能证明这个猜测吗？

制作不易，仅限个人使用求证：证明：根据积的乘方法则，有∴就是ab算术平方根.又∵表示ab算术平方根，∴

.证一证

制作不易，仅限个人使用一般地，对于二次根式的乘法是语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则:二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数被开方数归纳总结注意：a,b都必须是非负数.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．

制作不易，仅限个人使用典例精析例1计算:解:(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即.归纳可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则

制作不易，仅限个人使用例2计算:解:

当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即.归纳问题

你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算3a2·2a3=

.6a5提示：可类比上面的计算哦

制作不易，仅限个人使用二次根式的乘法法则的推广：归纳总结多个二次根式相乘时此法则也适用，即当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即

制作不易，仅限个人使用例3比较大小(一题多解):解：(1)方法一：∵，，又∵20＜27，∴，即.方法二：∵，

，又∵20＜27，∴，即.

制作不易，仅限个人使用解：(2)∵，，又∵52＜54，∴，∴,即

比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小

制作不易，仅限个人使用A.B.C.D.1.计算的结果是()

A.B.4C.D.2B2.下面计算结果正确的是()

D3.计算：____.

30练一练

制作不易，仅限个人使用积的算术平方根的性质二反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

制作不易，仅限个人使用解：（1）；例4

化简：（1）；（2）．（2）

(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.

制作不易，仅限个人使用（1）；（2）．【变式题】

化简：解：（1）（2）

当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.归纳

制作不易，仅限个人使用例5

计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）（2）（3）

制作不易，仅限个人使用3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式

a2=把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：归纳总结

制作不易，仅限个人使用1.计算：解：

练一练易错提醒：中，a,b必须是非负数.

制作不易，仅限个人使用2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为，宽为，求出它的面积.解：它的面积为

制作不易，仅限个人使用当堂练习1.若，则（）A．x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x为一切实数A2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.D

制作不易，仅限个人使用4.比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：＞＜3.计算：

制作不易，仅限个人使用5.计算：

制作不易，仅限个人使用

制作不易，仅限个人使用6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知,，求S；解：S=ab=

==

=

（2）已知,，求S.

解：S=ab=

===240.

制作不易，仅限个人使用7.已知试着用a,b表示.解：能力提升：

制作不易，仅限个人使用课堂小结二次根式乘法法则性质拓展法则

制作不易，仅限个人使用学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家

制作不易，仅限个人使用16.2二根次式的乘除第十六章二次根式第2课时二次根式的除法

制作不易，仅限个人使用学习目标1.了解二次根式的除法法则.（重点）2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.

（难点）3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）

制作不易，仅限个人使用站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.导入新课情景引入解：问题1

某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？

制作不易，仅限个人使用问题2

该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？问题3

他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：二次根式的除法该怎样算呢解：思考

乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？

制作不易，仅限个人使用(1)___÷___=____;=_____;讲授新课计算下列各式:(2)___÷___=____;(3)___÷___=____;=_____;=_____.234567观察两者有什么关系？

二次根式的除法一

制作不易，仅限个人使用观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？特殊一般

制作不易，仅限个人使用议一议问题在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.a,b同号就可以啦你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦

制作不易，仅限个人使用归纳总结二次根式的除法法则:文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得

制作不易，仅限个人使用例1计算：解:除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算典例精析

制作不易，仅限个人使用解:

类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.归纳

制作不易，仅限个人使用商的算术平方根的性质二我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:

制作不易，仅限个人使用例2

化简:解:还有其他解法吗?补充解法：典例精析

制作不易，仅限个人使用解：先商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质

制作不易，仅限个人使用1.能使等式成立的x的取值范围是（）A.x≠2B.x≥0C.x＞2D.x≥2C2.化简：解：练一练

制作不易，仅限个人使用最简二次根式三问题1

你还记得分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即问题2

前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？

制作不易，仅限个人使用下面让我们一起来做做看吧：把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.概念学习

制作不易，仅限个人使用例3

计算:解:典例精析

分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.归纳

制作不易，仅限个人使用满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.归纳总结在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

制作不易，仅限个人使用在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．解：只有(3)是最简二次根式；练一练

制作不易，仅限个人使用例4

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知，求a的值.解:∵∴二次根式除法的应用四

制作不易，仅限个人使用例5

高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？解:由题意得

制作不易，仅限个人使用当堂练习1.化简的结果是（）A．9B．3C．D．B2.下列根式中，最简二次根式是（）A.B.C.D.C

制作不易，仅限个人使用3.若使等式成立，则实数k取值范围是（）BA.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤2

4.下列各式的计算中，结果为的是（）A.B.C.D.C

制作不易，仅限个人使用5.化简：解:

制作不易，仅限个人使用6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有.若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．解：当W=2400，R=100，t=15时，

制作不易，仅限个人使用7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“

”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：按计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；而按计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．能力提升：

制作不易，仅限个人使用课堂小结二次根式除法法则性质拓展法则相关概念分母有理化最简二次根式

制作不易，仅限个人使用学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家

制作不易，仅限个人使用16.3二根次式的加减第十六章二次根式第1课时二次根式的加减

制作不易，仅限个人使用学习目标1.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.

（难点）

制作不易，仅限个人使用问题1满足什么条件的根式是最简二次根式?问题2化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化简后被开方数相同导入新课复习引入

制作不易，仅限个人使用问题3

有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？

制作不易，仅限个人使用aaaaaaaaaa=+在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得;当a=时，分别代入左右得;......讲授新课

在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式一你发现了什么？

制作不易，仅限个人使用因为，由前面知两者可以合并.

你又有什么发现吗?

当a=,b=时，得2a+3b=.a2a+3bb=+bba这两个二次根式可以合并吗？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：

制作不易，仅限个人使用归纳总结将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.

注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：

制作不易，仅限个人使用例1

若最简根式与可以合并，求的值.解：由题意得解得即典例精析

确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程求解即可.归纳

制作不易，仅限个人使用【变式题】如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.解：由题意得3a-8=17-2a,∴a=5，∴∴20-2x≥0，x-5＞0，∴5＜x≤10.

制作不易，仅限个人使用练一练1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）A.B.C.D.D2.与最简二次根式能合并，则m=_____.13.下列二次根式，不能与合并的是________(填序号）.②⑤

制作不易，仅限个人使用二次根式的加减及其应用二思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm问题1

怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm2

制作不易，仅限个人使用问题2

所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.

制作不易，仅限个人使用归纳总结二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.

“一化简二判断三合并”

制作不易，仅限个人使用化为最简二次根式用分配律合并整式加减二次根式性质分配律整式加减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．

制作不易，仅限个人使用典例精析例2计算:解：

制作不易，仅限个人使用例3计算:解：有括号，先去括号

制作不易，仅限个人使用例4已知a,b,c满足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意得；(2)能.理由如下：∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能够成三角形，周长为分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.

制作不易，仅限个人使用【变式题】

有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.解：

当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为

当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为

二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.归纳

制作不易，仅限个人使用练一练1.下列计算正确的是（）A.B.C.D.C2.已知一个矩形的长为,宽为，则其周长为______.

制作不易，仅限个人使用当堂练习1.二次根式：中，与能进行合并的是（）A.B

.C

.D

.2.下列运算中错误的是（）A.B.C.D.AC

制作不易，仅限个人使用3.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为__________.

4.计算:

制作不易，仅限个人使用解：5.计算:

制作不易，仅限个人使用解：

制作不易，仅限个人使用6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.d

制作不易，仅限个人使用解设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为，，由，

可知则答：圆环的宽度为d

制作不易，仅限个人使用7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求（2*3）－（27*32）的值．解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）===能力提升：

制作不易，仅限个人使用课堂小结二次根式加减法则注意运算顺序运算原理一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样

制作不易，仅限个人使用学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家

制作不易，仅限个人使用16.3二根次式的加减第十六章二次根式第2课时二次根式的混合运算

制作不易，仅限个人使用学习目标1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）

制作不易，仅限个人使用教学的艺术不在于传授本领，而在于善于激励唤醒和鼓舞

制作不易，仅限个人使用导入新课问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2多项式与单项式的除法法则是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)÷m=a+b+c

制作不易，仅限个人使用分配律

单×多

转化

前面两个问题的思路是：思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？

单×单

制作不易，仅限个人使用讲授新课

二次根式的混合运算及应用一

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1计算：

解：

制作不易，仅限个人使用

二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳解：此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

制作不易，仅限个人使用解：(1)原式(2)原式【变式题】计算：

有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳

制作不易，仅限个人使用例2

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽，高的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方

(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？典例精析

制作不易，仅限个人使用解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：答：这段路基的土石方为

制作不易，仅限个人使用

计算：

练一练

制作不易，仅限个人使用问题1

整式乘法运算中的乘法公式有哪些?平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行二次根式的运算二问题2

整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?整式的乘法公式就是多项式×多项式前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟

制作不易，仅限个人使用例3计算：

解：典例精析

制作不易，仅限个人使用

解：

进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.归纳

制作不易，仅限个人使用【变式题】计算：解：(1)原式(2)原式

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计算：练一练先用乘法交换律，再用乘法公式化简.

制作不易，仅限个人使用求代数式的值三

例3

已知试求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把代入上式得原式=

制作不易，仅限个人使用解:∵，∴∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]【变式题】

已知，求x3y+xy3.

用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.归纳

制作不易，仅限个人使用在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:拓展探究思考如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？

制作不易，仅限个人使用例4

计算:解: